للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

المشتقة

رموز الاشتقاق:

يرمز للمشتقة الأولى بالرمز $\bar{f} (x), \bar{y}, \frac{d y}{d x}$

يرمز للمشتقة الثانية بالرمز $\bar{\bar{f}} (x), \bar{\bar{y}}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$

المشتقة باستخدام التعريف:

$\bar{f} (x) = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x}$

1- جد $\bar{f} (2)$ للدالة $f (x) = x^{2} + x + 1$ باستخدام التعريف؟

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ \bar{f} (2) = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x} \\ \bar{f} (2) = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{(2 + Δ x)^{2} + (2 + Δ x) + 1 [(2)^{2} + 2 + 1]}{Δ x} \\ {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{4 + 4 Δ x + (Δ x)^{2} + 2 + Δ x + 1 - 7}{Δ x} \\ {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{5 Δ x + (Δ x)^{2}}{Δ x} = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{Δ x + (5 + Δ x)}{Δ x} = \\ {Lim}_{Δ x \to 0} 5 + Δ x = 5 + 0 = 5 \end{aligned}$

2- جد $f (x) = x^{2} + 5 x$ للدالة $\bar{f} (3)$ باستخدام التعريف

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{f (x + Δ x) - f (x)}{Δ x} \\ = & {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{f (3 + Δ x)^{2} + 5 (3 + Δ x) - [9 + 15]}{Δ x} \\ = & {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{9 + 6 Δ x + (Δ x)^{2} + 15 + 5 Δ x - 25}{Δ x} \\ = & {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{9 + 6 Δ x + (Δ x)^{2} + 15 + 5 Δ x - 25}{Δ x} \\ {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{25 + 6 Δ x + (Δ x)^{2} + 25 + 5 Δ x}{Δ x} \\ {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{11 Δ x + (Δ x)^{2}}{Δ x} = {Lim}_{Δ x \to 0} \frac{Δ x + (11 + Δ x)}{Δ x} \\ = & {Lim}_{Δ x \to 0} 11 + 0 = 11 \end{aligned}$

قواعد المشتقة:

القاعدة الأولى: مشتقة الثابت = صفر

3- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f (x) = 100$

$f (x) = 100 \Rightarrow \bar{f} (x) = 0$

- $f (x) = \sqrt[3]{5}$

$f (x) = \sqrt[3]{5} \Rightarrow \bar{f} (x) = 0$

- $f (x) = \frac{3}{16}$

$f (x) = \frac{3}{16} \Rightarrow \bar{f} (x) = 0$

القاعدة الثانية: مشتقة دالة مرفوعة إلى أس

الأس ينزل كما هو في الدالة نفسها منقوص من أسها واحد

$\begin{matrix} f (x) = x^{n} \\ \bar{f} (x) = n x^{n - 1} \end{matrix}$

4- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f (x) = x^{5}$

$f (x) = x^{5} \Rightarrow \bar{f} (x) = 5 x^{4}$

- $f (x) = x^{- 3}$

$f (x) = x^{- 3} \Rightarrow \bar{f} (x) = - 3 x^{- 4}$

ملاحظة:

إذا كان الأس کسر موجب نطبق القاعدة $\frac{المقام - البسط}{نفسه المقام}$

- $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

- $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

ملاحظة:

إذا كان الأس کسر سالب نطبق القاعدة $\frac{(المقام + البسط) -}{نفسه المقام}$

- $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

$f (x) = x^{- \frac{1}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = - \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}}$

- $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{- \frac{3}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = - \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}}$

ملاحظة:

كل دالة جذرية نحولها إلى دالة أسية ثم نبدأ بالاشتقاق $f (x) = \sqrt[n]{x^{m}} = x^{\frac{m}{n}}$

- $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow f (x) = x^{\frac{2}{3}} \\ \bar{f} (x) = \frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}} \end{aligned}$

- $f (x) = \sqrt{x}$

$\begin{aligned} f (x) = \sqrt{x} \Rightarrow f (x) = x^{\frac{1}{2}} \\ \bar{f} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}$

القاعدة الثالثة: مشتقة حاصل ضرب ثابت × دالة = الثابت × مشتقة الدالة

5- جد مشتقة الدوال الآتية:

- $f (x) = 5 x^{4}$

$f (x) = 5 x^{4} \Rightarrow \bar{f} (x) = 20 x^{3}$

- $f (x) = 10 x^{- 3}$

$f (x) = 10 x^{- 3} \Rightarrow \bar{f} (x) = - 30 x^{- 4}$

- $f (x) = 25 x^{\frac{1}{5}}$

$f (x) = 25 x^{\frac{1}{5}} \Rightarrow \bar{f} (x) = 25 (\frac{1}{5}) x^{- \frac{4}{5}} = 5 x^{- \frac{4}{5}}$

