للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (5-4)

1- جد $\int \frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

- $y = \ln 3 x$

$y = \ln 3 x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{3}{3 x} = \frac{1}{x}$

- $y = \ln (\frac{x}{2})$

$y = \ln (\frac{x}{2}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = (\frac{1}{2}) \frac{1}{\frac{x}{2}} = (\frac{1}{2}) (\frac{2}{x}) = \frac{1}{x}$

- $y = \ln x^{2}$

$y = \ln x^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 x = \frac{2}{x}$

- $y = (\ln x)^{2}$

$y = (\ln x)^{2} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 (\ln x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x} \ln x$

- $y = l n {(\frac{1}{x})}^{3}$

$y = \ln {(\frac{1}{x})}^{3} \Rightarrow y = \ln x^{- 3} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{- 3 x^{- 4}}{x^{- 3}} = - 3 x^{- 1} = \frac{- 3}{x}$

- $y = \ln (2 - \cos x)$

$y = \ln (2 - \cos x) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{- (- \sin x)}{2 - \cos x} = \frac{\sin x}{2 - \cos x}$

- $y = e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5}$

$y = e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5} \cdot (- 10 x + 3) = (- 10 x + 3) e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5}$

- $y = 9^{\sqrt{x}}$

$y = 9^{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 9^{\sqrt{x}} \cdot \ln 9 \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{9^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} (\ln 9)$

- $y = 7^{- \frac{x}{4}}$

$y = 7^{- \frac{x}{4}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 7^{- \frac{1}{4} x} \ln 7 \cdot (- \frac{1}{4}) = 7^{- \frac{x}{4}} (\frac{- \ln 7}{4})$

- $y = x^{2} e^{x}$

$y = x^{2} e^{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot e^{x} + e^{x} \cdot 2 x = x e^{x} (x + 2)$

2- جد التكاملات الآتية:

- $\int_{0}^{3} \frac{1}{x + 1} d x$

مشتقة المقام موجودة فالتكامل $\ln$

$= [\ln | x + 1 |]_{0}^{3} = \ln (3 + 1) - \ln (0 + 1) = \ln 4 - \ln 1 = \ln 4 - 0 = \ln 2^{2} = 2 \ln 2$

- $\int_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x & = {[\ln | x^{2} + 9 |]}_{0}^{4} = \ln (16 + 9) - \ln (0 + 9) = \ln (25) - \ln (9) \\ = \ln 5^{2} - \ln 3^{2} = 2 \ln 5 - 2 \ln 3 = 2 \ln \frac{5}{3} \end{aligned}$

- $\int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2 x} d x$

$\begin{aligned} \int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2 x} d x & = \frac{1}{2} \int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2 x} (2) d x = \frac{1}{2} {[e^{2 x}]}_{\ln 3}^{\ln 5} = \frac{1}{2} [e^{2 \ln 5} - e^{2 \ln 3}] \\ = \frac{1}{2} [e^{\ln 5^{2}} - e^{\ln 3^{2}}] = \frac{1}{2} [5^{2} - 3^{2}] = \frac{1}{2} [16] = 8 \end{aligned}$

- $\int_{0}^{\ln 2} e^{- x} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\ln 2} e^{- x} d x & = - \int_{0}^{\ln 2} e^{- x} (- 1) d x = - {[e^{- x}]}_{0}^{\ln 2} = - [e^{- \ln 2} - e^{0}] \\ = - [e^{\ln 2^{- 1}} - e^{0}] = - [2^{- 1} - 1] = - [\frac{1}{2} - 1] = \frac{1}{2} \end{aligned}$

- $\int_{0}^{1} {(1 + e^{x})}^{2} e^{x} d x$

$\int_{0}^{1} {(1 + e^{x})}^{2} e^{x} d x = {[\frac{{(1 + e^{x})}^{3}}{3}]}_{0}^{1} = [\frac{(1 + e)^{3}}{3} - \frac{{(1 + e^{0})}^{3}}{3}] = \frac{(1 + e)^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3} = \frac{(1 + e)^{3}}{3} - \frac{8}{3}$

ويمكن أن يحل السؤال بطريقة ثانية وهي توزيع $e^{x}$ على القوس بعد فتح القوس.

