للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين

إذا علمت معادلتي منحني $f (x), g (x)$ المعرفتين على الفترة $[a, b]$ وكان المطلوب إيجاد المساحة بينهما فنقوم بإيجاد الدالة المولدة وهي $h (x) = f (x) - g (x)$ مع مراعاة الاحتمالات الخمسة سابقة الذكر بالنسبة للدالة المولدة $h (x)$ .

$A = | \int_{a}^{b} h (x) d x |$

ملاحظة: إذا كانت الدالة المولدة لها أكثر من صورة واحدة فيمكن إجراء التكامل على أي صورة منها ما لم نضرب بعدد أو نقسم على عدد أو ترفع الطرفين إلى قوة معينة كأن تكون تربيع أو جذر.

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sqrt{x}$ والمستقيم $y = x$ .

$h (x) = \sqrt{x} - x$ الدالة المولدة.

$\begin{aligned} x = \sqrt{x} (بالتربيع) \\ x^{2} = x \Rightarrow x (x - 1) = 0 \\ x = 0, x = 1 x \in [0, 1] \\ A = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x) d x = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x) d x = {[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{2}{3}} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} = {[\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} \\ A = [\frac{2}{3} - \frac{1}{2}] - [0] = \frac{1}{6} \Rightarrow A = | \frac{1}{6} | = \frac{1}{6} {unit}^{2} \end{aligned}$

(2)- جد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني $y = x^{3}$ والمستقيم $y = x$ .

$h (x) = x^{3} - x$ الدالة المولدة.

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \Rightarrow either x = 0 or x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ (x = 0, x = 1, x = - 1), [- 1, 0], [0, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x | + | \int_{0}^{1} (x^{3} - x) d x | = | {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1} | \\ A = | (0) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) | + | (\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (0) | = | \frac{1}{4} | + | \frac{- 1}{4} | = \frac{1}{2} \end{aligned}$

(3)- جد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين $g (x) = \sin x, f (x) = \cos x$ وعلى الفترة $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$[\sin x = \cos x] \div \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{4} (الاسناد زاوية)$

دالة الظل موجبة في الربعين الأول والثالث

$\begin{aligned} x = \frac{π}{4} \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] or x = π + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} \notin [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ A = | \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{4}} (\cos x - \sin x) d x | + | \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} (\cos x - \sin x) d x | = | [\sin x + \cos x]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{4}} + [\sin x + \cos x]_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} | \\ A = | (\sin \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{4}) - \sin (- \frac{π}{2}) + \cos (- \frac{π}{2}) | + | (\sin \frac{π}{2} + \cos \frac{π}{2}) - (\sin \frac{π}{4} + \cos \frac{π}{4}) | \\ A = | (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) - (- 1 + 0) | + | (1 + 0) - (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}) | = | \frac{2}{\sqrt{2}} + 1 | + | 1 - \frac{2}{\sqrt{2}} | \\ A = | \sqrt{2} + 1 | + | 1 - \sqrt{2} | = | \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2} - 1 | = 2 \sqrt{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين وعلى الفترة $y = - \sin x, y = \cos x [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

زاوية الأسناد $\frac{π}{4}$ حيث دالة الظل تكون سالبة في الربعين الثاني والرابع.

$\begin{aligned} - \sin x = \cos x \Rightarrow - \tan x = 1 \\ x = π - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{4} \notin [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] or x = 2 π - \frac{π}{4} \notin [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \\ A = \int_{\frac{- π}{2}}^{\frac{π}{2}} (\cos x + \sin x) d x = [\sin x - \cos x]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \\ A = (\sin \frac{π}{2} - \cos \frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2}) - \cos (- \frac{π}{2}) \end{aligned}$

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = \sin 2 x$ وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

$\begin{aligned} h (x) = \sin 2 x - \sin x \\ 2 \sin x \cos x - \sin x = \sin x (2 \cos x - 1) \\ \sin x (2 \cos x - 1) = 0 \\ either \sin x = 0 \Rightarrow x = 0 \in [0, \frac{π}{2}] (يجزئ لا) x = π \notin [0, \frac{π}{2}] \\ or \cos x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{π}{3} \in [0, \frac{π}{2}] x = 2 π - \frac{π}{3} = \frac{5 π}{3} \notin [0, \frac{π}{2}] \\ A = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin x (2 \cos x - 1) d x + \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \sin x (2 \cos x - 1) d x \\ A = - \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{π}{3}} (2 \cos x - 1) (- 2 \sin x) d x + (- \frac{1}{2}) \int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} (2 \cos x - 1) (- 2 \sin x) d x \\ A = - \frac{1}{4} {[(2 \cos x - 1)^{2}]}_{0}^{\frac{π}{3}} + (- \frac{1}{4}) {[(2 \cos x - 1)^{2}]}_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \\ A = - \frac{1}{4} [{(2 \cos \frac{π}{3} - 1)}^{2} - (2 \cos 0 - 1)^{2}] - \frac{1}{4} [{(2 \cos \frac{π}{2} - 1)}^{2} - {(2 \cos \frac{π}{3} - 1)}^{2}] \\ A = | \frac{- 1}{4} [(1 - 1)^{2} - (2 - 1)^{2}] | + | \frac{- 1}{4} [(0 - 1)^{2} - (1 - 1)^{2}] | = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sqrt{x}$ والمستقيم $y = x$ .

(2)- جد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني $y = x^{3}$ والمستقيم $y = x$ .

(3)- جد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين $g (x) = \sin x, f (x) = \cos x$ وعلى الفترة $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين وعلى الفترة $y = - \sin x, y = \cos x [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = \sin 2 x$ وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين ج1

فيديو شرح درس مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني y=x والمستقيم y=x.

(2)- جد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني y=x3 والمستقيم y=x.

(3)- جد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين g(x)=sin⁡x , f(x)=cos⁡x وعلى الفترة [−π2,π2].

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين وعلى الفترة y=−sin⁡x,y=cos⁡x[−π2,π2].

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين g(x)=sin⁡x,f(x)=sin⁡2x وعلى الفترة [0,π2].

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين ج1

فيديو شرح درس مساحة المنطقة المحددة بمنحنيين ج2

النقاشات

(1)- جد المساحة المحددة بالمنحني $y = \sqrt{x}$ والمستقيم $y = x$ .

(2)- جد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحني $y = x^{3}$ والمستقيم $y = x$ .

(3)- جد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنيين $g (x) = \sin x, f (x) = \cos x$ وعلى الفترة $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

(4)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين وعلى الفترة $y = - \sin x, y = \cos x [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

(5)- جد المساحة المحددة بمنحني الدالتين $g (x) = \sin x, f (x) = \sin 2 x$ وعلى الفترة $[0, \frac{π}{2}]$ .