حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى

خطوات الحل:

نجد المشتقة الأولى للدالة $\bar{f} (x)$
مساواة المشتقة الأولى بالصفر $\bar{f} (x)$
نستخرج قيم x ثم نعوض قيم x في الدالة الأصلية لإيجاد y فيتكون لدينا نقطة كاملة (x,y) تسمى نقطة حرجة.
نضع قيم x المستخرجة على خط الأعداد ثم نعطي قيم أكبر وأصغر من x بحيث نختبر في المشتقة ثم نلاحظ:

أ- إذا كانت المشتقة $\bar{f} (x) > 0$ (عدد موجب) فإنها منطقة تزايد $↑_{+ + + + + +}$

ب- إذا كانت $\bar{f} (x) < 0$ (عدد سالب) فإنها منطقة تناقص $↓ - - - - - -$

النهايات (نلاحظ شكل الدالة)

أ- إذا كانت بهذا الشكل نهاية عظمى محلية

الشكل

ب- إذا كانت بهذا الشكل نهاية صغرى محلية

الشكل

ج- إذا كانت بهذا الشكل مجرد نقطة حرجة

الشكل

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

$\bar{f} (x) = 2 x - 4 \begin{aligned} \bar{f} (x) = 0 \\ 2 x - 4 = 0 \Rightarrow 2 x = 4 \Rightarrow x = 2 \\ \bar{f} (2) = y = (2)^{2} - 4 (2) + 3 = 4 - 8 + 3 = - 1 \end{aligned}$

النقطة (1-,2) نقطة حرجة

مناطق التناقص = ${x : x < 2}$

مناطق التزايد = ${x : x > 2}$

الشكل

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ ؟

$\begin{aligned} \begin{array}{r} \bar{f} (x) = 3 x^{2} - 3, \bar{f} (x) = 0 \\ [3 x^{2} - 3 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \end{array} \\ {3 x^{2} - 3 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2 إ} - 1 = 0 \\ (x - 1) (x + 1) = 0, إما x = 1 أو x = - 1 \\ f (1) = (1)^{3} - 3 (1) + 6 = 1 - 3 + 6 = 4 \\ f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1) + 6 = - 1 + 3 + 6 = 8 \\ (1, 4), (- 1, 8) الحرجة النقاط \end{aligned}$

مناطق التزايد = ${x : x < - 1}, {x : x > 1}$

مناطق التناقص = $(- 1, 1)$

الشكل

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 7$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9, \bar{f} (x) = 0 \\ [3 x^{2} - 6 x - 9 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x - 3) (x + 1) = 0 \\ إما x = 3 أو x = - 1 \\ f (3) = (3)^{3} - 3 (3) + 7 = 27 - 27 - 27 + 7 = - 20 \\ f (- 1) = (- 1)^{3} - 9 (- 1) + 7 = - 1 - 3 + 9 + 7 = 12 \\ (3, - 20), (- 1, 12) الحرجة النقاط \end{aligned}$

مناطق التناقص = $(- 1, 3)$

مناطق التزايد = ${x : x < - 1}, {x : x > 3}$

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 4 x^{3} - 4 x, \bar{f} (x) = 0 \\ [4 x^{3} - 4 x = 0] \div 4 \Rightarrow x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 أو (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = - 1 \\ f (0) = (0)^{4} - 2 (0)^{2} + 1 = 1 \Rightarrow f (1) = (- 1)^{4} - 2 (- 1)^{2} + 1 = 0 \\ f (- 1) = (- 1)^{4} - 2 (- 1)^{2} + 1 = 0, (0, 1), (1, 0), (- 1, 0) الحرجة النقاط \end{aligned}$

مناطق التزايد = ${x : x > 1}, (- 1, 0)$

مناطق التناقص = ${x : x < - 1}$

(1,0-), (1,0) نهاية صغرى محلية

(0,1) نهاية عظمى محلية

الشكل

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{3} (- 4 + x)$

$\begin{aligned} f (x) = - 4 x^{3} + x^{4} \Rightarrow \bar{f} (x) = - 12 x^{3} + 4 x^{3}, \bar{f} (x) = 0 \\ [- 12 x^{2} + 4 x^{3} = 0] \div 4 \Rightarrow - 3 x^{2} + x^{3} = 0 \Rightarrow x^{2} (- 3 + x) = 0 \end{aligned} \begin{aligned} إما x^{2} = 0 التربيعي بالجذر \Rightarrow x = 0 \\ أو x = 3 \end{aligned} f (0) = - 4 (0)^{3} - (0)^{4} = 0 \Rightarrow f (3) = - 4 (3)^{3} + (3)^{4} = - 4 (27) + 81 = - 108 + 81 = - 27 (0, 0), (3, - 27) الحرجة النقاط$

