للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (6-4)

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = x^{4} - x$ ومحور السينات والمستقيمين $x = - 1, x = 1$ .

نجعل $y = 0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} x^{4} - x = 0 \Rightarrow x (x^{3} - 1) = 0 \\ x = 0 \in [- 1, 1] x = 1 \in [- 1, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} f (x) d x | + | \int_{0}^{1} f (x) d x | \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x^{4} - x) d x | + | \int_{0}^{1} (x^{4} - x) d x | \end{aligned} \begin{aligned} A = | {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} | = | (0 - 0) - (\frac{1}{5} - \frac{1}{2}) | + | (\frac{1}{5} - \frac{1}{2}) - (0 - 0) | \\ = | \frac{- 2 - 5}{10} | + | \frac{2 - 5}{10} | = \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = \frac{10}{10} = 1 \end{aligned}$

(2)- جد المساحة المحددة للدالة $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4$ وعلى الفترة $[- 2, 3]$ ومحور السينات.

نجعل $f (x) = 0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$x^{4} - 3 x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow (x^{2} - 4) (x^{2} + 1) = 0 either x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 \in [- 2, 3] or x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 (تهمل) \begin{aligned} x = 2 \in [- 2, 3] or x = - 2 \in [- 2, 3] \\ A = | \int_{- 2}^{2} f (x) d x | + | \int_{2}^{3} f (x) d x | A_{1} = | \int_{- 2}^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) d x | \\ A_{1} = {[\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} - 4 x]}_{- 2}^{2} = [\frac{32}{5} - 8 - 8] - [\frac{- 32}{5} + 8 + 8] = \frac{64 - 160}{5} = \frac{- 96}{5} \\ A_{2} = | \int_{2}^{3} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) d x | = {[\frac{1}{5} x^{5} - x^{3} - 4 x]}_{2}^{3} \\ A_{2} = [\frac{243}{5} - 27 - 12] - [\frac{32}{5} - 8 - 8] = \frac{211 - 115}{5} = \frac{96}{5} \\ A = | A_{1} | + | A_{2} | = | \frac{- 96}{5} | + | \frac{- 96}{5} | = \frac{192}{5} {unit}^{2} \end{aligned}$

(3)- جد المساحة المحددة بالدالة $f (x) = x^{4} - x^{2}$ ومحور السينات.

$x^{4} - x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} (x^{2} - 1) = 0 e i t h e r x^{2} = 0 \Rightarrow x = 0 o r x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \begin{aligned} A = | \int_{- 1}^{0} (x^{4} - x^{2}) d x | + | \int_{0}^{1} (x^{4} - x^{2}) d x | \\ A_{1} = {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3}]}_{- 1}^{0} + {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{1} = [0] - [\frac{- 1}{5} + \frac{1}{3}] + [\frac{1}{5} - \frac{1}{3}] - [0] \\ = | \frac{- 2}{15} | + | \frac{- 2}{15} | = \frac{2}{15} + \frac{2}{15} = \frac{4}{15} {unit}^{2} \end{aligned}$

(4)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sin 3 x$ x ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

الفترة موجبة فقط فلا نعوض بالقيم السالبة حيث $n = 0, 1, 2$

$\sin 3 x = 0 3 x = 0 + n π \begin{array}{ll} n = 0 & x = 0 \in [0, \frac{π}{2}] (يجزئ لا) \\ n = 1 & x = \frac{π}{3} \in [0, \frac{π}{2}] (يجزئ لا) \\ n = 2 & x = \frac{2 π}{3} \notin [0, \frac{π}{2}] (يجزئ لا) \end{array}$

$\begin{aligned} A = | {[\frac{- \cos 3 x}{3}]}_{0}^{\frac{π}{3}} | + ∣ [{\frac{- \cos 3 x}{3} |}_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} ∣ \\ A = | \frac{(- \cos 3 (\frac{π}{3}))}{3} - \frac{(- \cos 3 (0))}{3} | + | \frac{(- \cos 3 (\frac{π}{2}))}{3} - \frac{(- \cos 3 (\frac{π}{3}))}{3} | \\ A = | \frac{(- \cos π)}{3} - \frac{(- \cos (0))}{3} | + | \frac{(- \cos \frac{3 π}{2})}{3} - \frac{(- \cos π)}{3} | \\ A =∣ [\frac{- (- 1)}{3} | - [\frac{- 1}{3}] | + | [0] - [\frac{- (- 1)}{3}] = | \frac{1}{3} + \frac{1}{3} | + | \frac{- 1}{3} ∣= \frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1 \end{aligned}$