- $\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 4}{(x^{3} + 4 x + 1)} d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 4}{(x^{3} + 4 x + 1)} d x & = {[\ln (x^{3} + 4 x + 1)]}_{0}^{1} = \ln (1^{3} + 4 (1) + 1 - \ln (0^{3} + 4 (0) + 1) \\ = \ln 6 - \ln 1 = \ln 6 - 0 = \ln 6 \end{aligned}$

- $\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x$

$\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x = \int_{1}^{4} e^{x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}} d x = {[e^{x^{\frac{1}{2}}}]}_{1}^{4} = {[e^{\sqrt{x}}]}_{1}^{4} = e^{\sqrt{4}} - e^{\sqrt{1}} = e^{2} - e^{1}$

- $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} x d x}{2 + \tan x}$

$\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} x d x}{2 + \tan x} = [\ln | 2 + \tan x |]_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} = \ln (2 + \tan \frac{π}{4}) - \ln (2 + \tan (- \frac{π}{4})) = \ln (2 + 1) - \ln (2 - 1) = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3 - 0 = \ln 3$

- $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} d x$

$\begin{aligned} \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x} d x} & = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{(\sin x)^{\frac{1}{2}}} d x = \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} (\sin x)^{- \frac{1}{2}} \cdot \cos x d x \\ = {[\frac{(\sin x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = 2 {[(\sin x)^{\frac{1}{2}}]}_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} = 2 [\sqrt{\sin x}]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \\ = 2 [\sqrt{\sin \frac{π}{2}} - \sqrt{\sin \frac{π}{6}}] = 2 [\sqrt{1} - \sqrt{\frac{1}{2}}] = 2 [1 - \frac{1}{\sqrt{2}}] = 2 - \frac{2}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

- $\int \cot^{3} 5 x d x$

$\begin{aligned} \int \cot^{3} 5 x d x = \int \cot^{2} 5 x \cot 5 x d x = \int (\csc^{2} 5 x - 1) \cot 5 x d x \\ = \int (\cot 5 x \csc^{2} 5 x - \cot 5 x) d x = \int (\cot 5 x \csc^{2} 5 x) d x - \int (\cot 5 x) d x \\ = \frac{1}{5} \int \cot 5 x \csc^{2} 5 x (5) d x - \frac{1}{5} \int \frac{\cos 5 x}{\sin 5 x} (5) d x \\ = - \frac{1}{5} \frac{\cot^{2} 5 x}{2} - \frac{1}{5} \ln | \sin 5 x | + c = - \frac{1}{10} \cot^{2} 5 x - \frac{1}{5} \ln | \sin 5 x | + c \end{aligned}$

- $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\cos x} \sin x d x$

$\begin{aligned} \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\cos x} \sin x d x & = - \int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\cos x} (- \sin x) d x \\ = - {[e^{\cos x}]}_{0}^{\frac{π}{2}} = - [e^{\cos \frac{π}{2}} - e^{\cos 0}] = - [e^{0} - e^{1}] = - 1 + e \end{aligned}$

- $\int_{1}^{2} x e^{- \ln x} d$

$\int_{1}^{2} x e^{- \ln x} d x = \int_{1}^{2} x e^{\ln x^{- 1}} d x = \int_{1}^{2} x \cdot x^{- 1} d x = \int_{1}^{2} d x = [x]_{1}^{2} = 2 - 1 = 1$

3- أثبت أن:

- $\int_{1}^{8} \frac{\sqrt{\sqrt[3]{x} - 1}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x = 2$

