للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

(1)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $y^{'} = \frac{\cos^{2} y}{x}, y = \frac{π}{4}, x = 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} y}{x} \Rightarrow x d y = \cos^{2} y d x \overset{(\div x \cos^{2} y)}{⟹} = \frac{d y}{\cos^{2} y} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{d y}{\cos^{2} y} = \int \frac{d x}{x} \\ \int \sec^{2} y d y = \int \frac{d x}{x} (\frac{1}{\cos^{2} y} = \sec^{2} y) \\ \tan y = \ln | x | + c (\tan \frac{π}{4} = 1, \ln 1 = 0) \\ \tan \frac{π}{4} = \ln | 1 | + c \Rightarrow 1 = 0 + c \Rightarrow c = 1 \\ ∴ \tan y = \ln | x | + 1 \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y$ حيث $x = 0$ عندما $y = \frac{π}{2}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y \Rightarrow [d y = - 2 x \tan y d x] \div \tan y \\ \frac{d y}{\tan y} = - 2 x d x \Rightarrow \int \frac{d y}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \int - 2 x d x \Rightarrow \int \frac{\cos y}{\sin y} d y = \int - 2 x d x \\ \ln | \sin y | = - 2 \frac{x^{2}}{2} + c \Rightarrow \ln | \sin y | = - x^{2} + c \\ (y = \frac{π}{2}, x = 0) \\ \ln | \sin \frac{π}{2} | = 0 + c \Rightarrow \ln (1) = c \Rightarrow c = 0 \\ (\sin \frac{π}{2} = 1) \\ ∴ \ln | \sin y | = - x^{2} \overset{(للطرفين e بأخذ)}{⟹} \sin y = e^{- x^{2}} \end{aligned}$

(3)- حل المعادلة التفاضلية $y' = 2 e^{x} y^{3}$ حيث أن $x = 0$ عندما $y = \frac{1}{2}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x} y^{3} \Rightarrow \frac{d y}{y^{3}} = 2 e^{x} d x \Rightarrow \int y^{- 3} d y = 2 \int e^{x} d x \Rightarrow \frac{y^{- 2}}{- 2} = 2 e^{x} + c \\ \frac{1}{- 2 y^{2}} = 2 e^{x} + c \Rightarrow \frac{1}{- 2 \frac{1}{4}} = 2 e^{0} + c (x = 0, y = \frac{1}{2}) \\ \frac{1}{\frac{- 1}{2}} = 2 (1) + c \Rightarrow - 2 = 2 + c \Rightarrow c = - 4 (e^{0} = 1) \\ \frac{1}{- 2 y^{2}} = 2 e^{x} - 4 \end{aligned}$

(4)- (حسب المنهج الجديد) حل المعادلة التفاضلية $x y' = y - x$ حيث أن $y = 1, x = 1$

$\begin{aligned} x \frac{d y}{d x} = y - x \overset{(\div x)}{⟹} \frac{d y}{d x} = \frac{y - x}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - 1 \\ \frac{d y}{d x} = v - 1 \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = v - 1 \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = - 1 \Rightarrow x d v = - d x \overset{(\div x)}{⟹} d v = - \frac{d x}{x} \\ \int d v = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow v = - \ln | x | + c \Rightarrow \frac{y}{x} = - \ln | x | + c \end{aligned}$

نعوض $y = 1, x = 1$ لإيجاد قيمة الثابت $c$

$\begin{aligned} \frac{y}{x} = - \ln | x | + c \Rightarrow \frac{1}{1} = - \ln | 1 | + c \Rightarrow 1 = 0 + c \Rightarrow c = 1 \\ ∴ \frac{y}{x} = - \ln | x | + 1 \end{aligned}$

(5)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $(x^{2} + 3 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{2 x y} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x y}{x^{2}}} = \frac{1 + 3 {(\frac{y}{x})}^{2}}{2 (\frac{y}{x})} \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2} - 2 v^{2}}{2 v} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} + 1}{2 v} \Rightarrow x d v = \frac{v^{2} + 1}{2 v} d x \Rightarrow \frac{d v}{\frac{v^{2} + 1}{2 v}} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{2 v d v}{v^{2} + 1} = \frac{d x}{x} \\ \int \frac{2 v d v}{v^{2} + 1} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \ln | v^{2} + 1 | + \ln | c | = \ln | x | \Rightarrow \ln | x | = \ln | c (v^{2} + 1) | \\ x = c \cdot (v^{2} + 1) \Rightarrow x = c (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) \Rightarrow x = c (\frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2}}) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

(1)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $y^{'} = \frac{\cos^{2} y}{x}, y = \frac{π}{4}, x = 1$

(2)- حل المعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y$ حيث $x = 0$ عندما $y = \frac{π}{2}$

(3)- حل المعادلة التفاضلية $y' = 2 e^{x} y^{3}$ حيث أن $x = 0$ عندما $y = \frac{1}{2}$

(4)- (حسب المنهج الجديد) حل المعادلة التفاضلية $x y' = y - x$ حيث أن $y = 1, x = 1$

(5)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $(x^{2} + 3 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

(1)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: y′=cos2⁡yx , y=π4 , x=1

(2)- حل المعادلة التفاضلية dydx=−2xtan⁡y حيث x=0 عندما y=π2

(3)- حل المعادلة التفاضلية y'=2exy3 حيث أن x=0 عندما y=12

(4)- (حسب المنهج الجديد) حل المعادلة التفاضلية xy'=y−x حيث أن y=1,x=1

xdydx=y−x⟹(÷x)dydx=y−xx⇒dydx=yx−1dydx=v−1……(2)(v=yx وضعنا)∵y=vx⇒dydx=v+xdvdx………(3)

(5)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: (x2+3y2)dx−2xydy=0

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

النقاشات

(1)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $y^{'} = \frac{\cos^{2} y}{x}, y = \frac{π}{4}, x = 1$

(2)- حل المعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y$ حيث $x = 0$ عندما $y = \frac{π}{2}$

(3)- حل المعادلة التفاضلية $y' = 2 e^{x} y^{3}$ حيث أن $x = 0$ عندما $y = \frac{1}{2}$

(4)- (حسب المنهج الجديد) حل المعادلة التفاضلية $x y' = y - x$ حيث أن $y = 1, x = 1$

(5)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $(x^{2} + 3 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$