(5)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = 2 \cos^{2} x - 1$ ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

نجعل $f (x) = 0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$2 \cos^{2} x - 1 = 0 \Rightarrow \cos 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = \frac{π}{2} + n π n = 0, 1 \begin{aligned} n = 0 \Rightarrow 2 x = \frac{π}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{4} \in [0, \frac{π}{2}] (يجزئ) \\ n = 1 \Rightarrow 2 x = \frac{3 π}{2} \Rightarrow x = \frac{3 π}{4} \notin [0, \frac{π}{2}] (يجزئ لا) \\ A = | \int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos 2 x d x | + | \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \cos 2 x d x | = | {[\frac{\sin 2 x}{2}]}_{0}^{\frac{π}{4}} | + ∣ [{\frac{\sin 2 x}{2} |}_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} ∣ \end{aligned} \begin{aligned} A & = | \frac{\sin 2 (\frac{π}{4})}{2} - \frac{\sin 2 (0)}{2} | + | \frac{\sin 2 (\frac{π}{2})}{2} - \frac{\sin 2 (\frac{π}{4})}{2} | \\ A & = \frac{1}{2} | \sin \frac{π}{2} - \sin 0 | + \frac{1}{2} | \sin π - \sin \frac{π}{2} | \\ A & = \frac{1}{2} | 1 - 0 | + \frac{1}{2} | 0 - 1 | = \frac{1}{2} | 1 | + \frac{1}{2} | - 1 | = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 {unit}^{2} \end{aligned}$

ملاحظة: إذا كانت صيغة الأسئلة كما يأتي:

$\begin{array}{ll} {y = 1 - 2 \sin^{2} x, & y = \cos^{2} x - \sin^{2} x, y = \cos^{4} x - \sin^{4} x} = \cos 2 x \\ {y = 2 \sin^{2} x - 1, & y = 1 - 2 \cos^{2} x, y = \sin^{2} x - \cos^{2} x} = - \cos 2 x \end{array}$

(6)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = \sqrt{x - 1}, y = \frac{1}{2} x$ وعلى الفترة $[2, 5]$ .

نجعل $f (x) = g (x)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\frac{1}{2} x = \sqrt{x - 1} (الطرفين بتربيع) \frac{1}{4} x^{2} = x - 1 \overset{\times 4}{\Rightarrow} x^{2} = 4 x - 4 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 4 = 0 \Rightarrow (x - 2)^{2} = 0 \overset{بالجذر}{\Rightarrow} x - 2 = 0 x = 2 \in [2, 5] (التكامل نجزئ لا) A = \int_{2}^{5} (\frac{1}{2} x - \sqrt{x - 1}) d x \begin{aligned} A & = | \int_{2}^{5} [\frac{1}{2} x - (x - 1)^{\frac{1}{2}}] d x | = | {[\frac{1}{4} x^{2} - \frac{2}{3} (x - 1)^{\frac{3}{2}}]}_{2}^{5} | \\ A & = | (\frac{25}{4} - \frac{2}{3} \sqrt{4^{3}}) - (1 - \frac{2}{3} \sqrt{1^{3}}) | = | (\frac{25}{4} - \frac{16}{3}) - (1 - \frac{2}{3}) | = | \frac{25}{4} - \frac{16}{3} - 1 + \frac{2}{3} | \\ A & = | \frac{75 - 64 - 12 + 8}{12} | = \frac{7}{12} {unit}^{2} \end{aligned}$

(7)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = x^{2}, y = x^{4} - 12$ .

نجعل $f (x) = g (x)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$x^{4} - 12 = x^{2} \Rightarrow x^{4} - x^{2} - 12 = 0 \Rightarrow (x^{2} - 4) (x^{2} + 3) = 0 either x = \pm 2 or x = \pm \sqrt{- 3} (تهمل) \begin{aligned} A = \int_{- 2}^{2} (x^{4} - x^{2} - 12) d x = | {[\frac{x^{5}}{5} - \frac{x^{3}}{3} - 12 x]}_{- 2}^{2} | \\ A = | (\frac{32}{5} - \frac{8}{3} - 24) - (\frac{- 32}{5} + \frac{8}{3} + 24) | \\ A = | \frac{64}{5} - \frac{16}{3} - 48 | = | (\frac{192 - 80 - 720}{15}) | = | (\frac{- 608}{15}) | = \frac{608}{15} {unit}^{2} \end{aligned}$

(8)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x \cos x f (x) = \sin x$ حيث $x \in [0, 2 π]$ .