$\begin{aligned} L . H . S = \int_{1}^{8} \frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2})}^{\frac{1}{3}}} d x = \int_{1}^{8} {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot x^{- \frac{2}{3}} d x = 3 \int_{1}^{8} {(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} d x) \\ = 3 {[\frac{{(x^{\frac{1}{3}} - 1)}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{1}^{8} = 3 (\frac{2}{3}) [{[(8)^{\frac{1}{3}} - 1]}^{\frac{3}{2}} - {[(1)^{\frac{1}{3}} - 1]}^{\frac{3}{2}}] \\ = 2 [[2 - 1]^{\frac{3}{2}} - [1 - 1]^{\frac{3}{2}}] = 2 (1) = 2 = R . H . S \end{aligned}$

- $\int_{- 2}^{4} | 3 x - 6 | d x = 30$

$| 3 x - 6 | = {\begin{cases} 3 x - 6 & x \geq 2 \\ - 3 x + 6 & x < 2 \end{cases} \begin{aligned} L.H.S = \int_{- 2}^{4} | 3 x - 6 | d x = \int_{- 2}^{2} (- 3 x + 6) d x + \int_{2}^{4} (3 x - 6) d x \\ = {[\frac{- 3}{2} x^{2} + 6 x]}_{- 2}^{2} + {[\frac{3}{2} x^{2} - 6 x]}_{2}^{4} \\ = [\frac{- 12}{2} + 12] - [\frac{- 12}{2} - 12] + [\frac{48}{2} - 24] - [\frac{12}{2} - 12] \\ = [- 6 + 12] - [- 6 - 12] + [24 - 24] - [6 - 12] \\ = 6 + 18 + 0 + 6 = 30 = R . H . S \end{aligned}$

4- $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[- 2, 6]$ فإذا كان $\int_{1}^{6} f (x) d x = 6$ وكان $\int_{- 2}^{6} [f (x) + 3] d x = 32$ فجد $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

$\begin{aligned} ∵ \int_{- 2}^{6} [f (x) + 3] d x = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x + \int_{- 2}^{6} 3 d x = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x + [3 x]_{- 2}^{6} = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x + [3 (6) - 3 (- 2)] = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x + [18 + 6] = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x + [24] = 32 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x = 32 - 24 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x = 8 \\ \int_{- 2}^{6} f (x) d x = \int_{- 2}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{6} f (x) d x \\ \int_{- 2}^{1} f (x) d x + 6 = 8 \Rightarrow \int_{- 2}^{1} f (x) d x = 8 - 6 \Rightarrow \int_{- 2}^{1} f (x) d x = 2 \end{aligned}$

5- إذا علمت أن $\int_{1}^{a} (x + \frac{1}{2}) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$ فجد قيمة $a \in R$ .

$\begin{aligned} \int_{1}^{a} (x + \frac{1}{2}) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x \Rightarrow {[\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} x]}_{1}^{a} = 2 [\tan x]_{0}^{\frac{π}{4}} \\ \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a - [\frac{1}{2} + \frac{1}{2}] = 2 [\tan \frac{π}{4} - \tan 0] \\ \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a - 1 = 2 [1 - 0] \Rightarrow \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a - 1 = 2 \\ \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a - 1 - 2 = 0 \Rightarrow [\frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{2} a - 3 = 0] \times 2 \\ a^{2} + a - 6 = 0 \Rightarrow (a + 3) (a - 2) = 0 \\ either a + 3 = 0 \Rightarrow a = - 3 (يهمل) \\ or a - 2 = 0 \Rightarrow a = 2 (a > 1 (لأن)) \end{aligned}$

6- لتكن $f (x) = x^{2} + 2 x + k$ حيث $k \in R$ دالة نهايتها الصغرى تساوي $(- 5)$ جد $\int_{1}^{3} f (x) d x$ .

للدالة نهاية صغرى

null

لأنه عندما يأتي في السؤال نهاية صغرى فهي تمثل الإحداثي $y$ في النقطة.

$(- 1, - 5)$ هي نقطة نهاية صغرى محلية وهي تحقق معادلة الدالة $f (x)$ .

