للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (4-3)

1- جد نقطة النهايات العظمى أو الصغرى المحلية لكل من الدوال الآتية:

- $f (x) = x^{4} - 1$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 4 x^{3}, \bar{f} (x) = 0 \\ 4 x^{3} = 0 \Rightarrow x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ f (0) = y = (0)^{4} - 1 = - 1 \end{aligned}$

النقطة (1-,0) نقطة حرجة

النقطة (1-,0) نهاية صغرى محلية

مناطق التناقص = ${x : x < 0}$

مناطق التزايد = ${x : x > 0}$

الشكل

- $f (x) = x^{3}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 3 x^{2}, \bar{f} (x) = 0 \\ [3 x^{2} = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ f (0) = (0)^{3} = 0 \end{aligned}$

النقطة (0,0) نقطة حرجة

مناطق التزايد = ${x : x < 0}$

مناطق التناقص = ${x : x > 0}$

الشكل

- $f (x) = (x - 1)^{3}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 3 (x - 1)^{2}, \bar{f} (x) = 0 \\ [3 (x - 1)^{2} = 0] \div 3 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 0 التربيعي بالجذر \\ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \Rightarrow f (1) = (1 - 1)^{3} = 0 \end{aligned}$

النقطة (1,0) مجرد نقطة حرجة

مناطق التزايد = ${x : x < 1}, {x : x > 1}$

الشكل

- $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 3 x^{2} - 18 x + 24, \bar{f} (x) = 0 \\ 3 x^{2} - 18 x + 24 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 6 x + 8 = 0 \Rightarrow (x - 4) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 4, x = 2 \\ f (4) = - (4)^{3} - 9 (4)^{2} + 24 (2) = 64 - 144 + 96 = 160 - 144 = 16 \\ f (2) = (2)^{3} + 9 (2)^{4} + 24 (2) = 8 - 36 + 48 = 56 - 36 = 20 \\ (4, 16), (2, 20) الحرجة النقاط \end{aligned}$

مناطق التزايد = ${x : x > 4}, {x : x < 2}$

مناطق التناقص = $(2, 4)$

(2,20) نهاية عظمى محلية

(4,16) نهاية صغرى محلية

الشكل

- $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

$\bar{f} (x) = 4 x^{3} - 4 x, \bar{f} (x) = 0 \begin{aligned} [4 x^{3} - 4 x = 0] \div 4 \Rightarrow x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 أو (x - 1) (x + 1) = 0 \Rightarrow x = 1, x = - 1 \\ f (0) = (0)^{4} - 2 (0)^{2} - 3 = - 3 \\ f (1) = (1)^{4} - 2 (1)^{2} - 3 = - 4 \\ f (- 1) = (- 1)^{4} - 2 (- 1)^{2} - 3 = - 4 \\ (0, - 3), (1, - 4), (- 1, - 4) الحرجة النقاط \end{aligned}$

مناطق التزايد = ${x : x > 1}, (- 1, 0)$

مناطق التناقص = ${x : x < - 1}, (0, 1)$

النقطة (4-,1-) نهاية صغرى محلية

(4-,1) نهاية صغرى محلية

(3-,0) نهاية عظمى محلية

الشكل

- $f (x) = 5 + 4 x^{3} - x^{4}$

$\bar{f} (x) = 12 x^{2} - 4 x^{3}, \bar{f} (x) = 0 \begin{aligned} [12 x^{2} - 4 x^{3} = 0] \div 4 \Rightarrow 3 x^{2} - x^{3} = 0 \Rightarrow x^{2} (3 - x) = 0 \\ إما x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 أو x = 3 \\ f (0) = 5 + 4 (0)^{3} - (0)^{4} = 5 \\ f (3) = 5 + 4 (3)^{3} + (3)^{4} = 5 + 4 (27) - 81 \\ y = 5 + 108 + 81 = 113 - 81 = 32 \end{aligned}$

