حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الأسئلة الوزارية حول التكامل

(1)- جد ناتج كل مما يأتي:

$\int (\sin x - 3 \sec^{2} x) d x$

$\int (\sin x - 3 \sec^{2} x) d x = - \cos x - 3 \tan x + c$

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x & = \int_{0}^{3} (1 + x)^{- \frac{1}{2}} d x = {[\frac{(1 + x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]}_{0}^{3} \\ = [2 \sqrt{1 + x}]_{0}^{3} = [2 \sqrt{4}] - [2 \sqrt{1}] = 4 - 2 = 2 \end{aligned}$

$\int \cos 6 x \cos 3 x d x$

$\begin{aligned} \int \cos 6 x \cos 3 x d x = \int (1 - 2 \sin^{2} 3 x) \cos 3 x d x \\ = \int \cos 3 x d x - 2 \int \sin^{2} 3 x \cos 3 x d x \\ = \frac{1}{3} \int \cos 3 x (3) d x - \frac{2}{3} \int \sin^{2} 3 x \cos 3 x (3) d x \\ = \frac{1}{3} \sin 3 x - \frac{2}{3} \cdot \frac{\sin^{3} 3 x}{3} + c = \frac{1}{3} \sin 3 x - \frac{2}{9} \sin^{3} 3 x + c \end{aligned}$

$\int (\sec x - \sin x) (\sec x + \sin x) d x$

$\begin{aligned} \int (\sec x - \sin x) (\sec x + \sin x) d x \\ = \int (\sec^{2} x - \sin^{2} x) d x = \int \sec^{2} x d x - \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2 x) d x \\ = \tan x - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin 2 x) + c = \tan x - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + c \end{aligned}$

$\int_{4}^{8} x \sqrt{x^{2} - 15} d x = \int_{4}^{8} x {(x^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}} d x$

$\begin{aligned} \int_{4}^{8} x \sqrt{x^{2} - 15} d x = \int_{4}^{8} x {(x^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{4}^{8} 2 x {(x^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}} d x = {[\frac{1}{2} \cdot \frac{{(x^{2} - 15)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{4}^{8} = {[\frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 15)}^{\frac{3}{2}}]}_{4}^{8} \\ = [\frac{1}{3} (64 - 15)^{\frac{3}{2}}] - [\frac{1}{3} (1)^{\frac{3}{2}}] = [\frac{1}{3} (49)^{\frac{3}{2}}] - [\frac{1}{3} (1)^{\frac{3}{2}}] = [\frac{1}{3} {(7^{2})}^{\frac{3}{2}}] - [\frac{1}{3} (1)^{\frac{3}{2}}] \\ = \frac{343}{3} - \frac{1}{3} = \frac{342}{3} = 114 \end{aligned}$

$\int \cos 2 x \sin^{2} x d x$

$\int \cos 2 x \sin^{2} x d x = \int \cos 2 x \cdot \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x) d x \begin{aligned} = \frac{1}{2} \int \cos 2 x d x - \frac{1}{2} \int \cos^{2} 2 x d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \cos 2 x (2) d x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int (1 + \cos 4 x) d x \\ = \frac{1}{4} \int \cos 2 x (2) d x - \frac{1}{4} [\int d x + \frac{1}{4} \int \cos 4 x (4) d x \\ = \frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{1}{4} (x + \frac{1}{4} \sin 4 x) + c = \frac{1}{4} \sin 2 x - \frac{1}{4} x - \frac{1}{16} \sin 4 x + c \end{aligned}$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\begin{aligned} \int (1 + \cos 3 x)^{2} d x = \int (1 + 2 \cos 3 x + \cos^{2} 3 x) d x \\ = \int d x + 2 \int \cos 3 x d x + \frac{1}{2} \int (1 + \sin 6 x) d x \\ = \int d x + 2 \int \cos 3 x d x + \frac{1}{2} [\int d x + \frac{1}{6} \int \sin 6 x (6) d x] \\ = x + \frac{2}{3} \sin 3 x + \frac{1}{2} (x + \frac{1}{6} \sin 6 x) + c = \frac{3}{2} x + \frac{2}{3} \sin 3 x + \frac{1}{12} \sin 6 x + c \end{aligned}$