نجعل $f (x) = g (x)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$h (x) = \sin x \cos x - \sin x \Rightarrow \sin x (\cos x - 1) = 0 either \sin x = 0 \Rightarrow x = 0 \in [0, 2 π] x = π \in [0, 2 π] x = 2 π \in [0, 2 π] or \cos x - 1 = 0 \Rightarrow \cos x = 1 \Rightarrow x = 0 \in [0, 2 π] x = 2 π \in [0, 2 π] \begin{aligned} A = | \int_{0}^{π} (\sin x \cos x - \sin x) d x | + | \int_{π}^{2 π} (\sin x \cos x - \sin x) d x | \\ A = | {[\frac{\sin^{2} x}{2} + \cos x]}_{0}^{π} | + | {[\frac{\sin^{2} x}{2} + \cos x]}_{π}^{2 π} | \\ A = | [\frac{\sin^{2} (π)}{2} + \cos (π)] - [\frac{\sin^{2} (0)}{2} + \cos (0)] | + | [\frac{\sin^{2} (2 π)}{2} + \cos (2 π)] - [\frac{\sin^{2} (π)}{2} + \cos (π)] | \end{aligned} \begin{aligned} A = | [(0 - 1) - (0 + 1)] | + | [(0 + 1) - (0 - 1)] | = | - 1 - 1 | + | 1 + 1 | = | - 2 | + | 2 | \\ A = 4 {unit}^{2} \end{aligned}$

(9)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = 2 \sin x + 1$ حيث $x \in [0, \frac{3 π}{2}]$ .

نجعل $f (x) = g (x)$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} 2 \sin x + 1 - \sin x = 0 \Rightarrow \sin x + 1 = 0 \Rightarrow \sin x = - 1 \Rightarrow x = \frac{3 π}{2} \in [0, \frac{3 π}{2}] \\ A = | \int_{0}^{\frac{3 π}{2}} (\sin x + 1) d x | = | [- \cos x + x]_{0}^{\frac{3 π}{2}} | \\ A = | (- \cos \frac{3 π}{2} + \frac{3 π}{2}) - (- \cos (0) + 0) | = | (0 + \frac{3 π}{2}) - (- 1) | = | \frac{3 π}{2} + 1 | = \frac{3 π}{2} + 1 {unit}^{2} \end{aligned}$

(10)- جد المساحة المحددة بالدالة $y = x^{3} + 4 x^{2} + 3 x$ ومحور السينات.

نجعل $y = 0$ لإيجاد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} x^{3} + 4 x^{2} + 3 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} + 4 x + 3) = 0 \\ x (x + 1) (x + 3) = 0 \Rightarrow x = 0, x = - 1, x = - 3 \\ A = | \int_{- 3}^{- 1} (x^{3} + 4 x^{2} + 3 x) d x | + | \int_{- 1}^{0} (x^{3} + 4 x^{2} + 3 x) d x | \\ A = | {[\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}]}_{- 3}^{- 1} | + | {[\frac{x^{4}}{4} + \frac{4 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2}]}_{- 1}^{0} | \\ A = | [\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2}] - [\frac{81}{4} - 36 + \frac{27}{2}] | + | (0) - [\frac{1}{4} - \frac{4}{3} + \frac{3}{2}] | \\ A =∣ [\frac{3 - 16 + 18 - 243 + 432 - 162}{12} ∣ + [\frac{- 3 + 16 - 18}{12} | | \\ A = | \frac{32}{12} | + | \frac{- 5}{12} | = \frac{32 + 5}{12} = \frac{37}{12} = 3 \frac{1}{12} {unit}^{2} \end{aligned}$

(11)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V (t) = (3 t^{2} - 6 t + 3) m / s$ احسب:

المسافة المقطوعة في الفترة $[2, 4]$ .

$3 t^{2} - 6 t + 3 = 0] \div 3 t^{2} - 2 t + 1 = 0 \Rightarrow (t - 1) (t - 1) = 0 \Rightarrow (t - 1)^{2} = 0 \Rightarrow t - 1 = 0 \Rightarrow t = 1 \notin [2, 4] \begin{aligned} d & = | \int_{2}^{4} (3 t^{2} - 6 t + 3) d t | = | {[t^{3} - 3 t^{2} + 3 t]}_{2}^{4} | \\ = | (64 - 48 + 12) - (8 - 12 + 6) | = | 28 - 2 | = 26 m \end{aligned}$

الإزاحة في الفترة $[0, 5]$ .

