للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (3-5)

(1)- حل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$y^{'} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

$\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}} [v = \frac{y}{x} (وضعنا)] \\ \frac{d y}{d x} = v + e^{v} \dots \dots \dots (1) \\ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (2) \end{matrix}$

نعوض المعادلة (2) في المعادلة (1) فينتج:

$v + x \frac{d v}{d x} = v + e^{v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = e^{v} \Rightarrow x d v = e^{v} d x \Rightarrow \frac{d v}{e^{v}} = \frac{d x}{x} \int e^{- v} d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow - e^{- v} + c = \ln | x | \Rightarrow \ln | x | = - e^{- \frac{y}{x}} + c$

$(y^{2} - x y) d x + x^{2} d y = 0$

بقسمة البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$x^{2} d y = - (y^{2} - x y) d x \Rightarrow x^{2} d y = (x y - y^{2}) d x \frac{d y}{d x} = \frac{x y - y^{2}}{x^{2}} \begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x y}{x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2}}{1} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{y}{x})}^{2} \dots \dots . (1) \\ \frac{d y}{d x} = v - (v)^{2} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} ∴ v + x \frac{d v}{d x} = v - v^{2} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = - v^{2} \Rightarrow x d v = - v^{2} d x \Rightarrow \frac{d v}{v^{2}} = - \frac{d x}{x} \\ \int \frac{d v}{v^{2}} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int v^{- 2} d v = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{v^{- 1}}{- 1} + c = - \ln | x | \\ - \ln | x | = \frac{- 1}{v} + c \overset{(x - 1)}{⟹} \ln | x | = \frac{1}{\frac{y}{x}} - c \Rightarrow \ln | x | = \frac{x}{y} - c \Rightarrow \ln | x | = \frac{x}{y} + c_{1} (- c = c_{1}) \end{aligned}$

$(x + 2 y) d x + (2 x + 3 y) d y = 0$

نقسم البسط والمقام على $x \neq 0$

$\begin{aligned} (2 x + 3 y) d y = - (x + 2 y) d x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{- x - 2 y}{2 x + 3 y} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{- x}{x} - \frac{2 y}{x}}{\frac{2 x}{x} + 3 \frac{y}{x}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{- 1 - 2 \frac{y}{x}}{2 + 3 \frac{y}{x}} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{- 1 - 2 v}{2 + 3 v} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$v + x \frac{d v}{d x} = \frac{- 1 - 2 v}{2 + 3 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- 1 - 2 v}{2 + 3 v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- 1 - 2 v - v (2 + 3 v)}{2 + 3 v} \begin{aligned} x \frac{d v}{d x} = \frac{- 1 - 2 v - 2 v - 3 v^{2}}{2 + 3 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- (3 v^{2} + 4 v + 1)}{2 + 3 v} \\ - x d v = \frac{3 v^{2} + 4 v + 1}{2 + 3 v} d x \Rightarrow \int \frac{(2 + 3 v) d v}{3 v^{2} + 4 v + 1} = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{2 (2 + 3 v) d v}{3 v^{2} + 4 v + 1} = - \int \frac{d x}{x} \\ \frac{1}{2} \ln | 3 v^{2} + 4 v + 1 | = - \ln | x | + c \Rightarrow - c = \ln | {(3 v^{2} + 4 v + 1)}^{\frac{1}{2}} | + \ln | x | \\ \ln_{c_{1}} = \ln | x \sqrt{3 v^{2} + 4 v + 1} | \Rightarrow c_{1} = | x \sqrt{3 v^{2} + 4 v + 1} | \\ c_{1} = | x \sqrt{\frac{y^{2}}{x^{2}} + 4 \frac{y}{x} + 1} | \Rightarrow c_{1} = | x \sqrt{\frac{y^{2} + 4 x y + 3 y^{2}}{x^{2}} ∣} | \\ c_{1} = | x \frac{\sqrt{y^{2} + 4 x y + 3 y^{2}}}{\sqrt{x^{2}}} | \Rightarrow c_{1} = | x | | \frac{\sqrt{y^{2} + 4 x y + 3 y^{2}}}{| x |} | \\ c_{1} = | \sqrt{y^{2} + 4 x y + 3 y^{2}} | \end{aligned}$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y}$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\begin{aligned} \begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x y}{x^{2}}} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{2 \frac{y}{x}} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2 v} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \end{aligned} \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2 v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2} - 2 v^{2}}{2 v} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - v^{2}}{2 v} \Rightarrow x d v = \frac{1 - v^{2}}{2 v} d x \Rightarrow \frac{2 v d v}{1 - v^{2}} = \frac{d x}{x} \Rightarrow - \int \frac{- 2 v d v}{(1 - v^{2})} = \int \frac{d x}{x} \\ - \ln | (1 - v^{2}) | + \ln | c | = \ln | x | \Rightarrow \ln | (1 - v^{2}) | + \ln | x | = \ln | c | \\ \ln | x (1 - v^{2}) | = \ln | c | \Rightarrow | c | = | x (1 - v^{2}) | \end{aligned} c = \pm x (1 - v^{2}) \Rightarrow c = \pm x (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}) \Rightarrow c = \pm x \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}} \Rightarrow c = \pm (\frac{x^{2} - y^{2}}{x})$