$\int (\cos x - \sin 2 x)^{2} d x$

$\begin{aligned} \int (\cos x - \sin 2 x)^{2} d x = \int (\cos^{2} x - 2 \cos x \sin 2 x + \sin^{2} 2 x) \\ = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2 x) d x - 2 \int \cos x \cdot (2 \sin x \cos x) d x + \frac{1}{2} \int (1 - \cos 4 x) d x \\ = \frac{1}{2} [\int d x + \frac{1}{2} \int \cos 2 x (2) d x] + 4 \int \cos^{2} x (- \sin x) d x + \frac{1}{2} [\int d x - \frac{1}{4} \int \cos 4 x (4) d x] \\ = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + 4 \cdot \frac{\cos^{3} x}{3} + \frac{1}{2} (x - \frac{1}{4} \sin 4 x) + c \\ = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin 2 x + \frac{4}{3} \cos^{3} x + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + c \\ = x + \frac{1}{4} \sin 2 x + \frac{4}{3} \cos^{3} x - \frac{1}{8} \sin 4 x + c \end{aligned}$

(2)- إذا كان $\int_{- 1}^{a} (x - x^{3}) d x = \frac{- 9}{4}$ ما قيمة $a \in R^{+}$ ؟

$\begin{aligned} \int_{- 1}^{a} (x - x^{3}) d x = \frac{- 9}{4} \Rightarrow {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{- 1}^{a} = \frac{- 9}{4} \Rightarrow [\frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{4}}{4}] - [\frac{1}{2} - \frac{1}{4}] = \frac{- 9}{4} \\ \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{4}}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{- 9}{4} \Rightarrow \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{4}}{4} - \frac{1}{4} = \frac{- 9}{4} \overset{(x - 4)}{⟹} - 2 a^{2} + a^{4} + 1 = 9 \\ a^{4} - 2 a^{2} + 1 - 9 = 0 \Rightarrow a^{4} - 2 a^{2} - 8 = 0 \\ (a^{2} - 4) (a^{2} + 2) = 0 \Rightarrow (a^{2} - 4) = 0 \\ either a^{2} = 4 \Rightarrow a = 2 \\ or a^{2} + 2 = 0 (تهمل) \end{aligned}$

(3)- إذا كان $\int_{a}^{b} (2 x + 3) d x = 12$ وكان $a + 2 b = 3$ ما قيمة $a, b \in R$ ؟

$\begin{aligned} a = 3 - 2 b \dots \dots \dots (1) \\ \int_{a}^{b} (2 x + 3) d x = 12 \Rightarrow {[x^{2} + 3 x]}_{a}^{b} = 12 \Rightarrow [b^{2} + 3 b] - [a^{2} + 3 a] = 12 \\ b^{2} + 3 b - (3 - 2 b)^{2} - 3 (3 - 2 b) = 12 \\ b^{2} + 3 b - (9 - 12 b + 4 b^{2}) - 9 + 6 b - 12 = 0 \\ b^{2} + 3 b - 9 + 12 b - 4 b^{2} - 9 + 6 b - 12 = 0 \\ [- 3 b^{2} + 21 b - 30 = 0] \div - 3 \Rightarrow b^{2} - 7 b + 10 = 0 \\ (b - 5) (b - 2) = 0 \\ either b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow a = 3 - 2 (2) \Rightarrow a = - 1 \\ or b - 5 = 0 \Rightarrow b = 5 \Rightarrow a = 3 - 2 (5) \Rightarrow a = - 7 \end{aligned}$

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} x$ ومحور السينات وعلى $[0, \frac{π}{2}]$ .

