للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

أولاً: المعادلات التي تنفصل متغيراتها:

فيي هذا النوع من المعادلات نستطيع أن نعزل كل الحدود التي تحتوي على $(x)$ مع $(d x)$ في طرف والحدود التي تحتوي على $(y)$ مع $(d y)$ في الطرف الآخر فنحصل على $g (y) d y = f (x) d x$ dx ثم تكامل الطرفين فنحصل على:

$\int g (y) d y = \int f (x) d x + c$ حيث يمثل $(c)$ ثابت التكامل.

(1)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 x + 5 \Rightarrow d y = (2 x + 5) d x \\ \int d y = \int (2 x + 5) d x \Rightarrow y = x^{2} + 5 x + c \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y} \Rightarrow y d y = (x - 1) d x \\ \int y d y = \int (x - 1) d x \Rightarrow \frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2} - x + c \overset{(\times 2)}{⟹} y^{2} = x^{2} - 2 x + 2 c \\ y = \pm \sqrt{x^{2} - 2 x + 2 c} \Rightarrow y = \pm \sqrt{x^{2} - 2 x + c_{1}} (c_{1} = 2 c (حيث)) \end{aligned}$

(3)- حل المعادلة $d y = \sin x \cos^{2} y d x$ حيث $y \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}, (\cos y \neq 0)$

نجعل المعادلة $g (y) d y = f (x) d x$

$\begin{aligned} d y = \sin x \cos^{2} y d x \overset{(\div \cos^{2} y)}{⟹} \frac{d y}{\cos^{2} y} = \sin x d x \\ \sec^{2} y d y = \sin x d x \\ \int \sec^{2} y d y = \int \sin x d x \Rightarrow \tan y = - \cos x + c \end{aligned}$

(4)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = e^{2 x + y}$ عندما $x = 0, y = 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = e^{2 x + y} \Rightarrow d y = e^{2 x} e^{y} d x \overset{(\div e^{y})}{⟹} \frac{d y}{e^{y}} = e^{2 x} d x \Rightarrow e^{- y} d y = e^{2 x} d x \\ \int e^{- y} d y = \int e^{2 x} d x \Rightarrow - \int e^{- y} (- 1) d y = \frac{1}{2} \int e^{2 x} (2) d x \\ - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{2 x} + c x = 0, y = 0 (بالتعويض) \end{aligned} \begin{aligned} - e^{0} = \frac{1}{2} e^{2 (0)} + c \Rightarrow - 1 = \frac{1}{2} + c \Rightarrow c = - \frac{3}{2} \\ - e^{- y} = \frac{1}{2} e^{2 x} - \frac{3}{2} \Rightarrow - e^{- y} = \frac{1}{2} (e^{2 x} - 3) \\ \frac{- 1}{e^{y}} = \frac{e^{2 x} - 3}{2} \Rightarrow e^{y} (e^{2 x} - 3) = - 2 \Rightarrow e^{y} = \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} (الطرفين \ln نأخذ) \\ \ln e^{y} = \ln | \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} | \Rightarrow y = \ln | \frac{- 2}{e^{2 x} - 3} | \end{aligned}$

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = \sin^{2} x \sin^{2} y$

$\begin{aligned} \frac{d y}{\sin^{2} y} = \sin^{2} x d x \Rightarrow \csc^{2} y d y = \sin^{2} x d x (للطرفين تكامل نأخذ) \\ \int \csc^{2} y d y = \frac{1}{2} \int (1 - \cos 2 x) d x \sin^{2} x = \frac{1}{2} (1 - \cos 2 x) \\ - \cot y = \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) + c \overset{x - 1}{⟹} \cot y = - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) - c \\ \cot y = - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin 2 x}{2}) + c_{1} (c_{1} = - c (حيث)) \end{aligned}$

(6)- جد حلاً للمعادلة $\frac{d y}{d x} = 5^{2 x + y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 5^{2 x} \cdot 5^{y} \Rightarrow \frac{d y}{5^{y}} = 5^{2 x} d x \Rightarrow 5^{- y} d y = 5^{2 x} d x (للطرفين تكامل ناخذ) \\ \int 5^{- y} d y = \int 5^{2 x} d x \Rightarrow - \frac{1}{\ln 5} \int 5^{- y} (- \ln 5) d y = \frac{1}{2 \ln 5} \int 5^{2 x} (2 \ln 5) d x \\ [\frac{- 1}{\ln 5} \cdot 5^{- y} = \frac{1}{2 \ln 5} 5^{2 x} + c] (بـ بالضرب) \\ - 5^{- y} = \frac{1}{2} 5^{2 x} + cln 5 \overset{x - 1}{⟹} 5^{- y} = - \frac{1}{2} 5^{2 x} - cln 5 \Rightarrow 5^{- y} = - \frac{1}{2} 5^{2 x} + c_{1} (c_{1} = - c \ln 5 (حيث)) \end{aligned}$