$(y^{2} - x^{2}) d x + x y d y = 0 \Rightarrow x y d y = - (y^{2} - x^{2}) d x$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - y^{2}}{x y} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{x y}{x^{2}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1 - {(\frac{y}{y})}^{2}}{\frac{y}{x}} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 - v^{2}}{v} \dots \dots (2) (v = \frac{y}{1} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - v^{2}}{v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - v^{2}}{v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - v^{2} - v^{2}}{v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 2 v^{2}}{v} \\ \frac{v d v}{1 - 2 v^{2}} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{- 1}{4} \int \frac{(- 4) v d v}{1 - 2 v^{2}} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{- 1}{4} \ln | 1 - 2 v^{2} | + \ln | c | = \ln | x | \\ - \ln {| 1 - 2 v^{2} |}^{\frac{1}{4}} + \ln | c | = \ln | x | \Rightarrow \ln | {(1 - 2 v^{2})}^{\frac{1}{4}} | + \ln | x | = \ln | c | \\ \ln | x {(1 - 2 v^{2})}^{\frac{1}{4}} | = \ln | c | \Rightarrow \ln | c | = | x^{4} \sqrt{1 - 2 v^{2}} | \Rightarrow c = \pm x^{4} \sqrt{1 - 2 v^{2}} \\ ∴ c = \pm x \sqrt[4]{1 - 2 {(\frac{y}{x})}^{2}} \Rightarrow c = \pm x \sqrt[4]{1 - \frac{2 y^{2}}{x^{2}}} \Rightarrow c = \pm x \sqrt[4]{\frac{x^{2} - 2 y^{2}}{x^{2}}} \end{aligned}$

$x^{2} y d x = (x^{3} + y^{3}) d y$

نقسم البسط والمقام على $x^{3} \neq 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} y}{x^{3}}}{\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{3}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2} y}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{v}{1 + v^{3}} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v}{1 + v^{3}} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v}{1 + v^{3}} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v - v (1 + v^{3})}{1 + v^{3}} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{v - v - v^{4}}{1 + v^{3}} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- v^{4}}{1 + v^{3}} \Rightarrow \frac{1 + v^{3}}{v^{4}} d v = \frac{- d x}{x} \\ \int \frac{1 + v^{3}}{v^{4}} d v = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{1}{v^{4}} d v + \int \frac{v^{3}}{v^{4}} d v = - \int \frac{d x}{x} \\ - \int \frac{d x}{x} = \int v^{- 4} d v + \int \frac{1}{v} d v \Rightarrow - \ln | x | = \frac{1}{- 3} v^{- 3} + \ln | v | + \ln | c | \\ - \ln | x | = \frac{- 1}{3 v^{3}} + \ln | v | + \ln | c | \Rightarrow \frac{1}{3 v^{3}} = \ln | x | + \ln | v | + \ln | c | \\ \frac{1}{3 v^{3}} = \ln | x v c | + c \Rightarrow \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} = \ln | x \frac{y}{x} c | \Rightarrow \frac{1}{3 \frac{y^{3}}{x^{3}}} = \ln | y c | \\ \frac{x^{3}}{3 y^{3}} = \ln | y c | \Rightarrow y^{3} = \frac{x^{3}}{3 \ln | c y |} \Rightarrow y = \frac{x}{\sqrt[3]{3 \ln | c y |}} \end{aligned}$

$x (\frac{d y}{d x} - \tan \frac{y}{x}) = y$

$\begin{aligned} (\frac{d y}{d x} - \tan \frac{y}{x}) = \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \tan \frac{y}{x} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = v + \tan v \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = v + \tan v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \tan v \Rightarrow \frac{d v}{\tan v} = \frac{d x}{x} \\ \int \frac{d x}{x} = \int \frac{1}{\frac{\sin v}{\cos v}} d v \Rightarrow \int \frac{d x}{x} = \int \frac{\cos v}{\sin v} d v \Rightarrow \ln | x | = \ln | \sin v | + \ln | c | \\ \ln | x | = \ln | c (\sin v) | \Rightarrow | x | = | c (\sin v) | \Rightarrow x = \pm c (\sin v) \Rightarrow x = \pm c (\sin \frac{y}{x}) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (3-5)

(1)- حل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

$y^{'} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

$(y^{2} - x y) d x + x^{2} d y = 0$

$(x + 2 y) d x + (2 x + 3 y) d y = 0$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y}$

$(y^{2} - x^{2}) d x + x y d y = 0 \Rightarrow x y d y = - (y^{2} - x^{2}) d x$

$x^{2} y d x = (x^{3} + y^{3}) d y$

$x (\frac{d y}{d x} - \tan \frac{y}{x}) = y$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (3-5)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (3-5)

(1)- حل كلاً من المعادلات التفاضلية الآتية:

y′=yx+eyx

(y2−xy)dx+x2dy=0

(x+2y)dx+(2x+3y)dy=0

dydx=x2+y22xy

(y2−x2)dx+xydy=0⇒xydy=−(y2−x2)dx

dydx=x2−y2xydydx=x2x2−y2x2xyx2⇒dydx=1−(yy)2yx………(1)dydx=1−v2v……(2)(v=y1 وضعنا)∵y=vx⇒dydx=v+xdvdx………(3)

x2ydx=(x3+y3)dy

x(dydx−tan⁡yx)=y

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (3-5)

النقاشات

$y^{'} = \frac{y}{x} + e^{\frac{y}{x}}$

$(y^{2} - x y) d x + x^{2} d y = 0$

$(x + 2 y) d x + (2 x + 3 y) d y = 0$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{2 x y}$

$(y^{2} - x^{2}) d x + x y d y = 0 \Rightarrow x y d y = - (y^{2} - x^{2}) d x$

$x^{2} y d x = (x^{3} + y^{3}) d y$

$x (\frac{d y}{d x} - \tan \frac{y}{x}) = y$