$\begin{aligned} 1 - 2 \sin^{2} x = 0 \Rightarrow \cos 2 x = 0 \\ 2 x = \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{4} \in [0, \frac{π}{2}] \\ 2 x = \frac{3 π}{2} \Rightarrow x = \frac{3 π}{4} \notin [0, \frac{π}{2}] [0, \frac{π}{4}], [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}] = 0 (الفترات) \end{aligned} \begin{aligned} A & = | \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x | + | \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{2}{2}} \cos 2 x d x | = | {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}_{0}^{\frac{π}{4}} | + | {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} | \\ = | [\frac{1}{2} \sin \frac{π}{2}] - [\frac{1}{2} \sin 0] | + | [\frac{1}{2} \sin π] - [\frac{1}{2} \sin \frac{π}{2}] | \\ = | \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) | + | \frac{1}{2} (0) - \frac{1}{2} (1) | = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 {unit}^{2} \end{aligned}$

(5)- جد ناتج ما يأتي:

$\int \sin^{2} x \cos^{2} x d x$

$\begin{aligned} \int \sin^{2} x \cos^{2} x d x = \int [\sin x \cos x]^{2} d x = \int {[\frac{1}{2} (2 \sin x \cos x)]}^{2} d x \\ = \int {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}^{2} d x = \int \frac{1}{4} \sin^{2} 2 x d x = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \int (1 - \cos 4 x) d x \\ = \frac{1}{8} [\int d x - \frac{1}{4} \int \cos 4 x (4) d x] = \frac{1}{8} (x - \frac{1}{4} \sin 4 x) + c = \frac{1}{8} x - \frac{1}{32} \sin 4 x + c \end{aligned}$

(6)- جد ناتج ما يأتي:

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{9 - 12 x + 4 x^{2}}$

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{9 - 12 x + 4 x^{2}} = \int_{- 1}^{1} \frac{d x}{(3 - 2 x)^{2}} = \int_{- 1}^{1} (3 - 2 x)^{- 2} d x \begin{aligned} = \frac{- 1}{2} \int_{- 1}^{1} (3 - 2 x)^{- 2} \cdot (- 2) d x \\ = {[\frac{- 1}{2} \cdot \frac{(3 - 2 x)^{- 1}}{- 1}]}_{- 1}^{1} = {[\frac{1}{2 (3 - 2 x)}]}_{- 1}^{1} = [\frac{1}{2 (1)}] - [\frac{1}{2 (5)}] = \frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5 - 1}{10} = \frac{2}{5} \end{aligned}$

(7)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = x^{3} - 9 x$ ومحور السينات والفترة $[- 3, 3]$ .

$x^{3} - 9 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 9) = 0 either x = 0 or x^{2} - 9 = 0 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \pm 3 \in [- 3, 3] \begin{aligned} A = | \int_{- 3}^{0} (x^{3} - 9 x) d x | + | \int_{0}^{3} (x^{3} - 9 x) d x | = | {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{9 x^{2}}{2}]}_{- 3}^{0} | + | {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{9 x^{2}}{2}]}_{0}^{3} | \\ = | [0] - [\frac{81}{4} - \frac{81}{2}] | + | [\frac{81}{4} - \frac{81}{2}] - [0] | \\ = | \frac{- 81}{4} + \frac{81}{2} | + | \frac{81}{4} - \frac{81}{2} | = | \frac{- 81 + 162}{4} | + | \frac{81 - 162}{4} | = \frac{81}{4} + \frac{81}{4} = \frac{162}{4} = 40 \frac{1}{2} unit \end{aligned}$

(8)- جد قيمة ما يأتي: $\int_{0}^{4} \sqrt{x^{2} + 5 x} (2 x + 5) d x$

$\begin{aligned} = \int_{0}^{4} {(x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 5) d x = {[\frac{{(x^{2} + 5 x)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4} = {[\frac{2}{3} {(x^{2} + 5 x)}^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{4} \\ = [\frac{2}{3} (16 + 20)^{\frac{3}{2}}] - [\frac{2}{3} (0)^{\frac{3}{2}}] = [\frac{2}{3} {(6^{2})}^{\frac{3}{2}}] = \frac{2}{3} (216) = \frac{432}{3} = 144 \end{aligned}$

