للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (5-3)

ارسم باستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال الآتية:

$f (x) = 10 - 3 x - x^{2}$

أوسع مجال للدالة = R
نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = 10 - 0 - 0 = 10 \dot{0} (0, 10) \\ y = 0 \Rightarrow 10 - 3 x - x^{2} = 0 \\ x^{2} + 3 x - 10 = 0 \Rightarrow (x + 5) (x - 2) = 0 \Rightarrow x = - 5, x = 2 \end{aligned}$

نقط التقاطع $(2, 0), (- 5, 0), (0, 10)$

التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

$\begin{aligned} f (- x) = 10 + 3 x - x^{2} \\ f (x) = 10 - 3 x - x^{2} \\ f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x) \end{aligned}$

المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = - 3 - 2 x \\ - 3 - 2 x = 0 \Rightarrow 2 x = - 3 \Rightarrow x = \frac{- 3}{2} \\ f (\frac{- 3}{2}) = 10 - 3 (\frac{- 3}{2}) - \frac{9}{4} \Rightarrow 10 + \frac{9}{2} - \frac{9}{4} = \frac{40 + 18 - 9}{4} = \frac{49}{4} \end{aligned}$

النقطة $(\frac{- 3}{2}, \frac{49}{4})$ نقطة نهاية عظمى محلية.

متزايدة ${\forall x : x < - \frac{3}{2}}$
متناقصة ${\forall x : x > - \frac{3}{2}}$

الشكل

$∴ f'' (x) = - 2$ الدالة محدبة دائماً مهما تكن قيمة $x$ ولا توجد نقطة انقلاب.

الرسم البياني:

0	$\frac{- 3}{2}$	5-	2	$x$
10	$\frac{49}{4}$	0	0	$y$
$(0, 10)$	$(\frac{- 3}{2}, \frac{49}{4})$	$(- 5, 0)$	$(2, 0)$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = x^{2} + 4 x + 3$

أوسع مجال للدالة = R
نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = 0 - 0 + 3 = 3 \Rightarrow (0, 3) \\ y = 0 \Rightarrow 0 = x^{2} + 4 x + 3 \Rightarrow (x + 3) (x + 1) = 0 \\ x = - 3, x = - 1 \end{aligned}$

فإن $(- 1, 0), (- 3, 0)$

نقط التقاطع $(2, 0), (- 5, 0), (0, 10)$

التناظر: $f (- x) \neq f (x), f (- x) \neq - f (x) f (- x) = x^{2} - 4 x + 3$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = 2 x + 4 \\ 2 x + 4 = 0 \Rightarrow 2 x = - 4 \Rightarrow x = - 2 \\ f (- 2) = (- 2)^{2} + 4 (- 2) + 3 \Rightarrow 4 - 8 + 3 = - 1 \end{aligned}$

$(- 2, - 1)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

متزايدة ${\forall x : x > - 2}$
متناقصة ${\forall x : x < - 2}$

الشكل

مناطق التقعر والتحدب.

الدالة مقعرة ولا توجد نقطة انقلاب $∴ f'' (x) = 2$

الرسم البياني:

1	0	1-	2-	3-	$x$
8	3	0	1-	0	$y$
$(1, 8)$	$(0, 3)$	$(- 1, 0)$	$(- 2, - 1)$	$(- 3, 0)$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = (1 - x)^{3} + 1$

أوسع مجال للدالة = R
نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = (1 - 0)^{3} + 1 = 2 ∴ (0, 2) \\ y = 0 \Rightarrow (1 - x)^{3} + 1 = 0 \Rightarrow (1 - x)^{3} = - 1 \Rightarrow 1 - x = - 1 \Rightarrow x = 2 ∴ (2, 0) \end{aligned}$

التناظر: $f (- x) = (1 - (- x))^{3} + 1 = (1 + x)^{3} + 1$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل $f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x)$

المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = 3 (1 - x)^{2} \cdot (- 1) = - 3 (1 - x)^{2} (f (x) = 0 (نجعل)) \\ - 3 (1 - x)^{2} = 0 \overset{\div - 3}{⟹} (1 - x)^{2} = 0 \overset{الطرفين نجذر}{=} 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1 \\ f (x) = (1 - x)^{3} + 1 \Rightarrow f (1) = (1 - 1)^{3} + 1 \Rightarrow y = 0 + 1 = 1 \end{aligned}$

$(1, 1)$ نقطة حرجة $f (x) = (1 - x)^{3} + 1 \Rightarrow f (1) = (1 - 1)^{3} + 1 \Rightarrow y = 0 + 1 = 1$

