النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص والنهايات العظمى والصغرى

خطوات الحل:

• نجد المشتقة الأولى للدالة

• مساواة المشتقة الأولى بالصفر

• نستخرج قيم x ثم نعوض قيم x في الدالة الأصلية لإيجاد y فيتكون لدينا نقطة كاملة (x,y) تسمى نقطة حرجة.

• نضع قيم x المستخرجة على خط الأعداد ثم نعطي قيم أكبر وأصغر من x بحيث نختبر في المشتقة ثم نلاحظ:

أ- إذا كانت المشتقة (عدد موجب) فإنها منطقة تزايد

ب- إذا كانت (عدد سالب) فإنها منطقة تناقص

• النهايات (نلاحظ شكل الدالة)

أ- إذا كانت بهذا الشكل نهاية عظمى محلية

ب- إذا كانت بهذا الشكل نهاية صغرى محلية

ج- إذا كانت بهذا الشكل مجرد نقطة حرجة

1- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة

النقطة (1-,2) نقطة حرجة

مناطق التناقص =

مناطق التزايد =

2- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص ؟

مناطق التزايد =

مناطق التناقص =

3- جد النقاط الحرجة ومناطق التزايد والتناقص للدالة

مناطق التناقص =

مناطق التزايد =

4- جد النقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة

مناطق التزايد =

مناطق التناقص =

(1,0-), (1,0) نهاية صغرى محلية

(0,1) نهاية عظمى محلية

5- جد نقاط النهايات العظمى والصغرى إن وجدت للدالة

مناطق التزايد =

مناطق التناقص =

(0,0) مجرد نقطة حرجة

(27-,3) نهاية صغرى محلية

ملاحظة:

إيجاد الثوابت a,b إذا كانت صيغة السؤال أن للدالة نهاية محلية عند عدد = x فهنا عند الحل نتبع الخطوات التالية:

1. نجد المشتقة

2. مساواة المشتقة بالصفر ثم نعوضها قيمة x في المشتقة لنجد قيم المجهول

6- إذا كانت لها نقطة نهاية محلية عند 1=x جد قيمة a؟ وبين نوع النهاية؟

النقطة (1,3) نهاية صغرى محلية

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال أن الدالة تمتلك نقطة نهاية محلية (x,y) وكان المطلوب إيجاد الثوابت عنه الحل نتبع الخطوات التالية:

1. نجد المشتقة

2. مساواة المشتقة بالصفر ثم نعوض من النقطة فقط قيمة x

3. نعوض النقطة كاملة في الدالة الأصلية فتبقى الثوابت مجهولة نستخرجها.

7- إذا كانت وكانت تمتلك نهاية محلية عند النقطة (2-,1) فما قيمة ؟ وما نوع النهاية؟

النقطة (2-,1) تحقق الدالة الأصلية

نحصل على (2) و(1) من

النقطة (2-,1) نهاية صغرى محلية

مناطق التزايد =

مناطق التناقص =