(9)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 3 x^{2}, y = x^{4} - 4$

$\begin{aligned} x^{4} - 4 = 3 x^{2} \Rightarrow h (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4 \Rightarrow x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0 \\ (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0 \\ either (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \\ or (x^{2} + 1) = 0 (تهمل) \end{aligned} \begin{aligned} A = | \int_{- 2}^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) d x | = | {[\frac{x^{5}}{5} - x^{3} - 4 x]}_{- 2}^{2} | \\ = | [\frac{32}{5} - 8 - 8] - [\frac{- 32}{5} + 8 + 8] | = | \frac{64}{5} - 32 | = \frac{96}{5} {unit}^{2} \end{aligned}$

(10)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 2 x, y = x^{2}$ وعلى الفترة $[1, 3]$ .

$h (x) = x^{2} - 2 x \Rightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 either x = 0 \notin [1, 3] or x - 2 = 0 ⟹ x = 2 \in [1, 3] \begin{aligned} ∴ A = | \int_{1}^{2} (x^{2} - 2 x) d x | + | \int_{2}^{3} (x^{2} - 2 x) d x | = | {[\frac{x^{3}}{3} - x^{2}]}_{1}^{2} + {[\frac{x^{3}}{3} - x^{2}]}_{2}^{3} | \\ = | | \frac{8}{3} - 4] - [\frac{1}{3} - 1] | + | [9 - 9] - [\frac{8}{3} - 4] ∣ \\ = | \frac{8}{3} - 4 - \frac{1}{3} + 1 | + | - \frac{8}{3} + 4 | = | \frac{7}{3} - 3 | + | \frac{- 8 + 12}{3} | = | \frac{7 - 9}{3} | + | \frac{4}{3} | = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 unit \end{aligned}$

(11)- إذا كان $\int_{h}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} d x = 2$ جد قيمة $h$ .

$\begin{aligned} \int_{h}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} d x = 2 \Rightarrow \int_{h}^{4} x {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} d x = 2 \\ \frac{1}{2} \int_{h}^{4} 2 x {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} d x = 2 \Rightarrow {[\frac{1}{2} \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]}_{h}^{4} = 2 \Rightarrow {[\sqrt{x^{2} + 9}]}_{h}^{4} = 2 \\ [\sqrt{16 + 9}] - [\sqrt{h^{2} + 9}] = 2 \Rightarrow \sqrt{25} - \sqrt{h^{2} + 9} = 2 \\ \sqrt{h^{2} + 9} = 5 - 2 \Rightarrow \sqrt{h^{2} + 9} = 3 (بالتربيع) \\ h^{2} + 9 = 9 \Rightarrow h^{2} = 0 \overset{(بالجذر)}{⟹} h = 0 \end{aligned}$

(12)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(5 - 2 x)^{2}}$

$\begin{aligned} \int_{1}^{2} (5 - 2 x)^{- 2} d x = \frac{- 1}{2} \int_{1}^{2} (5 - 2 x)^{- 2} (- 2) d x = {[\frac{- 1}{2} \cdot \frac{(5 - 2 x)^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} \\ = {[\frac{1}{2 (5 - 2 x)}]}_{1}^{2} = [\frac{1}{2 (5 - 4)}] - [\frac{1}{2 (5 - 2)}] = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \end{aligned}$

(13)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(3 x - 4)^{2}}$

$\begin{aligned} = \int_{1}^{2} (3 x - 4)^{- 2} d x = \frac{1}{3} \int_{1}^{2} (3 x - 4)^{- 2} (3) d x = {[\frac{1}{3} \cdot \frac{(3 x - 4)^{- 1}}{- 1}]}_{1}^{2} \\ = {[\frac{- 1}{3 (3 x - 4)}]}_{1}^{2} = [\frac{- 1}{3 (6 - 4)}] - [\frac{- 1}{3 (3 - 4)}] = \frac{- 1}{6} - \frac{1}{3} = \frac{- 1 - 2}{6} = \frac{- 3}{6} = \frac{- 1}{2} \end{aligned}$