$s = | \int_{0}^{3} (3 t^{2} - 6 t + 3) d t | = | {[t^{3} - 3 t^{2} + 3 t]}_{0}^{5} | = (125 - 75 + 15) - (0) = 65 m$

(12)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(4 t + 12) m / s^{2}$ وكانت سرعته بعد مرور $(4)$ ثواني تساوي $90 m / s$ احسب:

السرعة عندما $t = 2$ .

$\begin{aligned} V (t) = \int a (t) d t = \int (4 t + 12) d t = 2 t^{2} + 12 t + c \\ 90 = 2 (16) + 12 (4) + c \Rightarrow 90 = 32 + 48 + c \Rightarrow c = 90 - 80 \Rightarrow c = 10 \\ V (t) = 2 t^{2} + 12 t + 10 \Rightarrow V (2) = 2 (4) + 12 (2) + 10 = 8 + 24 + 10 = 42 m / s \end{aligned}$

المسافة خلال الفترة $[1, 2]$ .

$\begin{aligned} d = \int_{1}^{2} (2 t^{2} + 12 t + 10) d t = | {[\frac{2 t^{3}}{3} + 6 t^{2} + 10 t]}_{1}^{2} | = | (\frac{16}{3} + 24 + 20) - (\frac{2}{3} + 6 + 10) | \\ d = | \frac{16}{3} + 44 - \frac{2}{3} - 16 | = | \frac{14}{3} + 28 | = \frac{14 + 84}{3} = \frac{98}{3} m \end{aligned}$

الإزاحة بعد $10$ ثواني من بدء الحركة.

$\begin{aligned} s = \int_{0}^{10} (2 t^{2} + 12 t + 10) d t = | {[\frac{2 t^{3}}{3} + 6 t^{2} + 10 t]}_{0}^{10} | = | (\frac{2000}{3} + 600 + 100) - (0) | \\ s = \frac{2000 + 1800 + 300}{3} = \frac{4100}{3} m \end{aligned}$

(13)- تتحرك نقطة من السكون وبعد $t$ ثانية من بدء الحركة أصبحت سرعتها $(100 t - 6 t^{2}) m / s$ أوجد الزمن اللازم لعودة النقطة إلى موضعها الأول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها.

$\begin{aligned} V (t) = 100 t - 6 t^{2} (الطرفين نكامل) \\ s = \int (100 t - 6 t^{2}) d t \Rightarrow s = 50 t^{2} - 2 t^{3} + c \end{aligned}$

النقطة تتحرك من السكون $s = 0, t = 0$

$\begin{aligned} 0 = 50 (0) - 2 (0) + c \Rightarrow c = 0 \\ ∴ s = 50 t^{2} - 2 t^{3} \end{aligned}$

عند عودة النقطة إلى موضعها الأول يعني أن الإزاحة $(s)$ تساوي صفر لذا يكون:

$50 t^{2} - 2 t^{3} = 0 \Rightarrow t^{2} (50 - 2 t) = 0 either t^{2} = 0 \Rightarrow t = 0 (يهمل) or 50 - 2 t = 0 \Rightarrow 2 t = 50 \Rightarrow t = 25 \sec (الأول موضعها إلى النقطة لعودة اللازم الزمن) \begin{aligned} a (t) = V' (t) (التعجيل) \\ a (t) = 100 - 12 t \\ a (25) = 100 - 12 (25) = 100 - 300 = - 200 m / s^{2} \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (6-4)

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = x^{4} - x$ ومحور السينات والمستقيمين $x = - 1, x = 1$ .

(2)- جد المساحة المحددة للدالة $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4$ وعلى الفترة $[- 2, 3]$ ومحور السينات.

(3)- جد المساحة المحددة بالدالة $f (x) = x^{4} - x^{2}$ ومحور السينات.

(4)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sin 3 x$ x ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(5)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = 2 \cos^{2} x - 1$ ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(6)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = \sqrt{x - 1}, y = \frac{1}{2} x$ وعلى الفترة $[2, 5]$ .

(7)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = x^{2}, y = x^{4} - 12$ .

(8)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x \cos x f (x) = \sin x$ حيث $x \in [0, 2 π]$ .

(9)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = 2 \sin x + 1$ حيث $x \in [0, \frac{3 π}{2}]$ .

(10)- جد المساحة المحددة بالدالة $y = x^{3} + 4 x^{2} + 3 x$ ومحور السينات.

(11)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V (t) = (3 t^{2} - 6 t + 3) m / s$ احسب:

المسافة المقطوعة في الفترة $[2, 4]$ .

الإزاحة في الفترة $[0, 5]$ .