النقاط (5,0) مجرد نقطة حرجة

(3,32) نهاية عظمى محلية

مناطق التزايد = ${x : x < 0}, (0, 3)$

مناطق التناقص = ${x : x < 3}$

الشكل

- $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

$\bar{f} (x) = 12 x^{2} + 12 x^{2}, \bar{f} (x) = 0 \begin{aligned} 12 x^{3} + 12 x^{2} = 0] \div 12 \\ x^{3} + x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} (x + 1) = 0 \\ إما x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0, أو x = - 1 \\ f (0) = 3 (0)^{4} - (0)^{3} = 0 \\ f (- 1) = 3 (- 1)^{4} + 4 (- 1)^{3} = - 1 \\ (0, 0), (- 1, - 1) الحرجة النقاط \end{aligned}$

(0,0) نقطة حرجة

(1-,1-) نهاية صغرى محلية

مناطق التزايد = ${x : x < 0}, (- 1, 0)$

مناطق التناقص = ${x : x < - 1}$

الشكل

2- إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة $f (x) = a + (x - b)^{2}$ فجد قيمة كل من $a, b \in R$ ؟

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 2 (x - b), \bar{f} (x) = 0, x = 2 \\ 2 (2 - b) = 0] \div 2 \Rightarrow 2 - b = 0 \Rightarrow b = 2 \\ ∴ f (x) = a + (x - 2)^{2} الدالة في النقطة نعوض \\ ∴= a + (2 - 2)^{2} \Rightarrow a = 1 \end{aligned}$

3- إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة $f (x) = 3 + a x + b x^{2}$ فما قيمة $a, b \in R$ ؟ وما نوع النقطة الحرجة؟

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = a + 2 b x, \bar{f} (x) = 0, x = 1 \\ a + 2 b (1) = 0 \Rightarrow a + 2 b = 0 . . . . (1) \end{aligned}$

نعوض النقطة (1,4) في الدالة

$\begin{aligned} 4 = 3 + a + b \Rightarrow a + b = 1 . . . . (2) \\ a + 2 b = 0 . . . . (1) \end{aligned}$

من (1) و(2) نحصل على

$- a \mp b = \pm - 1 بالطرح \begin{matrix} b = - 1 (1 معادلة في نعوض) \\ a + 2 (- 1) = 0 \Rightarrow a \end{matrix} \begin{aligned} ∴ f (x) = 3 + 2 x - x^{2} \\ \bar{f} (x) = 2 - 2 x \Rightarrow \bar{f} (x) = 0 \\ 2 - 2 x = 0 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$

الشكل

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (4-3)

1- جد نقطة النهايات العظمى أو الصغرى المحلية لكل من الدوال الآتية:

- $f (x) = x^{4} - 1$

- $f (x) = x^{3}$

- $f (x) = (x - 1)^{3}$

- $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x$

- $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

- $f (x) = 5 + 4 x^{3} - x^{4}$

- $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

2- إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة $f (x) = a + (x - b)^{2}$ فجد قيمة كل من $a, b \in R$ ؟

3- إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة $f (x) = 3 + a x + b x^{2}$ فما قيمة $a, b \in R$ ؟ وما نوع النقطة الحرجة؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (4-3)

1- جد نقطة النهايات العظمى أو الصغرى المحلية لكل من الدوال الآتية:

- f(x)=x4−1

- f(x)=x3

- f(x)=(x−1)3

- f(x)=x3−9x2+24x

- f(x)=x4−2x2−3

- f(x)=5+4x3−x4

- f(x)=3x4+4x3

2- إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة f(x)=a+(x−b)2 فجد قيمة كل من a,b∈R؟

3- إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة f(x)=3+ax+bx2 فما قيمة a,b∈R؟ وما نوع النقطة الحرجة؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

النقاشات

- $f (x) = x^{4} - 1$

- $f (x) = x^{3}$

- $f (x) = (x - 1)^{3}$

- $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 24 x$

- $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} - 3$

- $f (x) = 5 + 4 x^{3} - x^{4}$

- $f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3}$

2- إذا علمت أن النقطة (2,1) هي نقطة النهاية الصغرى المحلية للدالة $f (x) = a + (x - b)^{2}$ فجد قيمة كل من $a, b \in R$ ؟

3- إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة $f (x) = 3 + a x + b x^{2}$ فما قيمة $a, b \in R$ ؟ وما نوع النقطة الحرجة؟