(14)- إذا كان $\int_{c}^{b} f (x) d x = 3, \int_{a}^{b} f (x) d x = 5$ وكانت $c \in [a, b]$ ، جد قيمة $\int_{a}^{c} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} \int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{c} f (x) d x + \int_{c}^{b} f (x) d x \Rightarrow 5 = \int_{a}^{c} f (x) d x + 3 \\ ∴ \int_{a}^{c} f (x) d x = 5 - 3 \Rightarrow \int_{a}^{c} f (x) d x = 2 \end{aligned}$

(15)- جد $\int \cos^{2} 2 x \sin x d x$

$\begin{aligned} = \int {(2 \cos^{2} x - 1)}^{2} \sin x d x = \int (4 \cos^{4} x - 4 \cos^{2} x + 1) \sin x d x \\ = - 4 \int \cos^{4} x (- \sin x) d x + 4 \int \cos^{2} x \cdot (- \sin x) d x + \int \sin x d x \\ = - 4 \frac{\cos^{5} x}{5} + 4 \cdot \frac{\cos^{3} x}{3} - \cos x + c = \frac{- 4}{5} \cos^{5} x + \frac{4}{3} \cos^{3} x - \cos x + c \end{aligned}$

(16)- جسم يتحرك بسرعة $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ في أي زمن $t$ احسب:

المسافة المقطوعة خلال الفترة $[0, 2]$ .

$\begin{aligned} [3 t^{2} - 12 t + 9 = 0] \div 3 \Rightarrow t^{2} - 4 t + 3 = 0 \\ (t - 3) (t - 1) = 0 \\ either t - 3 = 0 \Rightarrow t = 3 \notin [0, 2] \\ or t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \in [0, 2] \\ ∴ d = | \int_{0}^{1} (3 t^{2} - 12 t + 9) d t | + | \int_{1}^{2} (3 t^{2} - 12 t + 9) d t | \\ = | {[t^{3} - 6 t^{2} + 9 t]}_{0}^{1} | + | {[t^{3} - 6 t^{2} + 9 t]}_{1}^{2} | \\ = | [1 - 6 + 9] - [0] | + | [8 - 24 + 18] - [1 - 6 + 9] | \\ = | 4 | + | 2 - 4 | = 4 + 2 = 6 m \end{aligned}$

الزمن الذي يصبح فيه التعجيل $18 m ∖ {min}^{2}$ .

$\begin{aligned} a (t) = V^{'} (t) = 6 t - 12 \\ 18 = 6 t - 12 \Rightarrow 6 t = 18 + 12 \Rightarrow 6 t = 30 \Rightarrow t = 5 min \end{aligned}$

(17)- جد قيمة $\int_{3}^{8} \frac{x}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} d x$

$\begin{aligned} = \int_{3}^{8} \frac{x}{\sqrt{x^{2} (x + 1)}} d x = \int_{3}^{8} \frac{x}{x (x + 1)^{\frac{1}{2}}} d x = \int_{3}^{8} (x + 1)^{\frac{- 1}{2}} d x \\ = {[\frac{(x + 1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]}_{3}^{8} = [2 \sqrt{x + 1}]_{3}^{8} = [2 \sqrt{8 + 1}] - [2 \sqrt{3 + 1}] \\ = [2 (3)] - [2 (2)] = 6 - 4 = 2 \end{aligned}$

(18)- جد المساحة المحددة بين المنحيين: $y = \sin^{2} x, y = \cos^{2} x$ الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

