للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التكامل غير المحدد

إذا كانت للدالة $f$ المستمرة على $[a, b]$ دالة مقابلة $F$ فإنه يوجد عدد لا نهائي من الدوال المقابلة للدالة $f$ كل منها يساوي $F + C$ حيث $C$ يمثل عدد ثابت والفرق بين أكثر من اثنين منها يساوي عدد ثابت.

تسمى مجموعة الدوال المقابلة $F + C$ بالتكامل غير المحدد للدالة $f$ المستمرة على الفترة $[a, b]$ ويرمز لها بالرمز $\int f (x) d x$ اذا كان رمز المتغير $x$ .
يصطلح على كتابة التكامل غير المحدد على صورة $\int f (x) d x = F (x) + C, C \in R$
عملية التكامل غير المحدد هو العملية المعاكسة لعملية التفاضل أي أحداهما تنهي دور الأخرى.

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} + x + c = x^{3} + x^{2} + x + c$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x = \sin x + \frac{x^{- 1}}{- 1} + c = \sin x - x^{- 1} + c == \sin x - \frac{1}{x} + c$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x = \frac{1}{3} \int \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(3)}} (\csc 3 x \cot 3 x) d x = \frac{- \csc 3 x}{3} + c$

$\int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x$

$\begin{aligned} \int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x & = \int \frac{1}{a} \sin a x \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(a)}} d x + \int \frac{1}{3} \sec^{2} 3 x \cdot \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(a)}} d x \\ = \frac{- \cos a x}{a} + \frac{\tan 3 x}{3} + c \end{aligned}$

$\int (x + \sec x \tan x) d x$

$\int (x + \sec x \tan x) d x = \frac{x^{2}}{2} + \sec x + c$

$\int \sin (2 x + 4) d x$

$\int \sin (2 x + 4) d x = \frac{1}{2} \int \sin (2 x + 4) \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{(2)}} d x = \frac{- 1}{2} \cos (2 x + 4) + c$

نلاحظ أن كل قوس مرفوع إلى أس يجب اتباع ما يأتي:

نرتب حدود القوس.
يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة.
عند التكامل نقوم بحذف المشتقة.

(2)- جد التكامل $\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x$

$\int [f (x)]^{2} f' (x) d x (أن أي) f' (x) = 2 x, f (x) = x^{2} + 3$

$\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x = \frac{{[x^{2} + 3]}^{3}}{3} + c$

المشتقة متوفرة إذن تكامل بصورة مباشرة.

ملاحظة:

$\int \sin x d x = - \cos x + c, \int \cos x d x = \sin x + c$

(3)- جد التكامل $\int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} (3 x + 4) d x$

$= \int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} \underset{2 \times نضرب}{\underset{⏟}{(3 x + 4)}} d x = \frac{1}{\underset{2 على قسمة}{\underset{⏟}{2}}} \int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} \underset{المشتقة}{\underset{⏟}{(6 x + 8)}} d x = \frac{1}{2} \frac{{(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{7}}{7} + c = \frac{1}{14} {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{7} + c$

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int \sin^{4} x \cos x d x$

$\int \sin^{4} x \cos x d x = \frac{\sin^{5} x}{5} + c \sin x \overset{مشتقها}{⟹} \cos x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x = \frac{\tan^{7} x}{7} + c \tan x \overset{مشتقها}{⟹} \sec^{2} x$

(5)- جد التكامل $\int x \sqrt{x^{2} + 2} d x$

$\int \frac{d x}{x^{\frac{2}{3}} {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}} = \int {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{- 2}{3}}] \cdot \underset{3 على ونقسم نضرب}{\underset{⏟}{\frac{3}{3}}} = 3 \int \underset{القوس داخل مشتقة}{\underset{⏟}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}}} {(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}} = 3 \frac{{(1 + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = 6 \sqrt{1 + \sqrt[3]{x}} + c$

في الدوال المثلثية علينا مراعاة ما يأتي:

نرتب بحيث نضع الدالة المثلثية ثم المشتقة.
يجب أن تكون المشتقة للدالة المثلثية موجودة.