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{'} - x \sqrt{y} = 0$ عندما $y = 9, x = 2$

$\begin{aligned} y^{'} - x \sqrt{y} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} - x y^{\frac{1}{2}} = 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x y^{\frac{1}{2}} \Rightarrow d y = x (y)^{\frac{1}{2}} d x \overset{(\div y^{\frac{1}{2}})}{=} \frac{d y}{y^{\frac{1}{2}}} = x d x \\ y^{- \frac{1}{2}} d y = x d x \Rightarrow \int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int x d x \Rightarrow \frac{y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{x^{2}}{2} + c \Rightarrow 2 \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{2} + c \end{aligned}$

نعوض $y = 9, x = 2$ فينتج:

$\begin{aligned} 2 \sqrt{9} = \frac{(2)^{2}}{2} + c \Rightarrow 6 = 2 + c \Rightarrow c = 4 \\ 2 \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{2} + 4 \overset{\div 2}{\Rightarrow} \sqrt{y} = \frac{x^{2}}{4} + 2 \overset{(بالتربيع)}{⟹} y = {(\frac{1}{4} x^{2} + 2)}^{2} \end{aligned}$

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $(x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y$

$\begin{aligned} (x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y \Rightarrow (x + 1) d y = 2 y d x \Rightarrow \frac{d y}{2 y} = \frac{d x}{x + 1} \Rightarrow \frac{d y}{y} = 2 \frac{d x}{x + 1} \\ \int \frac{d y}{y} = 2 \int \frac{d x}{x + 1} \Rightarrow \ln | y | = 2 \ln | x + 1 | + c \Rightarrow \ln | y | = \ln (x + 1)^{2} + c \\ \ln | y | - \ln (x + 1)^{2} = c \Rightarrow \ln \frac{| y |}{(x + 1)^{2}} = c \overset{(للطرفين e نأخذ)}{=} \frac{| y |}{(x + 1)^{2}} = e^{c} \\ | y | = e^{c} (x + 1)^{2} \Rightarrow y = \pm c_{1} (x + 1)^{2} (c_{1} = e^{c} (حيث)) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

أولاً: المعادلات التي تنفصل متغيراتها:

(1)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

(2)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y}$

(3)- حل المعادلة $d y = \sin x \cos^{2} y d x$ حيث $y \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}, (\cos y \neq 0)$

(4)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = e^{2 x + y}$ عندما $x = 0, y = 0$

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = \sin^{2} x \sin^{2} y$

(6)- جد حلاً للمعادلة $\frac{d y}{d x} = 5^{2 x + y}$

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{'} - x \sqrt{y} = 0$ عندما $y = 9, x = 2$

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $(x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

أولاً: المعادلات التي تنفصل متغيراتها:

(1)- حل المعادلة dydx=2x+5

(2)- حل المعادلة dydx=x−1y

(3)- حل المعادلة dy=sin⁡xcos2⁡ydxحيث y≠(2n+1)π2,(cos⁡y≠0)

(4)- حل المعادلة dydx=e2x+y عندما x=0,y=0

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية dydx=sin2⁡xsin2⁡y

(6)- جد حلاً للمعادلة dydx=52x+y

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية y′−xy=0 عندما y=9,x=2

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: (x+1)dydx=2y

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المعادلات التفاضلية الاعتيادية من المرتبة الأولى والدرجة الأولى

النقاشات

(1)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = 2 x + 5$

(2)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y}$

(3)- حل المعادلة $d y = \sin x \cos^{2} y d x$ حيث $y \neq (2 n + 1) \frac{π}{2}, (\cos y \neq 0)$

(4)- حل المعادلة $\frac{d y}{d x} = e^{2 x + y}$ عندما $x = 0, y = 0$

(5)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = \sin^{2} x \sin^{2} y$

(6)- جد حلاً للمعادلة $\frac{d y}{d x} = 5^{2 x + y}$

(7)- جد حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{'} - x \sqrt{y} = 0$ عندما $y = 9, x = 2$

(8)- جد الحل العام للمعادلة التفاضلية: $(x + 1) \frac{d y}{d x} = 2 y$