$\begin{aligned} h (x) = \cos^{2} x - \sin^{2} x \Rightarrow h (x) = \cos 2 x \\ \cos 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{4} \in [0, \frac{π}{2}] \\ 2 x = \frac{3 π}{2} \Rightarrow \frac{3 π}{4} \notin [0, \frac{π}{2}] \\ ∴ A = | \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x | + | \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x d x | = | {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}_{0}^{\frac{π}{4}} | + | {[\frac{1}{2} \sin 2 x]}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} | \\ = | [\frac{1}{2} \sin \frac{π}{2}] - [\frac{1}{2} \sin 0] | + | [\frac{1}{2} \sin π] - [\frac{1}{2} \sin \frac{π}{2}] | \\ = | \frac{1}{2} (1) - \frac{1}{2} (0) | + | \frac{1}{2} (0) - \frac{1}{2} (1) | = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 (مربعة وحدة) \end{aligned}$

(19)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $v (t) = 3 t^{2} + 4 t + 7 m / s$ جد المسافة التي يقطعها الجسم بعد مضي $(4)$ ثواني من بدء الحركة ثم جد التعجيل عندها.

المسافة المقطوعة بعد مرور $t$ ثانية من بدء الحركة تكون الفترة $[0, t]$

$\begin{aligned} v (t) = 3 t^{2} + 4 t + 7 \Rightarrow 3 t^{2} + 4 t + 7 \neq 0 \\ d = \int_{0}^{4} (3 t^{2} + 4 t + 7) d t \\ d = | {[\frac{3 t^{3}}{3} + \frac{4 t^{2}}{2} + 7 t]}_{0}^{4} | = | {[t^{3} + 2 t^{2} + 7 t]}_{0}^{4} | = | [(4)^{3} + 2 (4)^{2} + 7 (4)] - [0] | \\ d = | 64 + 32 + 28 | = 124 m \\ a (t) = V^{'} (t) = 6 t + 4 \Rightarrow a (4) = 6 (4) + 4 = 28 \frac{m}{s^{2}} \end{aligned}$

(20)- جد المساحة المحددة بالمنحني $f (x) = (x - 1)^{3}$ ومحور السينات في الفترة $[- 1, 3]$ .

$\begin{aligned} (x - 1)^{3} = 0 \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \in [- 1, 3] \\ \begin{aligned} A & = | \int_{- 1}^{1} (x - 1)^{3} d x | + | \int_{1}^{3} (x - 1)^{3} d x | = | {[\frac{(x - 1)^{4}}{4}]}_{- 1}^{1} | + | {[\frac{(x - 1)^{4}}{4}]}_{1}^{3} | \\ = | [0 - \frac{(- 2)^{4}}{4}] | + | [\frac{(2)^{4}}{4} - 0] | = - 4 | + | 4 ∣= 8 {unit}^{2} \end{aligned} \end{aligned}$

(21)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين $y = x^{2} + 1$ والمستقيمين $y = 1, y = 2$ حول المحور الصادي.

$y = x^{2} + 1 \Rightarrow x^{2} = y - 1 v = π \int_{a}^{b} x^{2} d y \Rightarrow π \int_{1}^{2} (y - 1) d y = π {[\frac{y^{2}}{2} - y]}_{1}^{2} = π [\frac{4}{2} - 2] - [\frac{1}{2} - 1] = π (2 - 2) - (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{2} (مكعبة وحدة)$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الأسئلة الوزارية حول التكامل

(1)- جد ناتج كل مما يأتي:

$\int (\sin x - 3 \sec^{2} x) d x$

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x$

$\int \cos 6 x \cos 3 x d x$

$\int (\sec x - \sin x) (\sec x + \sin x) d x$

$\int_{4}^{8} x \sqrt{x^{2} - 15} d x = \int_{4}^{8} x {(x^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}} d x$

$\int \cos 2 x \sin^{2} x d x$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\int (\cos x - \sin 2 x)^{2} d x$

(2)- إذا كان $\int_{- 1}^{a} (x - x^{3}) d x = \frac{- 9}{4}$ ما قيمة $a \in R^{+}$ ؟

(3)- إذا كان $\int_{a}^{b} (2 x + 3) d x = 12$ وكان $a + 2 b = 3$ ما قيمة $a, b \in R$ ؟

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} x$ ومحور السينات وعلى $[0, \frac{π}{2}]$ .

