للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

المجاميع العليا والمجاميع السفلى

يرمز للمجاميع العليا $U (σ, f)$
يرمز للمجاميع السفلي $L (σ, f)$

$U (σ, f) \geq L (σ, f)$

سنعتبر الدالة: $f [a, b] \to R$ مستمرة على الفترة $[a, b]$ حيث يمكن أن تكون الدالة متزايدة أو متناقصة أو تحتوي على نقطة حرجة.
إذا كانت التجزيئات متساوية والدالة هي عبارة عن ثابت في هذه الحالة يتساوى المجموع الأعلى مع المجموع الأسفل.
إذا أردنا استخراج $m$ نعوض الرقم الأصغر لبداية الفترة وإذا أردنا استخراج $M$ نعوض الرقم الأكبر تنتهي به الفترة.
في حالة احتواء الفترة الجزئية على نقطة حرجة نحسب قيم بداية الفترة ونهايتها وقيمة النقطة الحرجة وتكون القيمة الصغيرة هي $m$ والقيمة الأكبر هي $M$ .
إذا لم نشترط أن تكون $f (x) \geq 0$ فإن من المتوقع ظهور المجموعة السفلى عدد موجب أو سالب أو صفر وبالمثل للمجموعة العليا.

الشكل

(1)- لتكن $f : [1, 4] \to R, f (x) = 5 + 2 x_{i}$ جد المجموع الأسفل $L (σ, f)$ والمجموع الأعلى $U (σ, f)$ .

نتبع ما يلي لحل هذه الأسئلة:

تجزأ الفترة (ويفضل أن تكون منتظمة).
نشتق الدالة ونساوي المشتقة للصفر فإذا كان الجواب عدداً ثابتاً فإذا كانت موجبة فالدالة متزايدة وإذا كانت سالبة فهي متناقصة، أما إذا حصلنا على قيمة (x) نستخدم الاختبار للإشارة (الطريقة السابقة) ونجد هل هي متزايدة أو متناقصة، وبطريقة أخرى نشتق المشتقة الثانية فإذا كان الناتج موجباً فإن النهاية تكون صغرى وعندها تكتب القيمة المؤجلة في m ثم نعوض طرفي الفترة المؤجلة ثم نختار أكبر الناتجين ليكون في حقل M، أما إذا كانت المشتقة الثانية سالبة فتكون النهاية عظمى محلية وعندها تكتب القيمة المؤجلة M ثم نعوض طرفي الفترة المؤجلة ونختار أصغر الناتجين ونضعه في حقل m>
نكتب الجدول وهو ثابت لا تتغير حقوله.
ننتبه إلى ما يلي: إذا كانت الدالة متزايدة فإنه m_i حيث m هي (أصغر قيمة للدالة) تأخذ (f(a وكذلك للدالة المتزايدة فإن M_i حيث M (هي أكبر قيمة للدالة) تأخذ (f(b.

$f : [1, 4] \to R$

$f (x) = 5 + 2 x \Rightarrow f^{'} (x) = 2 > 0 مجالها في متزايدة الدالة h = \frac{b - a}{3} = \frac{4 - 1}{3} = 1 فترات ثلاث \Rightarrow σ = [1, 2], [2, 3], [3, 4]$

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
9	7	$\begin{aligned} M_{1} = f (2) = & 5 + 4 \\ = & 9 \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{1} = f (1) \\ = 5 + 2 = 7 \end{aligned}$	1	[1,2]
11	9	$\begin{array}{r} M_{2} = f (3) = 5 + 6 \\ = 11 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (2) \\ = 5 + 4 = 9 \end{aligned}$	1	[2,3]
13	11	$\begin{array}{r} M_{3} = f (4) = 5 + 8 \\ = 13 \end{array}$	$\begin{aligned} m_{3} = f (3) \\ = 5 + 6 = 11 \end{aligned}$	1	[3,4]

$∴ L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 7 + 9 + 11 = 27, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 9 + 11 + 13 = 33$

(2)- إذا كانت $f : [0, 4] \to R, f (x) = 3 x - x^{2}$ أوجد كل من:

$U (σ, f), L (σ, f)$ مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.

$\begin{matrix} σ = [0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4] \\ f (x) = 3 x - x^{2} \Rightarrow f^{'} (x) = 3 - 2 x \Rightarrow 3 - 2 x = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \in [0, 4] \end{matrix}$

الشكل

أي أن العدد الحرج يوجد في الفترة [1,2]

$x = \frac{3}{2} \in [1, 2] \Rightarrow f (1) = 2, f (\frac{3}{2}) = \frac{9}{4}, f (2) = 2, M = \frac{9}{4}, m = 2$

ملاحظة:

تقع ضمن الفترة [1,2] لذلك نعوض $\frac{3}{2}$ بدل x ضمن فترتها، وعندما نصل إلى فترات التناقص نعوض لكل m_i بـ (f(b وبدل M_i بـ (f(a

$U_{i} = h_{i} M_{i}$	$L_{i} = h_{i} m_{i}$	M_i	m_i	طول الفترة	الفترة
2	0	$M_{1} = f (1) = 3 - 1 = 2$	$m_{1} = f (0) = 0$	1	[0,1]
$\frac{9}{2}$	2	$\begin{aligned} M_{2} = f (\frac{3}{2}) = 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \\ = \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{9}{4} \end{aligned}$	$\begin{aligned} m_{2} = f (1) \\ = 3 - 1 = 2 \end{aligned}$	1	[1,2]
2	0	$M_{2} = f (2) = 6 - 4 = 2$	$\begin{aligned} m_{3} = f (3) \\ = 3 (3) - 9 = 0 \end{aligned}$	1	[2,3]
0	4-	$M_{2} = f (3) = 9 - 9 = 0$	$\begin{aligned} m_{4} = f (4) \\ = 12 - 16 = - 4 \end{aligned}$	1	[3,4]

$L (σ, f) = \sum (h_{i}) (m_{i}) = 0 + 2 + 0 + (- 4) = - 2, U (σ, f) = \sum (h_{i}) (M_{i}) = 2 + \frac{9}{2} + 2 + 0 = 6 \frac{1}{4}$

لاحظ أن $L (σ, f) \leq U (σ, f)$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المجاميع العليا والمجاميع السفلى

(1)- لتكن $f : [1, 4] \to R, f (x) = 5 + 2 x_{i}$ جد المجموع الأسفل $L (σ, f)$ والمجموع الأعلى $U (σ, f)$ .

(2)- إذا كانت $f : [0, 4] \to R, f (x) = 3 x - x^{2}$ أوجد كل من:

$U (σ, f), L (σ, f)$ مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المجاميع العليا والمجاميع السفلى

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المجاميع العليا والمجاميع السفلى

(1)- لتكن f:[1,4]→R,f(x)=5+2xi جد المجموع الأسفل L(σ,f) والمجموع الأعلى U(σ,f).

(2)- إذا كانت f:[0,4]→R,f(x)=3x−x2 أوجد كل من:

U(σ,f),L(σ,f) مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المجاميع العليا والمجاميع السفلى

النقاشات

(1)- لتكن $f : [1, 4] \to R, f (x) = 5 + 2 x_{i}$ جد المجموع الأسفل $L (σ, f)$ والمجموع الأعلى $U (σ, f)$ .

(2)- إذا كانت $f : [0, 4] \to R, f (x) = 3 x - x^{2}$ أوجد كل من:

$U (σ, f), L (σ, f)$ مستخدماً أربعة تجزيئات منتظمة.