حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

إن حل المعاملة التفاضلية الاعتيادية هو علاقة بين $y, x$ تحقق المعادلة غير أن الحل العام لأي معادلة تفاضلية هو الحل المشتمل على عدد من الثوابت الاختيارية مساوٍ لرتبة المعادلة فإذا كانت المعادلة من الرتبة الأولى وجب أن يكون حلها مشتملاً على ثابت اختياري واحد (هو ثابت التكامل) الذي يظهر عند إجراء خطوة التكامل الوحيدة لمعادلات الرتبة الأولى، أما إذا كانت المعادلة من الرتبة الثانية وجب أن يكون حلها مشتملاً على (ثابتي التكامل) نظراً لإجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا بالنسبة للمعادلات التي لها رتبة أعلى.

1- أثبت أن $y = x \ln x - x$ أحد حلول المعادلة $x \frac{d y}{d x} = x + y, x > 0$

$y = x \ln x - x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{x}) + \ln x (1) - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 1 + \ln x - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \ln x L.H.S = x \frac{d y}{d x} = x \ln x R.H.S = x + y = x + x \ln x - x = x \ln x L.H.S = R . H . S$

الدالة المعطاة هي أحد الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية أعلاه.

2- بين أن $\ln y^{2} = x + a, a \in R$ حلاً للمعادلة $2 y^{'} - y = 0$ .

$\ln y^{2} = x + a \Rightarrow 2 \ln y = x + a \Rightarrow 2 (\frac{y^{'}}{y}) = 1 \Rightarrow 2 y^{'} = y \Rightarrow 2 y^{'} - y = 0$

$\ln y^{2} = x + a$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

3- هل $y = x^{3} + x - 2$ حلاً للمعادلة التفاضلية $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

$y = x^{3} + x - 2 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 1 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

$y = x^{3} + x - 2$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

4- هل إن $y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ هو حلاً للمعادلة $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

$\begin{aligned} y^{2} = 3 x^{2} + x^{3} \Rightarrow 2 y y^{'} = 6 x + 3 x^{2} \Rightarrow [2 y (y^{''}) + y^{'} (2) y^{'} = 6 + 6 x] \div 2 \\ y (y^{''}) + {(y^{'})}^{2} = 3 + 3 x = L.H.S \Rightarrow y (y^{''}) + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 3 \neq R. H.S \end{aligned}$

$y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ لیست حل للمعادلة أعلاه.

5- برهن أن $y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ .

$\begin{aligned} y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x \dots \dots \dots (1) \\ y^{'} = - 3 \sin 2 x (2) + 2 \cos 2 x (2) = - 6 \sin 2 x + 4 \cos 2 x \\ y^{''} = - 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x \dots \dots . (2) \end{aligned}$

بالتعويض عن (1) و (2) في الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية ينتج:

$L . H . S = (- 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x) + 4 (3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x) = - 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x + 12 \cos 2 x + 8 \sin 2 x = 0 = R \cdot H \cdot S$

$y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هي حل للمعادلة أعلاه.

6- بين أن $y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} - 6 y = 0$ .

$y = e^{2 x} + e^{- 3 x} \Rightarrow y^{'} = 2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x} \Rightarrow y^{''} = 4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x} L.H.S = y^{''} + y^{'} - 6 y \begin{aligned} = (4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x}) + (2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x}) - 6 (e^{2 x} + e^{- 3 x}) \\ = 4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x} - 6 e^{2 x} - 6 e^{- 3 x} = 0 = R \cdot H \cdot S \end{aligned}$

$y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هي حل للمعادلة أعلاه.

7- هل إن المعادلة $y = 3 e^{- 2 x}$ هي حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} = 2 y$ ؟

$\begin{aligned} y = 3 e^{- 2 x} \\ y^{'} = 3 e^{- 2 x} (- 2) = - 6 e^{- 2 x} (الأولى المشتقة نجد) \\ y^{''} = 12 e^{- 2 x} (الثانية المشتقة نجد) \\ L. H.S = y^{''} + y^{'} = 12 e^{- 2 x} + (- 6 e^{- 2 x}) = 6 e^{- 2 x} \\ R. H.S = 2 y = 2 (3 e^{- 2 x}) = 6 e^{- 2 x} \\ L. H.S = R.H.S \end{aligned}$

$y = 3 e^{- 2 x}$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

8- هل العلاقة $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حلا للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ ؟

لدينا $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

$\begin{aligned} y = \cos 2 x \Rightarrow y^{'} = - 2 \sin 2 x \\ y^{''} = - 2 (\cos 2 x (2)) = - 4 \cos 2 x \\ L.H.S. = y^{''} + 4 y = - 4 \cos 2 x + 4 \cos 2 x = 0 \end{aligned}$

$y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حل المعادلة التفاضلية أعلاه.

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

1- أثبت أن $y = x \ln x - x$ أحد حلول المعادلة $x \frac{d y}{d x} = x + y, x > 0$

2- بين أن $\ln y^{2} = x + a, a \in R$ حلاً للمعادلة $2 y^{'} - y = 0$ .

3- هل $y = x^{3} + x - 2$ حلاً للمعادلة التفاضلية $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

4- هل إن $y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ هو حلاً للمعادلة $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

5- برهن أن $y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ .

6- بين أن $y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} - 6 y = 0$ .

7- هل إن المعادلة $y = 3 e^{- 2 x}$ هي حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} = 2 y$ ؟

8- هل العلاقة $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حلا للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ ؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

1- أثبت أن y=xln⁡x−x أحد حلول المعادلة xdydx=x+y , x>0

2- بين أن ln⁡y2=x+a,a∈R حلاً للمعادلة 2y′−y=0.

3- هل y=x3+x−2 حلاً للمعادلة التفاضلية yy′′+(y′)2−3x=5؟

4- هل إن y2=3x2+x3 هو حلاً للمعادلة yy′′+(y′)2−3x=5؟

5- برهن أن y=3cos⁡2x+2sin⁡2x هو حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+4y=0.

6- بين أن y=e2x+e−3x هو حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+y′−6y=0.

7- هل إن المعادلة y=3e−2x هي حلاً للمعادلة التفاضلية y′′+y′=2y؟

8- هل العلاقة y=cos2⁡x−sin2⁡x هي حلا للمعادلة التفاضلية y′′+4y=0؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

النقاشات

1- أثبت أن $y = x \ln x - x$ أحد حلول المعادلة $x \frac{d y}{d x} = x + y, x > 0$

2- بين أن $\ln y^{2} = x + a, a \in R$ حلاً للمعادلة $2 y^{'} - y = 0$ .

3- هل $y = x^{3} + x - 2$ حلاً للمعادلة التفاضلية $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

4- هل إن $y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ هو حلاً للمعادلة $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

5- برهن أن $y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ .

6- بين أن $y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} - 6 y = 0$ .

7- هل إن المعادلة $y = 3 e^{- 2 x}$ هي حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} = 2 y$ ؟

8- هل العلاقة $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حلا للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ ؟