$f (x)$ متناقصة ${\forall x : x < 1}, {\forall x : x > 1}$

الشكل

$f'' (x) = - 6 (1 - x) \cdot (- 1) \Rightarrow f'' (x) = 6 (1 - x) (f'' (x) = 0 (نجعل)) \begin{aligned} 6 (1 - x) = 0 \Rightarrow 6 x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = (1 - 1)^{3} + 1 = 1 \end{aligned}$

نقطة انقلاب مرشحة $(1, 1)$

مقعرة ${\forall x : x < 1}$
محدبة ${\forall x : x > 1}$

الشكل

الرسم البياني:

1-	1	0	2	$x$
9	1	2	0	$y$
$(- 1, 9)$	$(1, 1)$	$(0, 2)$	$(2, 0)$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = 6 x - x^{3}$

أوسع مجال للدالة = R
نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = 0 - 0 = 0 (0, 0) \\ y = 0 \Rightarrow 6 x - x^{3} = 0 \Rightarrow x (6 - x^{2}) = 0 \end{aligned} \begin{aligned} (إما) x = 0 \\ (أو) 6 - x^{2} \Rightarrow x^{2} = 6 \Rightarrow x = \pm \sqrt{6} \end{aligned}$

نقط التقاطع $(0, 0), (\sqrt{6}, 0), (- \sqrt{6}, 0)$

التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.

$f (- x) = 6 (- x) - (- x)^{3} \Rightarrow f (- x) = - 6 x + x^{3} \Rightarrow f (- x) = - (6 x - x^{3}) f (- x) = - f (x), f (- x) \neq f (x)$

الدالة متناظرة حول نقطة الأصل ولا يوجد تناظر حول محور الصادات.

المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة غير نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{array}{cc} f' (x) = 6 - 3 x^{2} & (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 - 3 x^{2} = 0 \Rightarrow & - 3 x^{2} = - 6 \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2} \end{array}$

نقطة نهاية عظمى $f (\sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} - (\sqrt{2})^{3} \Rightarrow y = 6 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} (\sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$
نقطة نهاية صغرى $f (- \sqrt{2}) = 6 (- \sqrt{2}) - (- \sqrt{2})^{3} \Rightarrow - 6 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = - 4 \sqrt{2} (- \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2})$
$f (x)$ متزايدة في $(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$
$f (x)$ متناقصة في ${x : x < - \sqrt{2}}, {x : x > \sqrt{2}}$

الشكل

$f'' (x) = - 6 x (f'' (x) = 0 (نجعل)) - 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = 0$

$(0, 0)$ نقطة انقلاب.

$f (x)$ مقعرة ${x : x < 0}$
$f (x)$ محدبة ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$\sqrt{2}$	$- \sqrt{2}$	$\sqrt{6}$	$- \sqrt{6}$	0	$x$
$4 \sqrt{2}$	$- 4 \sqrt{2}$	0	0	0	$y$
$(\sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$	$(- \sqrt{2}, - 4 \sqrt{2})$	$(\sqrt{6}, 0)$	$(- \sqrt{6}, 0)$	$(0, 0)$	$(x, y)$

الشكل

ملاحظة: التحدب بقدر التقعر في الرسم لأن التناظر حول نقطة الأصل.

$f (x) = \frac{1}{x}$

أوسع مجال للدالة = $R / {0}$
التقاطع مع المحورين:

$x \neq 0$ لأن $\frac{1}{0}$ غير معرفة لا توجد نقاط تقاطع مع محور الصادات.

$y \neq 0$ لأن $0 \neq 1$ لا توجد نقاط تقاطع مع محور السينات.

التناظر: $f (- x) = - f (x), f (- x) = - (\frac{1}{x})$ التناظر مع نقطة الأصل.
المحاذيات:

المستقيم المحاذي الشاقولي $x = 0$
المستقيم المحاذي الأفقي $f (x) = \frac{1}{x} \Rightarrow y = \frac{0}{1} \Rightarrow y = 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f (x) = x^{- 1} \Rightarrow f' (x) = - x^{- 2} = \frac{- 1}{x^{2}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 0 = \frac{- 1}{x^{2}} \Rightarrow - 1 = 0 (ممكن غير) \end{aligned}$

توجد فجوة ولا توجد نقاط حرجة.

الدالة متناقصة بالفترتين ${x : x \in R, x > 0}, {x : x \in R, x < 0}$

الشكل

$f'' (x) = 2 x^{- 3} (f'' (x) = 0 (نجعل)) 0 = \frac{2}{x^{3}} \Rightarrow 0 = 2 (ممكن غير)$

لا توجد نقاط انقلاب.