$\begin{aligned} - 5 = (- 1)^{2} + 2 (- 1) + k \Rightarrow - 5 = 1 - 2 + k \Rightarrow k = - 4 \\ f (x) = x^{2} + 2 x - 4 \\ \int_{1}^{3} f (x) d x = \int_{1}^{3} (x^{2} + 2 x - 4) d x \\ = {[\frac{x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} - 4 x]}_{1}^{3} = [\frac{27}{3} + \frac{2 (9)}{2} - 12] - [\frac{1}{3} + \frac{2}{2} - 4] \\ = [9 + 9 - 12] - [\frac{1}{3} + 1 - 4] = 6 - [\frac{- 8}{3}] = \frac{18 + 8}{3} = \frac{26}{3} \end{aligned}$

7- إذا كان المنحني $f (x) = (x - 3)^{3} + 1$ نقطة الانقلاب $(a, b)$ جد القيمة العددية للمقدار null.

نقطة الانقلاب ناتجة من مساواة المشتقة الثانية للصفر.

$f (x) = (x - 3)^{3} + 1 \begin{aligned} f' (x) = 3 (x - 3)^{2} \\ f'' (x) = 6 (x - 3) \Rightarrow 6 (x - 3) = 0 \overset{\div 6}{\Rightarrow} x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ f (3) = (3 - 3)^{3} + 1 = 1 ((3, 1) هي الانقلاب نقطة) \end{aligned} \begin{aligned} (3, 1) \Rightarrow (a, b) \Rightarrow a = 3, b = 1 \\ \int_{0}^{b} f (x) d x - \int_{0}^{a} \hat{f} (x) d x \\ \int_{0}^{1} 3 (x - 3)^{2} - \int_{0}^{3} 6 (x - 3) d x \\ = 3 {[\frac{(x - 3)^{3}}{3}]}_{0}^{1} - 6 {[\frac{(x - 3)^{2}}{2}]}_{0}^{3} \\ = [(1 - 3)^{3} - (0 - 3)^{3}] - [3 (3 - 3)^{2} - 3 (0 - 3)^{2}] \\ = [- 8 + 27] - [0 - 27] = [19 + 27] = 46 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-4)

1- جد $\int \frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

- $y = \ln 3 x$

- $y = \ln (\frac{x}{2})$

- $y = \ln x^{2}$

- $y = (\ln x)^{2}$

- $y = l n {(\frac{1}{x})}^{3}$

- $y = \ln (2 - \cos x)$

- $y = e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5}$

- $y = 9^{\sqrt{x}}$

- $y = 7^{- \frac{x}{4}}$

- $y = x^{2} e^{x}$

2- جد التكاملات الآتية:

- $\int_{0}^{3} \frac{1}{x + 1} d x$

- $\int_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x$

- $\int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2 x} d x$

- $\int_{0}^{\ln 2} e^{- x} d x$

- $\int_{0}^{1} {(1 + e^{x})}^{2} e^{x} d x$

- $\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 4}{(x^{3} + 4 x + 1)} d x$

- $\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x$

- $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} x d x}{2 + \tan x}$

- $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} d x$

- $\int \cot^{3} 5 x d x$

- $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\cos x} \sin x d x$

- $\int_{1}^{2} x e^{- \ln x} d$

3- أثبت أن:

- $\int_{1}^{8} \frac{\sqrt{\sqrt[3]{x} - 1}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x = 2$

- $\int_{- 2}^{4} | 3 x - 6 | d x = 30$

4- $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[- 2, 6]$ فإذا كان $\int_{1}^{6} f (x) d x = 6$ وكان $\int_{- 2}^{6} [f (x) + 3] d x = 32$ فجد $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

5- إذا علمت أن $\int_{1}^{a} (x + \frac{1}{2}) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$ فجد قيمة $a \in R$ .

6- لتكن $f (x) = x^{2} + 2 x + k$ حيث $k \in R$ دالة نهايتها الصغرى تساوي $(- 5)$ جد $\int_{1}^{3} f (x) d x$ .