- $f (x) = 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

$\begin{aligned} f (x) = 6 \sqrt[3]{x^{2}} \Rightarrow f (x) = 6 x^{\frac{2}{3}} \\ \bar{f} (x) = 6 (\frac{2}{3}) x^{- \frac{1}{3}} = 4 x^{- \frac{1}{3}} \end{aligned}$

- $f (x) = 3 \sqrt{x}$

$\begin{aligned} f (x) = 3 \sqrt{x} \Rightarrow f (x) = 3 x^{\frac{1}{2}} \\ \bar{f} (x) = 3 (\frac{1}{2}) x^{- \frac{1}{2}} = \frac{3}{2} x^{- \frac{1}{2}} \end{aligned}$

- $f (x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

$\begin{aligned} f (x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}} \Rightarrow f (x) = \frac{6}{x^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow f (x) = 6 x^{\frac{- 2}{3}} \\ \bar{f} (x) = 6 (\frac{- 2}{3}) x^{- \frac{5}{3}} = - 4 x^{- \frac{5}{3}} \end{aligned}$

القاعدة الرابعة: مشتقة حاصل جمع أو طرح عدة دوال = حاصل جمع أو طرح مشتقاتها

6- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{2} + 8$

$f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{2} + 8 \Rightarrow \bar{f} (x) = 15 x^{4} + 4 x$

- $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 6$

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 6 \Rightarrow \bar{f} (x) = 12 x^{3} - 8 x$

- $f (x) = 2 x^{3} + \frac{1}{2} x$

$f (x) = 2 x^{3} + \frac{1}{2} x \Rightarrow \bar{f} (x) = 6 x^{2} + \frac{1}{2}$

- $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + 8$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + 8 \Rightarrow \bar{f} (x) = x - 4 x^{2}$

القاعدة الخامسة: مشتقة حاصل ضرب دالتين

= الدالة الأولى × مشتقة الثانية + الدالة الثانية × مشتقة الأولى

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \cdot h (x) \\ \bar{f} (x) = g (x) \cdot \bar{h} (x) + h (x) \cdot \bar{g} (x) \end{aligned}$

7- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = (x^{4} - x^{2} + 1) (5 x^{6} - 3 x)$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = (x^{4} - & x^{2} + 1) (30 x^{5} - 3) + (5 x^{6} - 3 x) (4 x^{3} - 2 x) \end{aligned}$

- $f (x) = (x^{3} + 7) (x^{2} - 4 x + 5)$

$\bar{f} (x) = (x^{3} + 7) (2 x - 4) + (x^{2} - 4 x + 5) + (3 x^{2})$

- $f (x) = (3 x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 1)$

$\bar{f} (x) = (3 x^{2} + 2 x + 1) (2) + (2 x - 1) (6 x + 2)$

8- جد المشتقة للدالة $f (x) = (4 - x) (x^{2} + 3)$ عند x=2

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = (4 - x) (2 x) + (x^{2} + 3) (- 1) \\ \bar{f} (2) = (4 - 2) (4) + (4 + 3) (- 1) = 8 - 7 = 1 \end{aligned}$

القاعدة السادسة: مشتقة حاصل قسمة دالتين $\frac{المقام مشتقة \times البسط - البسط مشتقة \times المقام}{{المقام}^{2}} =$

9- جد مشتقة الدالة عند x=1 إذا كانت:

- $f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{4} + 1}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = \frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} + 1) (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}} \\ \bar{f} (1) = \frac{(1 + 1) (3) - (1 + 1) (4)}{(1 + 1)^{2}} \\ \bar{f} (1) = \frac{6 - 8}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} \end{aligned}$

- $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = \frac{(3 x^{2}) (2) - (2 x + 1) (6 x)}{{(3 x^{2})}^{2}} \\ \bar{f} (1) = \frac{(3) (2) - (2 + 1) (6)}{(3)^{2}} \\ \bar{f} (1) = \frac{6 - 18}{9} = \frac{- 12}{9} = \frac{- 4}{3} \end{aligned}$

- $f (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 2}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) & = \frac{(x^{2} + 2) (3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}} \\ \bar{f} (1) & = \frac{(1 + 2) (3) - (3 - 1) (2)}{(1 + 2)^{2}} = \frac{9 - 4}{9} = \frac{5}{9} \end{aligned}$