محدبة ${\forall x : x < 0}$
مقعرة ${\forall x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

2	1	0	1-	2-	$x$
$\frac{1}{2}$	1	فجوة	1-	$- \frac{1}{2}$	$y$
$(2, \frac{1}{2})$	$(1, 1)$	$(x, y)$	$(- 1, - 1)$	$(- 2, - \frac{1}{2})$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

أوسع مجال للدالة = $R / {- 1}$
التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = \frac{0 - 1}{0 + 1} \Rightarrow y = - 1, (0, - 1) \\ y = 0 \Rightarrow 0 = \frac{x - 1}{x + 1} \Rightarrow x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$

التناظر: لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = \frac{- x - 1}{- x + 1} f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x)$

المحاذيات:

المحاذي الشاقولي $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1$
المحاذي الأفقي $y = \frac{1}{1} \Rightarrow y = 1$

مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f (x) = x^{- 1} \Rightarrow f' (x) = - x^{- 2} = \frac{- 1}{x^{2}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 0 = \frac{- 1}{x^{2}} \Rightarrow - 1 = 0 (ممكن غير) \end{aligned}$

لا توجد نقاط حرجة.

تزايد ${\forall x : - 1 < x < - 1}$

الشكل

$f' (x) = 2 (x + 1)^{- 2} \Rightarrow f'' (x) = - 4 (x + 1)^{- 3} 0 \neq \frac{- 4}{(x + 1)^{3}} (ممكن غير)$

$f$ محدبة في ${x : x > - 1}$
$f$ مقعرة في ${x : x < - 1}$

الشكل

الرسم البياني:

2-	2	1	0	$x$
3	$\frac{1}{3}$	0	1-	$y$
$(- 2, 3)$	$(2, \frac{1}{3})$	$(1, 0)$	$(0, - 1)$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = (x + 2) (x - 1)^{2}$

أوسع مجال للدالة = $R$
التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = (0 + 2) (0 - 1)^{2} = 2 (1) \Rightarrow y = 2 (0, 2) \\ y = 0 \Rightarrow 0 = (x + 2) (x - 1)^{2} \\ either x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 \\ or (x - 1)^{2} = 0 \Rightarrow x = 1 (1, 0), (- 2, 0) \end{aligned}$

التناظر: $f (- x) = (- x + 2) (- x - 1)^{2}$ لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل.
المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f (x) = (x + 2) \cdot 2 (x - 1) + (x - 1)^{2} \cdot 1 (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ \begin{aligned} (x + 2) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) = 0 \\ 2 x^{2} - 2 x + 4 x - 4 + x^{2} - 2 x + 1 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 x - 4 + x^{2} - 2 x + 1 = 0 \\ 3 x^{2} - 3 = 0 \\ 3 (x^{2} - 1) = 0 \overset{\div 3}{\Rightarrow} x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \end{aligned} \end{aligned}$

$(1, 0)$ نقطة حرجة وتمثل نهاية صغرى.
$(- 1, 4)$ نقطة حرجة وتمثل نهاية عظمى.

$\begin{aligned} f (1) = (1 + 2) (1 - 1)^{2} = 0 \Rightarrow y = 0 \\ f (- 1) = (- 1 + 2) (- 1 - 1)^{2} = 4 \Rightarrow y = 4 \end{aligned}$

$f (x)$ متزايدة في ${x : x > 1}, {x : x < - 1}$
$f (x)$ متناقصة في الفترة المفتوحة $(- 1, 1)$

الشكل

$f' (x) = 3 (x^{2} - 1) \begin{aligned} f'' (x) = 3 (2 x) (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \\ f (0) = (0 + 2) (0 - 1)^{2} ∴ y = 2 \end{aligned}$

$(0, 2)$ نقطة انقلاب.