7- إذا كان المنحني $f (x) = (x - 3)^{3} + 1$ نقطة الانقلاب $(a, b)$ جد القيمة العددية للمقدار null.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-4)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-4)

1- جد ∫dydx لكل مما يأتي:

- y=ln⁡3x

- y=ln⁡(x2)

- y=ln⁡x2

- y=(ln⁡x)2

- y=ln⁡(1x)3

- y=ln⁡(2−cos⁡x)

- y=e−5x2+3x+5

- y=9x

- y=7−x4

- y=x2ex

2- جد التكاملات الآتية:

- ∫031x+1dx

- ∫042xx2+9dx

- ∫ln⁡3ln⁡5e2xdx

- ∫0ln⁡2e−xdx

- ∫01(1+ex)2exdx

- ∫013x2+4(x3+4x+1)dx

- ∫14ex2xdx

- ∫−π4π4sec2⁡xdx2+tan⁡x

- ∫π6π2cos⁡xsin⁡xdx

- ∫cot3⁡5xdx

- ∫0π2ecos⁡xsin⁡xdx

- ∫12xe−ln⁡xd

3- أثبت أن:

- ∫18x3−1x23dx=2

- ∫−24|3x−6|dx=30

4- f(x) دالة مستمرة على الفترة -2,6 فإذا كان ∫16f(x)dx=6 وكان ∫−26[f(x)+3]dx=32 فجد ∫−21f(x)dx.

5- إذا علمت أن ∫1a(x+12)dx=2∫0π4sec2⁡xdx فجد قيمة a∈R.

6- لتكن f(x)=x2+2x+k حيث k∈R دالة نهايتها الصغرى تساوي -5 جد ∫13f(x)dx.

7- إذا كان المنحني f(x)=(x−3)3+1 نقطة الانقلاب (a,b) جد القيمة العددية للمقدار null.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-4)

النقاشات

1- جد $\int \frac{d y}{d x}$ لكل مما يأتي:

- $y = \ln 3 x$

- $y = \ln (\frac{x}{2})$

- $y = \ln x^{2}$

- $y = (\ln x)^{2}$

- $y = l n {(\frac{1}{x})}^{3}$

- $y = \ln (2 - \cos x)$

- $y = e^{- 5 x^{2} + 3 x + 5}$

- $y = 9^{\sqrt{x}}$

- $y = 7^{- \frac{x}{4}}$

- $y = x^{2} e^{x}$

- $\int_{0}^{3} \frac{1}{x + 1} d x$

- $\int_{0}^{4} \frac{2 x}{x^{2} + 9} d x$

- $\int_{\ln 3}^{\ln 5} e^{2 x} d x$

- $\int_{0}^{\ln 2} e^{- x} d x$

- $\int_{0}^{1} {(1 + e^{x})}^{2} e^{x} d x$

- $\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} + 4}{(x^{3} + 4 x + 1)} d x$

- $\int_{1}^{4} \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x}} d x$

- $\int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{π}{4}} \frac{\sec^{2} x d x}{2 + \tan x}$

- $\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{\sqrt{\sin x}} d x$

- $\int \cot^{3} 5 x d x$

- $\int_{0}^{\frac{π}{2}} e^{\cos x} \sin x d x$

- $\int_{1}^{2} x e^{- \ln x} d$

- $\int_{1}^{8} \frac{\sqrt{\sqrt[3]{x} - 1}}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x = 2$

- $\int_{- 2}^{4} | 3 x - 6 | d x = 30$

4- $f (x)$ دالة مستمرة على الفترة $[- 2, 6]$ فإذا كان $\int_{1}^{6} f (x) d x = 6$ وكان $\int_{- 2}^{6} [f (x) + 3] d x = 32$ فجد $\int_{- 2}^{1} f (x) d x$ .

5- إذا علمت أن $\int_{1}^{a} (x + \frac{1}{2}) d x = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \sec^{2} x d x$ فجد قيمة $a \in R$ .

6- لتكن $f (x) = x^{2} + 2 x + k$ حيث $k \in R$ دالة نهايتها الصغرى تساوي $(- 5)$ جد $\int_{1}^{3} f (x) d x$ .

7- إذا كان المنحني $f (x) = (x - 3)^{3} + 1$ نقطة الانقلاب $(a, b)$ جد القيمة العددية للمقدار null.