(5)- جد ناتج ما يأتي:

$\int \sin^{2} x \cos^{2} x d x$

(6)- جد ناتج ما يأتي:

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{9 - 12 x + 4 x^{2}}$

(7)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = x^{3} - 9 x$ ومحور السينات والفترة $[- 3, 3]$ .

(8)- جد قيمة ما يأتي: $\int_{0}^{4} \sqrt{x^{2} + 5 x} (2 x + 5) d x$

(9)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 3 x^{2}, y = x^{4} - 4$

(10)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 2 x, y = x^{2}$ وعلى الفترة $[1, 3]$ .

(11)- إذا كان $\int_{h}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} d x = 2$ جد قيمة $h$ .

(12)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(5 - 2 x)^{2}}$

(13)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(3 x - 4)^{2}}$

(14)- إذا كان $\int_{c}^{b} f (x) d x = 3, \int_{a}^{b} f (x) d x = 5$ وكانت $c \in [a, b]$ ، جد قيمة $\int_{a}^{c} f (x) d x$ .

(15)- جد $\int \cos^{2} 2 x \sin x d x$

(16)- جسم يتحرك بسرعة $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ في أي زمن $t$ احسب:

المسافة المقطوعة خلال الفترة $[0, 2]$ .

الزمن الذي يصبح فيه التعجيل $18 m ∖ {min}^{2}$ .

(17)- جد قيمة $\int_{3}^{8} \frac{x}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} d x$

(18)- جد المساحة المحددة بين المنحيين: $y = \sin^{2} x, y = \cos^{2} x$ الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(19)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $v (t) = 3 t^{2} + 4 t + 7 m / s$ جد المسافة التي يقطعها الجسم بعد مضي $(4)$ ثواني من بدء الحركة ثم جد التعجيل عندها.

(20)- جد المساحة المحددة بالمنحني $f (x) = (x - 1)^{3}$ ومحور السينات في الفترة $[- 1, 3]$ .

(21)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين $y = x^{2} + 1$ والمستقيمين $y = 1, y = 2$ حول المحور الصادي.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الأسئلة الوزارية حول التكامل

(1)- جد ناتج كل مما يأتي:

∫(sin⁡x−3sec2⁡x)dx

∫0311+xdx

∫cos⁡6xcos⁡3xdx

∫(sec⁡x−sin⁡x)(sec⁡x+sin⁡x)dx

∫48xx2−15dx=∫48x(x2−15)12dx

∫cos⁡2xsin2⁡xdx

∫(1+cos⁡3x)2dx

∫(cos⁡x−sin⁡2x)2dx

(2)- إذا كان ∫−1a(x−x3)dx=−94 ما قيمة a∈R+؟

(3)- إذا كان ∫ab(2x+3)dx=12 وكان a+2b=3 ما قيمة a,b∈R؟

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة f(x)=1−2sin2⁡x ومحور السينات وعلى [0,π2].

(5)- جد ناتج ما يأتي:

∫sin2⁡xcos2⁡xdx

(6)- جد ناتج ما يأتي:

∫−11dx9−12x+4x2

(7)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=x3−9x ومحور السينات والفترة [−3,3].

(8)- جد قيمة ما يأتي: ∫04x2+5x(2x+5)dx

(9)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين y=3x2,y=x4−4

(10)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين y=2x,y=x2 وعلى الفترة [1,3].

(11)- إذا كان ∫h4xx2+9dx=2 جد قيمة h.

(12)- جد قيمة ∫12dx(5−2x)2

(13)- جد قيمة ∫12dx(3x−4)2

(14)- إذا كان ∫cbf(x)dx=3 , ∫abf(x)dx=5 وكانت c∈[a,b]، جد قيمة ∫acf(x)dx.

(15)- جد ∫cos2⁡2xsin⁡xdx

(16)- جسم يتحرك بسرعة v(t)=3t2−12t+9 في أي زمن t احسب:

المسافة المقطوعة خلال الفترة [0,2].