مناطق التزايد = ${x : x > 3}$

مناطق التناقص = ${x : x < 0}, (0, 3)$

(0,0) مجرد نقطة حرجة

(27-,3) نهاية صغرى محلية

الشكل

ملاحظة:

إيجاد الثوابت a,b إذا كانت صيغة السؤال أن للدالة نهاية محلية عند عدد = x فهنا عند الحل نتبع الخطوات التالية:

نجد المشتقة
مساواة المشتقة بالصفر ثم نعوضها قيمة x في المشتقة لنجد قيم المجهول

6- إذا كانت $f (x) = x^{3} + a x + 5$ لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

$f (x) = 3 x^{2} + a \begin{aligned} \bar{f} (x) = 0, x = 1 \Rightarrow 3 (1)^{2} + a = 0 \Rightarrow a = - 3 \\ ∴ f (x) = x^{3} - 3 x + 5 \Rightarrow \bar{f} (x) = 3 x^{2} - 3, \bar{f} (x) = 0 \\ [3 x^{2} - 3 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \\ (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = - 1 \\ f (1) = (1)^{3} - 3 (1) + 5 = 3 \\ f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1) + 5 = 7 \\ (1, 3), (- 1, 7) الحرجة النقاط \end{aligned}$

النقطة (1,3) نهاية صغرى محلية

الشكل

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال أن الدالة تمتلك نقطة نهاية محلية (x,y) وكان المطلوب إيجاد الثوابت عنه الحل نتبع الخطوات التالية:

نجد المشتقة $\bar{f} (x)$
مساواة المشتقة بالصفر $\bar{f} (x) = 0$ ثم نعوض من النقطة فقط قيمة x
نعوض النقطة كاملة في الدالة الأصلية فتبقى الثوابت مجهولة نستخرجها.

7- إذا كانت $f (x) = a x^{3} + b x$ وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة $a, b, \in R$ ؟ وما نوع النهاية؟

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 3 a x^{2} + b \\ \bar{f} (x) = 0, x = 1 \\ a (1)^{2} + b = 0 \Rightarrow 3 a + b = 0 . . . . (1) \end{aligned}$

النقطة (2-,1) تحقق الدالة الأصلية

$\begin{aligned} 2 = a (1)^{3} + b (1) \Rightarrow a + b = - 2 . . . . (2) \\ 3 a + b = 0 . . . . (1) \end{aligned}$

نحصل على (2) و(1) من

$\begin{aligned} بالطرح -a - a \mp b = \pm 2 . . . . (2) \\ 2 a = 2 \Rightarrow a = 1 \\ 3 (1) + b = 0 \Rightarrow b = - 3 (1 في a قيمة نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} ∴ f (x) = x^{3} - 3 x \\ \bar{f} (x) = 3 x^{2} - 3 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow (x - 1) (x + 1) = 0 \\ إما x = 1 أو x = - 1 \\ f (1) = (1)^{3} - 3 (1) = - 2 \\ f (1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1) = 2 \\ (1, - 2), (- 1, 2) الحرجة النقاط \end{aligned}$

النقطة (2-,1) نهاية صغرى محلية

مناطق التزايد = ${x : x > 1}, {x : x < - 1}$

مناطق التناقص = $(- 1, 1)$

الشكل

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ ؟

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 7$

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{3} (- 4 + x)$

6- إذا كانت $f (x) = x^{3} + a x + 5$ لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

7- إذا كانت $f (x) = a x^{3} + b x$ وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة $a, b, \in R$ ؟ وما نوع النهاية؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى ج1

فيديو شرح درس النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى ج2

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة f(x)=x2−4x+3

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص f(x)=x3−3x+6؟

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة f(x)=x3−3x2−9x+7

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة f(x)=x4−2x2+1

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة f(x)=x3(−4+x)

6- إذا كانت f(x)=x3+ax+5 لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

7- إذا كانت f(x)=ax3+bx وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة a,b,∈R؟ وما نوع النهاية؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى ج1

فيديو شرح درس النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى ج2

النقاشات

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{2} - 4 x + 3$

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص $f (x) = x^{3} - 3 x + 6$ ؟

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 7$

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة $f (x) = x^{3} (- 4 + x)$

6- إذا كانت $f (x) = x^{3} + a x + 5$ لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

7- إذا كانت $f (x) = a x^{3} + b x$ وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة $a, b, \in R$ ؟ وما نوع النهاية؟