للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (2-5)

(1)- حل المعادلات التفاضلية الآتية بطريقة فصل المتغيرات:

$y^{'} \cos^{3} x = \sin x$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} \cdot \cos^{3} x = \sin x \Rightarrow (\cos^{3} x) d y = (\sin x) d x \Rightarrow d y = \frac{\sin x}{\cos^{3} x} d x \\ d y = \frac{\sin x}{\cos x} \frac{1}{\cos^{2} x} d x \Rightarrow d y = \tan x \sec^{2} x d x \Rightarrow \int d y = \int \tan x \sec^{2} x d x \\ y = \frac{(\tan x)^{2}}{2} + c \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x x = 1, y = 2$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 3 x - x y \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x (3 - y) \Rightarrow \frac{d y}{3 - y} = x d x \\ - 1 \int \frac{(- 1) d y}{3 - y} = \int x d x \Rightarrow - \ln | 3 - y | = \frac{x^{2}}{2} + c x = 1 y = 2 c = - \frac{1}{2} \\ - \ln | 3 - 2 | = \frac{1}{2} + c \Rightarrow - \ln 1 = \frac{1}{2} + c \Rightarrow 0 = \frac{1}{2} + c \Rightarrow c = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} \Rightarrow y = 3 - e^{\frac{1}{2} (1 - x^{2})} \\ - \ln | 3 - y | = \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \overset{\times - 1}{\Rightarrow} \ln | 3 - y | = \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{2} \Rightarrow 3 - y = e^{\frac{1}{2}} \Rightarrow y \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (y - 1)$

$\begin{aligned} \frac{d y}{(y - 1)} = (x + 1) d x \Rightarrow \int \frac{d y}{(y - 1)} = \int (x + 1) d x \Rightarrow \ln | y - 1 | = \frac{x^{2}}{2} + x + c \\ (y - 1) = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + c} \Rightarrow y = e^{\frac{x^{2}}{2} + x + c} + 1 \end{aligned}$

$(y^{2} + 4 y - 1) y^{'} = x^{2} - 2 x + 3$

$\begin{matrix} y \frac{d y}{d x} = 4 {(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}} \Rightarrow \frac{y d y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 4 d x \Rightarrow \int \frac{y d y}{{(1 + y^{2})}^{\frac{3}{2}}} = 4 \int d x \\ \int y {(1 + y^{2})}^{\frac{- 3}{2}} (d y) = \int 4 d x \Rightarrow \frac{1}{2} \int {(1 + y^{2})}^{\frac{- 3}{2}} 2 y d y = \int 4 d x \\ \frac{1}{2} (\frac{{(1 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}}}{- \frac{1}{2}}) = 4 x + c \Rightarrow - {(1 + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} = 4 x + c \Rightarrow \frac{- 1}{\sqrt{1 + y^{2}}} = 4 x + c \end{matrix}$

$e^{x} \cdot d x - y^{3} d y = 0$

$\begin{aligned} e^{x} \cdot d x - y^{3} d y = 0 \Rightarrow e^{x} \cdot d x = y^{3} d y \Rightarrow \int e^{x} d x = \int y^{3} d y \Rightarrow e^{x} = \frac{y^{4}}{4} + c \\ \frac{y^{4}}{4} = e^{x} - c \Rightarrow y^{4} = 4 e^{x} - 4 c \Rightarrow y = \pm \sqrt{4 e^{x} - 4 c} \Rightarrow y = \pm \sqrt{4 e^{x} + c_{1}} (c_{1} = - 4 c) \end{aligned}$

$y^{'} = 2 e^{x} y^{3} x = 0, y = \frac{1}{2}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x} y^{3} \Rightarrow d y = 2 e^{x} y^{3} d x \overset{\overset{y^{3}}{⟹}}{\frac{d y}{y^{3}}} = 2 e^{x} d x \Rightarrow \int \frac{d y}{y 3} = \int 2 e^{x} d x \\ \int y^{- 3} d y = 2 \int e^{x} d x \Rightarrow \frac{y^{- 2}}{- 2} = 2 e^{x} + c \Rightarrow \frac{- 1}{2 y^{2}} = 2 e^{x} + c \overset{x (- 1)}{⟹} \frac{1}{y^{2}} = - 4 e^{x} - 2 c \\ \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} = - 4 e^{0} - 2 c \Rightarrow 4 = - 4 - 2 c \Rightarrow - 2 c = 8 \Rightarrow c = - 4 \\ \frac{1}{y^{2}} = - 4 e^{x} + 8 \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{- 4 e^{x} + 8} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{1}{- 4 e^{x} + 8}} \end{aligned}$