الزمن الذي يصبح فيه التعجيل 18m∖min2.

(17)- جد قيمة ∫38xx3+x2dx

(18)- جد المساحة المحددة بين المنحيين: y=sin2⁡x,y=cos2⁡x الفترة [0,π2].

(19)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة v(t)=3t2+4t+7m/s جد المسافة التي يقطعها الجسم بعد مضي (4) ثواني من بدء الحركة ثم جد التعجيل عندها.

(20)- جد المساحة المحددة بالمنحني f(x)=(x−1)3 ومحور السينات في الفترة [−1,3].

(21)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين y=x2+1 والمستقيمين y=1,y=2 حول المحور الصادي.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

النقاشات

$\int (\sin x - 3 \sec^{2} x) d x$

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{1 + x}} d x$

$\int \cos 6 x \cos 3 x d x$

$\int (\sec x - \sin x) (\sec x + \sin x) d x$

$\int_{4}^{8} x \sqrt{x^{2} - 15} d x = \int_{4}^{8} x {(x^{2} - 15)}^{\frac{1}{2}} d x$

$\int \cos 2 x \sin^{2} x d x$

$\int (1 + \cos 3 x)^{2} d x$

$\int (\cos x - \sin 2 x)^{2} d x$

(2)- إذا كان $\int_{- 1}^{a} (x - x^{3}) d x = \frac{- 9}{4}$ ما قيمة $a \in R^{+}$ ؟

(3)- إذا كان $\int_{a}^{b} (2 x + 3) d x = 12$ وكان $a + 2 b = 3$ ما قيمة $a, b \in R$ ؟

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $f (x) = 1 - 2 \sin^{2} x$ ومحور السينات وعلى $[0, \frac{π}{2}]$ .

$\int \sin^{2} x \cos^{2} x d x$

$\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{9 - 12 x + 4 x^{2}}$

(7)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = x^{3} - 9 x$ ومحور السينات والفترة $[- 3, 3]$ .

(8)- جد قيمة ما يأتي: $\int_{0}^{4} \sqrt{x^{2} + 5 x} (2 x + 5) d x$

(9)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 3 x^{2}, y = x^{4} - 4$

(10)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $y = 2 x, y = x^{2}$ وعلى الفترة $[1, 3]$ .

(11)- إذا كان $\int_{h}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} d x = 2$ جد قيمة $h$ .

(12)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(5 - 2 x)^{2}}$

(13)- جد قيمة $\int_{1}^{2} \frac{d x}{(3 x - 4)^{2}}$

(14)- إذا كان $\int_{c}^{b} f (x) d x = 3, \int_{a}^{b} f (x) d x = 5$ وكانت $c \in [a, b]$ ، جد قيمة $\int_{a}^{c} f (x) d x$ .

(15)- جد $\int \cos^{2} 2 x \sin x d x$

(16)- جسم يتحرك بسرعة $v (t) = 3 t^{2} - 12 t + 9$ في أي زمن $t$ احسب:

المسافة المقطوعة خلال الفترة $[0, 2]$ .

الزمن الذي يصبح فيه التعجيل $18 m ∖ {min}^{2}$ .

(17)- جد قيمة $\int_{3}^{8} \frac{x}{\sqrt{x^{3} + x^{2}}} d x$

(18)- جد المساحة المحددة بين المنحيين: $y = \sin^{2} x, y = \cos^{2} x$ الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(19)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $v (t) = 3 t^{2} + 4 t + 7 m / s$ جد المسافة التي يقطعها الجسم بعد مضي $(4)$ ثواني من بدء الحركة ثم جد التعجيل عندها.

(20)- جد المساحة المحددة بالمنحني $f (x) = (x - 1)^{3}$ ومحور السينات في الفترة $[- 1, 3]$ .

(21)- جد الحجم الناتج من دوران المساحة المحصورة بين $y = x^{2} + 1$ والمستقيمين $y = 1, y = 2$ حول المحور الصادي.