القاعدة السابعة: مشتقة قوس مرفوع إلى أس = الأس ينزل كما هو × القوس نفسه منقوص من أس القوس واحد × مشتقة داخل القوس

10- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = {(x^{3} + x^{2} + 1)}^{5}$

$\bar{f} (x) = 5 {(x^{3} + x^{2} + x + 1)}^{4} (3 x^{2} + 2 x)$

- $f (x) = {(x^{2} - 5 x + 3)}^{10}$

$\bar{f} (x) = 10 {(x^{2} - 5 x + 3)}^{9} (2 x - 5)$

- $f (x) = (1 - x)^{3}$

$\bar{f} (x) = 3 (1 - x)^{2} (- 1) = - 3 (1 - x)^{2}$

11- جد $\bar{f} (x)$ عند 1 = x إذا كانت $f (x) = {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

$\begin{aligned} \bar{f} (x) = 4 {(\frac{x}{x + 1})}^{3} (\frac{(x + 1) (1) - x (1)}{(x + 1)^{2}}) \\ \bar{f} (x) = 4 {(\frac{1}{1 + 1})}^{3} \frac{1}{(1 + 1)^{2}} = 4 \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8} \end{aligned}$

12- إذا كانت $y = x^{4} + 5 x^{3} + 3$ جد $\bar{\bar{y}}, \bar{y}$

$\bar{y} = 4 x^{3} + 15 x^{2} \Rightarrow \bar{y} = 12 x^{2} + 30 x$

13- إذا كانت $f (x) = 2 x^{3} + 4 + \frac{3}{x}$ جد $\bar{\bar{f}} (- 1), \bar{\bar{f}} (x), \bar{f} (x)$

$\begin{aligned} f (x) = 2 x^{3} + 4 + 3 x^{- 1} \\ \bar{f} (x) = 6 x^{2} - 3 x^{- 2} \\ \bar{\bar{f}} (x) = 12 x + 6 x^{- 3} = 12 x + \frac{6}{x^{3}} \\ \bar{\bar{f}} (1) = - 12 + \frac{6}{- 1} = - 12 - 6 = - 18 \end{aligned}$

ملاحظة:

مشنقة الجذر التربيعي = $\frac{الجذر داخل مشتقة}{\sqrt[2]{نفسه الجذر}}$

14- إذا كانت $f (x) = \sqrt{x^{3} + x^{2} + 5}$ جد $\bar{f} (x)$

$\bar{f} (x) = \frac{3 x^{2} + 2 x}{2 \sqrt{x^{3} + x^{2} + 5}}$

ملاحظة:

مشنقة الجذر التكعيبي = $\frac{الجذر داخل مشتقة}{3 \sqrt[3]{{(نفسه الجذر)}^{2}}}$

15- إذا كانت $f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 1}$ جد $\bar{f} (x)$

$\bar{f} (x) = \frac{2 x - 2}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}}$

16- إذا كانت $f (x) = 6 \sqrt{3 x^{2} + 4}$ جد كلاً من:

- $\bar{f} (x)$

$\bar{f} (x) = 6 \times \frac{6 x}{2 \sqrt{3 x^{2} + 4}} = \frac{18 x}{\sqrt{3 x^{2} + 4}}$

- $\bar{f} (2)$

$\bar{f} (2) = \frac{18 (2)}{\sqrt{3 (2)^{2} + 4}} = \frac{36}{\sqrt{16}} = \frac{36}{4} = 9$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المشتقة

1- جد f¯(2) للدالة f(x)=x2+x+1 باستخدام التعريف؟

2- جد f(x)=x2+5x للدالة f¯(3) باستخدام التعريف

3- جد مشتقة الدوال الآتية:

- f(x)=100

- f(x)=53

- f(x)=316

f(x)=316⇒f¯(x)=0

4- جد مشتقة الدوال الآتية:

- f(x)=x5

- f(x)=x−3

- f(x)=x12

f(x)=x12⇒f¯(x)=12x−12

- f(x)=x32

f(x)=x32⇒f¯(x)=32x12

- f(x)=x−12

- f(x)=x−32

- f(x)=x23

- f(x)=x

5- جد مشتقة الدوال الآتية:

- f(x)=5x4

- f(x)=10x−3

- f(x)=25x15

- f(x)=6x23

- f(x)=3x

- f(x)=6x23

6- جد f¯(x) لكل مما يأتي:

- f(x)=3x5+2x2+8

- f(x)=3x4−4x2+6

- f(x)=2x3+12x

- f(x)=12x2−43x3+8

f(x)=12x2−43x3+8⇒f¯(x)=x−4x2

7- جد f¯(x) لكل مما يأتي:

- f(x)=(x4−x2+1)(5x6−3x)

- f(x)=(x3+7)(x2−4x+5)

- f(x)=(3x2+2x+1)(2x−1)

8- جد المشتقة للدالة f(x)=(4−x)(x2+3) عند x=2

9- جد مشتقة الدالة عند x=1 إذا كانت:

- f(x)=x3+1x4+1

- f(x)=2x+13x2

- f(x)=3x−1x2+2

10- جد f¯(x) لكل مما يأتي:

- f(x)=(x3+x2+1)5

- f(x)=(x2−5x+3)10

- f(x)=(1−x)3

f¯(x)=3(1−x)2(−1)=−3(1−x)2

11- جد f¯(x) عند 1 = x إذا كانت f(x)=(xx+1)4

12- إذا كانت y=x4+5x3+3 جد y¯¯,y¯

13- إذا كانت f(x)=2x3+4+3x جد f¯¯(−1),f¯¯(x),f¯(x)

14- إذا كانت f(x)=x3+x2+5 جد f¯(x)

15- إذا كانت f(x)=x2−2x+13 جد f¯(x)

16- إذا كانت f(x)=63x2+4 جد كلاً من:

- f¯(x)

- f¯(2)

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المشتقة ج1

فيديو شرح درس المشتقة ج2

النقاشات

1- جد $\bar{f} (2)$ للدالة $f (x) = x^{2} + x + 1$ باستخدام التعريف؟

2- جد $f (x) = x^{2} + 5 x$ للدالة $\bar{f} (3)$ باستخدام التعريف

- $f (x) = 100$

- $f (x) = \sqrt[3]{5}$

- $f (x) = \frac{3}{16}$

$f (x) = \frac{3}{16} \Rightarrow \bar{f} (x) = 0$

- $f (x) = x^{5}$

- $f (x) = x^{- 3}$

- $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

- $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$

$f (x) = x^{\frac{3}{2}} \Rightarrow \bar{f} (x) = \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

- $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$

- $f (x) = x^{- \frac{3}{2}}$

- $f (x) = \sqrt[3]{x^{2}}$

- $f (x) = \sqrt{x}$

- $f (x) = 5 x^{4}$

- $f (x) = 10 x^{- 3}$

- $f (x) = 25 x^{\frac{1}{5}}$

- $f (x) = 6 \sqrt[3]{x^{2}}$

- $f (x) = 3 \sqrt{x}$

- $f (x) = \frac{6}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

6- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = 3 x^{5} + 2 x^{2} + 8$

- $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{2} + 6$

- $f (x) = 2 x^{3} + \frac{1}{2} x$

- $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + 8$

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{4}{3} x^{3} + 8 \Rightarrow \bar{f} (x) = x - 4 x^{2}$

7- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = (x^{4} - x^{2} + 1) (5 x^{6} - 3 x)$

- $f (x) = (x^{3} + 7) (x^{2} - 4 x + 5)$

- $f (x) = (3 x^{2} + 2 x + 1) (2 x - 1)$

8- جد المشتقة للدالة $f (x) = (4 - x) (x^{2} + 3)$ عند x=2

- $f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{4} + 1}$

- $f (x) = \frac{2 x + 1}{3 x^{2}}$

- $f (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 2}$

10- جد $\bar{f} (x)$ لكل مما يأتي:

- $f (x) = {(x^{3} + x^{2} + 1)}^{5}$

- $f (x) = {(x^{2} - 5 x + 3)}^{10}$

- $f (x) = (1 - x)^{3}$

$\bar{f} (x) = 3 (1 - x)^{2} (- 1) = - 3 (1 - x)^{2}$

11- جد $\bar{f} (x)$ عند 1 = x إذا كانت $f (x) = {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

12- إذا كانت $y = x^{4} + 5 x^{3} + 3$ جد $\bar{\bar{y}}, \bar{y}$

13- إذا كانت $f (x) = 2 x^{3} + 4 + \frac{3}{x}$ جد $\bar{\bar{f}} (- 1), \bar{\bar{f}} (x), \bar{f} (x)$

14- إذا كانت $f (x) = \sqrt{x^{3} + x^{2} + 5}$ جد $\bar{f} (x)$

15- إذا كانت $f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x + 1}$ جد $\bar{f} (x)$

16- إذا كانت $f (x) = 6 \sqrt{3 x^{2} + 4}$ جد كلاً من:

- $\bar{f} (x)$

- $\bar{f} (2)$