(2)- جد الحل العام للمعادلات التفاضلية الآتية:

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = 1 - y^{2}$

$\begin{aligned} x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2} - y^{2} \Rightarrow x y \frac{d y}{d x} = 1 - 2 y^{2} \Rightarrow x y d y = (1 - 2 y^{2}) d x \\ \frac{y d y}{(1 - 2 y^{2})} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{y d y}{(1 - 2 y^{2})} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow - \frac{1}{4} \int \frac{(- 4 y)}{(1 - 2 y^{2})} d y = \int \frac{d x}{x} \end{aligned} \begin{aligned} - \frac{1}{4} \ln | 1 - 2 y^{2} | = \ln | x | + \ln | c | \Rightarrow \ln {(1 - 2 y^{2})}^{- \frac{1}{4}} = \ln | c x | (للطرفين \ln بأخذ) \\ {(1 - 2 y^{2})}^{- \frac{1}{4}} = c x \Rightarrow \frac{1}{{(1 - 2 y^{2})}^{\frac{1}{4}}} = c x \Rightarrow \frac{1}{\sqrt[4]{1 - 2 y^{2}}} = c x \Rightarrow \sqrt[4]{1 - 2 y^{2}} = \frac{1}{c x} \\ 1 - 2 y^{2} = \frac{1}{(c x)^{4}} \Rightarrow 2 y^{2} = 1 - \frac{1}{(c x)^{4}} \Rightarrow y^{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 x^{4} c^{4}} \Rightarrow y = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{1}{c_{1} x^{4}}} (2 c^{4} = c_{1}) \end{aligned}$

$\sin x \cos y \frac{d y}{d x} + \cos x \sin y = 0$

$\begin{aligned} \sin x \cos y \frac{d y}{d x} = - \cos x \sin y \Rightarrow \frac{\cos y}{\sin y} \frac{d y}{d x} = - \frac{\cos x}{\sin x} \Rightarrow \frac{\cos y}{\sin y} d y = - \frac{\cos x}{\sin x} d x \\ \int \frac{\cos y}{\sin y} d y = \int - \frac{\cos x}{\sin x} d x \Rightarrow \ln | \sin y | = - \ln | \sin x | + c \\ \ln | \sin y | = \ln | (\sin x)^{- 1} | + \ln c_{1} \Rightarrow \ln | \sin y | = \ln | c_{1} (\sin x)^{- 1} | \\ \ln \sin y = \ln | \frac{c_{1}}{\sin x} | \Rightarrow \sin y = \pm \frac{c_{1}}{\sin x} \end{aligned}$

$x \cos^{2} y d x + \tan y d y = 0$

$\begin{aligned} \tan y d y = - x \cos^{2} y d x \overset{\div \cos^{2} y}{⟹} \frac{\tan y}{\cos^{2} y} d y = - x d x \Rightarrow \int \frac{\tan y}{\cos^{2} y} d y = - \int x d x \\ \int \tan y \cdot \sec^{2} y d y = - \int x d x \Rightarrow \frac{(tany)^{2}}{2} = - \frac{x^{2}}{2} + c \overset{\times 2}{\Rightarrow} \frac{1}{2} (\tan y)^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + c \end{aligned}$