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int x^{2} s i n x^{3} d x$

$\int x^{2} \sin x^{3} d x = \int \sin x^{3} x^{2} d x = \frac{1}{3} \int \sin x^{3} \underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{3 x^{2}}} d x = - \frac{1}{3} \cos x^{3} + c$

$\int s i n x c o s^{5} x d x$

$\begin{aligned} \int \sin x \cos^{5} x d x & = \int \cos^{5} x \sin x d x = \int [\cos x]^{5} \sin x d x] \cdot \frac{- 1}{- 1} \\ = - \int [\cos x]^{5} (- \sin x) d x = - \frac{[\cos x]^{6}}{6} + c \end{aligned}$

$\int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}} & = \int (1 + \tan x)^{- \frac{1}{2}} \cdot \frac{1}{\cos^{2} x} d x \\ = \int (1 + \tan x)^{- \frac{1}{2}} \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{\sec^{2} x}} d x = \frac{(1 + \tan x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + c = 2 \sqrt{1 + \tan x} + c \end{aligned}$

$\int \tan x \sec^{4} x d x$

$\int \tan x \sec^{4} x d x = \int \sec^{4} x \tan x d x = \int \sec^{3} x \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{sen x \tan x}} d x = \frac{(\sec x)^{4}}{4} + c$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x = \int \tan^{6} x \underset{الدالة مشتقة}{\underset{⏟}{\sec^{2} x}} d x = \frac{1}{7} \tan^{7} x + c$

$\int x \sqrt{x + 3} d x$

$\begin{aligned} \int x \sqrt{x + 3} d x & = \int x + 3 - 3 (\sqrt{x + 3}) d x = \int ((x + 3) - 3) (x + 3)^{\frac{1}{2}} d x \\ = \int (x + 3)^{\frac{3}{2}} d x - 3 \int (x + 3)^{\frac{1}{2}} d x = \frac{(x + 3)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} - 3 \frac{(x + 3)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + c \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التكامل غير المحدد

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x$

$\int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x$

$\int (x + \sec x \tan x) d x$

$\int \sin (2 x + 4) d x$

(2)- جد التكامل $\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x$

(3)- جد التكامل $\int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} (3 x + 4) d x$

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int \sin^{4} x \cos x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

(5)- جد التكامل $\int x \sqrt{x^{2} + 2} d x$

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

$\int x^{2} s i n x^{3} d x$

$\int s i n x c o s^{5} x d x$

$\int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}}$

$\int \tan x \sec^{4} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int x \sqrt{x + 3} d x$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج1

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج2

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج3

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التكامل غير المحدد

(1)- أوجد تكامل الدوال الآتية:

∫(3x2+2x+1)dx

∫(cos⁡x+x−2)dx

∫(csc⁡3xcot⁡3x)dx

∫(sin⁡ax+sec2⁡3x)dx

∫(x+sec⁡xtan⁡x)dx

∫sin⁡(2x+4)dx

(2)- جد التكامل ∫(x2+3)2(2x)dx

(3)- جد التكامل ∫(3x2+8x+5)6(3x+4)dx

(4)- جد التكامل لكل مما يأتي:

∫sin4⁡xcos⁡xdx

∫tan6⁡xsec2⁡xdx

(5)- جد التكامل ∫xx2+2dx

(6)- جد التكامل لكل مما يأتي:

∫x2sin⁡x3dx

∫sin⁡xcos5⁡xdx

∫dxcos2⁡x1+tan⁡x

∫tan⁡xsec4⁡xdx

∫tan6⁡xsec2⁡xdx

∫xx+3dx

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج1

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج2

فيديو شرح درس التكامل غير المحدد ج3

النقاشات

$\int (3 x^{2} + 2 x + 1) d x$

$\int (\cos x + x^{- 2}) d x$

$\int (\csc 3 x \cot 3 x) d x$

$\int (\sin a x + \sec^{2} 3 x) d x$

$\int (x + \sec x \tan x) d x$

$\int \sin (2 x + 4) d x$

(2)- جد التكامل $\int {(x^{2} + 3)}^{2} (2 x) d x$

(3)- جد التكامل $\int {(3 x^{2} + 8 x + 5)}^{6} (3 x + 4) d x$

$\int \sin^{4} x \cos x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

(5)- جد التكامل $\int x \sqrt{x^{2} + 2} d x$

$\int x^{2} s i n x^{3} d x$

$\int s i n x c o s^{5} x d x$

$\int \frac{d x}{\cos^{2} x \sqrt{1 + \tan x}}$

$\int \tan x \sec^{4} x d x$

$\int \tan^{6} x \sec^{2} x d x$

$\int x \sqrt{x + 3} d x$