(12)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(4 t + 12) m / s^{2}$ وكانت سرعته بعد مرور $(4)$ ثواني تساوي $90 m / s$ احسب:

السرعة عندما $t = 2$ .

المسافة خلال الفترة $[1, 2]$ .

الإزاحة بعد $10$ ثواني من بدء الحركة.

(13)- تتحرك نقطة من السكون وبعد $t$ ثانية من بدء الحركة أصبحت سرعتها $(100 t - 6 t^{2}) m / s$ أوجد الزمن اللازم لعودة النقطة إلى موضعها الأول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج1

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج2

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج3

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج4

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (6-4)

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني y=x4−x ومحور السينات والمستقيمين x=−1,x=1.

(2)- جد المساحة المحددة للدالة f(x)=x4−3x2−4 وعلى الفترة [−2,3] ومحور السينات.

(3)- جد المساحة المحددة بالدالة f(x)=x4−x2 ومحور السينات.

(4)- جد المساحة المحددة بالمنحني y=sin⁡3xx ومحور السينات وعلى الفترة [0,π2].

(5)- جد المساحة المحددة بالمنحني y=2cos2⁡x−1 ومحور السينات وعلى الفترة [0,π2].

(6)- جد المساحة المحددة بالدالتين y=x−1 , y=12x وعلى الفترة [2,5].

(7)- جد المساحة المحددة بالدالتين y=x2 , y=x4−12.

(8)- جد المساحة المحددة بالدالتين g(x)=sin⁡xcos⁡xf(x)=sin⁡x حيث x∈[0,2π].

(9)- جد المساحة المحددة بالدالتين g(x)=sin⁡x , f(x)=2sin⁡x+1 حيث x∈[0,3π2].

(10)- جد المساحة المحددة بالدالة y=x3+4x2+3x ومحور السينات.

(11)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة V(t)=(3t2−6t+3)m/s احسب:

المسافة المقطوعة في الفترة [2,4].

الإزاحة في الفترة [0,5].

(12)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره (4t+12)m/s2 وكانت سرعته بعد مرور 4 ثواني تساوي 90m/s احسب:

السرعة عندما t=2.

المسافة خلال الفترة [1,2].

الإزاحة بعد 10 ثواني من بدء الحركة.

(13)- تتحرك نقطة من السكون وبعد t ثانية من بدء الحركة أصبحت سرعتها (100t−6t2)m/s أوجد الزمن اللازم لعودة النقطة إلى موضعها الأول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج1

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج2

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج3

فيديو شرح درس تمارين (6-4) ج4

النقاشات

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = x^{4} - x$ ومحور السينات والمستقيمين $x = - 1, x = 1$ .

(2)- جد المساحة المحددة للدالة $f (x) = x^{4} - 3 x^{2} - 4$ وعلى الفترة $[- 2, 3]$ ومحور السينات.

(3)- جد المساحة المحددة بالدالة $f (x) = x^{4} - x^{2}$ ومحور السينات.

(4)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sin 3 x$ x ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(5)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = 2 \cos^{2} x - 1$ ومحور السينات وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

(6)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = \sqrt{x - 1}, y = \frac{1}{2} x$ وعلى الفترة $[2, 5]$ .

(7)- جد المساحة المحددة بالدالتين $y = x^{2}, y = x^{4} - 12$ .

(8)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x \cos x f (x) = \sin x$ حيث $x \in [0, 2 π]$ .

(9)- جد المساحة المحددة بالدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = 2 \sin x + 1$ حيث $x \in [0, \frac{3 π}{2}]$ .

(10)- جد المساحة المحددة بالدالة $y = x^{3} + 4 x^{2} + 3 x$ ومحور السينات.

(11)- جسم يتحرك على خط مستقيم بسرعة $V (t) = (3 t^{2} - 6 t + 3) m / s$ احسب:

المسافة المقطوعة في الفترة $[2, 4]$ .

الإزاحة في الفترة $[0, 5]$ .

(12)- جسم يتحرك على خط مستقيم بتعجيل قدره $(4 t + 12) m / s^{2}$ وكانت سرعته بعد مرور $(4)$ ثواني تساوي $90 m / s$ احسب:

السرعة عندما $t = 2$ .

المسافة خلال الفترة $[1, 2]$ .

الإزاحة بعد $10$ ثواني من بدء الحركة.

(13)- تتحرك نقطة من السكون وبعد $t$ ثانية من بدء الحركة أصبحت سرعتها $(100 t - 6 t^{2}) m / s$ أوجد الزمن اللازم لعودة النقطة إلى موضعها الأول الذي بدأت منه ثم احسب التعجيل عندها.