$t a n^{2} y d y = s i n^{3} x d x$

$\tan^{2} y d y = \sin^{3} x d x \Rightarrow \int (\sec^{2} y - 1) d y = \int \sin^{2} x \sin x d x \begin{aligned} \int (\sec^{2} y - 1) d y = \int (1 - \cos^{2} x) \sin x d x \\ \int (\sec^{2} y - 1) d y = \int [\sin x - (\cos x)^{2} \sin x] d x \\ \int (\sec^{2} y) d y - \int d y = \int \sin x d x + \int (\cos x)^{2} (- \sin x) d x \\ \tan y - y = - \cos x + \frac{\cos^{3} x}{3} + c \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} x \cos^{2} y$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \cos^{2} x \cos^{2} y \Rightarrow \frac{d y}{\cos^{2} y} = \cos^{2} x d x \Rightarrow \int \frac{d y}{\cos^{2} y} = \int \cos^{2} x d x \\ \int \sec^{2} y d y = \int \frac{1}{2} (1 + \cos 2 x) d x \Rightarrow \tan y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2 x) + c \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{3 y^{2} + e^{y}}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{3 y^{2} + e^{y}} \Rightarrow 3 y^{2} + e^{y} d y = \cos x d x \Rightarrow \int (3 y^{2} + e^{y}) d y = \int \cos x d x \frac{3 y^{3}}{3} + e^{y} = \sin x + c \Rightarrow y^{3} + e^{y} = \sin x + c$

$e^{x + 2 y} + y^{'} = 0$

$e^{x + 2 y} + y^{'} = 0 \Rightarrow e^{x} \cdot e^{2 y} + \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = - e^{x} \cdot e^{2 y} \Rightarrow \frac{d y}{e^{2 y}} = - e^{x} d x \begin{matrix} \int \frac{d y}{e^{2 y}} = - \int e^{x} d x \Rightarrow - \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} (- 2) d y = - \int e^{x} d x \\ - \frac{1}{2} e^{- 2 y} = - e^{x} + c \Rightarrow \frac{- 1}{2 e^{2 y}} = - e^{x} + c \end{matrix}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-5)

(1)- حل المعادلات التفاضلية الآتية بطريقة فصل المتغيرات:

$y^{'} \cos^{3} x = \sin x$

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x x = 1, y = 2$

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (y - 1)$

$(y^{2} + 4 y - 1) y^{'} = x^{2} - 2 x + 3$

$e^{x} \cdot d x - y^{3} d y = 0$

$y^{'} = 2 e^{x} y^{3} x = 0, y = \frac{1}{2}$

(2)- جد الحل العام للمعادلات التفاضلية الآتية:

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = 1 - y^{2}$

$\sin x \cos y \frac{d y}{d x} + \cos x \sin y = 0$

$x \cos^{2} y d x + \tan y d y = 0$

$t a n^{2} y d y = s i n^{3} x d x$

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} x \cos^{2} y$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{3 y^{2} + e^{y}}$

$e^{x + 2 y} + y^{'} = 0$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-5)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-5)

(1)- حل المعادلات التفاضلية الآتية بطريقة فصل المتغيرات:

y′cos3⁡x=sin⁡x

dydx+xy=3xx=1,y=2

dydx=(x+1)(y−1)

(y2+4y−1)y′=x2−2x+3

ex⋅dx−y3dy=0

y′=2exy3x=0,y=12

(2)- جد الحل العام للمعادلات التفاضلية الآتية:

xydydx+y2=1−y2

sin⁡xcos⁡ydydx+cos⁡xsin⁡y=0

xcos2⁡ydx+tan⁡ydy=0

tan2⁡ydy=sin3⁡xdx

dydx=cos2⁡xcos2⁡y

dydx=cos⁡x3y2+ey

ex+2y+y′=0

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-5)

النقاشات

$y^{'} \cos^{3} x = \sin x$

$\frac{d y}{d x} + x y = 3 x x = 1, y = 2$

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (y - 1)$

$(y^{2} + 4 y - 1) y^{'} = x^{2} - 2 x + 3$

$e^{x} \cdot d x - y^{3} d y = 0$

$y^{'} = 2 e^{x} y^{3} x = 0, y = \frac{1}{2}$

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = 1 - y^{2}$

$\sin x \cos y \frac{d y}{d x} + \cos x \sin y = 0$

$x \cos^{2} y d x + \tan y d y = 0$

$t a n^{2} y d y = s i n^{3} x d x$

$\frac{d y}{d x} = \cos^{2} x \cos^{2} y$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos x}{3 y^{2} + e^{y}}$

$e^{x + 2 y} + y^{'} = 0$