$f (x)$ محدبة في ${x : x < 0}$
$f (x)$ مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

1-	2-	1	0	$x$
4	0	0	2	$y$
$(- 1, 4)$	$(- 2, 0)$	$(1, 0)$	$(0, 2)$	$(x, y)$

الشكل

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

أوسع مجال للدالة = $R$ لأن $x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1 \notin R$
التقاطع مع المحورين:

$0 = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \begin{aligned} x^{2} - 1 = 0, x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1, (- 1, 0), (1, 0) \\ x = 0 \Rightarrow y = - 1, (0, - 1) \end{aligned}$

التناظر: $f (- x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} = f (x)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f (- x) = f (x)$
المحاذيات:

لا يوجد مستقيم شاقولي $x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1$

المحاذي الأفقي $y = \frac{1}{1} = 1$

مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \cdot 2 x - (x^{2} - 1) \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0 \Rightarrow 4 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow y = - 1 \end{aligned}$

نقطة نهاية صغرى $(0, - 1)$

$f (x)$ متزايدة في ${x : x > 0}$
$f (x)$ متناقصة في ${x : x < 0}$

الشكل

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 4 - 4 x \cdot 2 (x^{2} + 1) \cdot 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \begin{aligned} f'' (x) = \frac{4 {(x^{2} + 1)}^{2} - 16 x^{2} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) [4 (x^{2} + 1) - 16 x^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \end{aligned} \begin{aligned} f'' (x) = \frac{4 x^{2} + 4 - 16 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ \frac{4 - 12 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = 0 \\ 4 - 12 x^{2} = 0 \Rightarrow 12 x^{2} = 4 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{3} \end{aligned} \begin{aligned} x = + \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow y = \frac{\frac{1}{3} - 1}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{- 2}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{- 2}{4} = \frac{- 1}{2} \Rightarrow (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{- 1}{2}) \\ x = - \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow (\frac{- 1}{\sqrt{3}}, \frac{- 1}{2}) (المرشحة الانقلاب نقطة) \end{aligned}$

$f (x)$ محدبة في ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

$f (x)$ مقعرة في $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

الشكل

الرسم البياني:

$\frac{- 1}{\sqrt{3}}$

\frac{1}{\sqrt{3}}

x

\frac{- 1}{2}

\frac{- 1}{2}

y

(\frac{- 1}{\sqrt{3}}, \frac{- 1}{2})

(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{- 1}{2})

(0, - 1)

(1, 0)

(- 1, 0)

(x, y)

الشكل

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

أوسع مجال للدالة = $R$
التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = 0 - 0 = 0, (0, 0) \\ y = 0 \Rightarrow 2 x^{2} - x^{4} = 0 \\ 2 x^{2} = x^{4} \Rightarrow x^{2} = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, (\mp \sqrt{2}, 0) \end{aligned}$

التناظر: $f (- x) = 2 x^{2} - x^{4} = f (x)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f (- x) = f (x)$
المحاذيات: لا يوجد مستقيمات محاذية لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = 4 x - 4 x^{3} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 4 x - 4 x^{3} = 0 \Rightarrow x - x^{3} = 0 \Rightarrow x (1 - x^{2}) = 0 \\ either x = 0 \\ or (1 - x^{2}) = 0 \Rightarrow x = \pm 1 \end{aligned} \begin{aligned} f (1) = 2 - 1 = 1 \Rightarrow y = 1 \\ f (- 1) = 2 - 1 = 1 \Rightarrow y = 1 \\ f (0) = 0 - 0 = 1 \Rightarrow y = 0 \end{aligned}$

$(1, 1)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
$(- 1, 1)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
$(0, 0)$ نقطة نهاية صغرى.
$f (x)$ متزايدة في ${x : x < - 1}$ والفترة $(0, 1)$
$f (x)$ متناقصة في ${x : x > 1}$ والفترة $(- 1, 0)$

الشكل

$\begin{aligned} f'' (x) = 4 - 12 x^{2} (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 4 - 12 x^{2} = 0 \Rightarrow - 12 x^{2} = - 4 \\ x^{2} = \frac{4}{12} \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} f (\frac{1}{\sqrt{3}}) = 2 {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} - {(\frac{1}{\sqrt{3}})}^{4} = \frac{2}{3} - \frac{1}{9} = \frac{0}{9}, (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{0}{9}) \\ f (\frac{- 1}{\sqrt{n}}) = 2 {(\frac{- 1}{\sqrt{n}})}^{2} - {(\frac{- 1}{\sqrt{n}})}^{4} = \frac{2}{2} - \frac{1}{0} = \frac{5}{0}, (\frac{- 1}{\sqrt{n}}, \frac{5}{0}) \end{aligned}$

النقط $(\frac{- 1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})$ نقط انقلاب مرشحة.

$f (x)$ مقعرة في $(\frac{- 1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

$f (x)$ محدبة في ${x : x < \frac{- 1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

الشكل

الرسم البياني:

$\frac{- 1}{\sqrt{3}}$

\frac{1}{\sqrt{3}}

\pm \sqrt{2}

x

\frac{5}{9}

\frac{5}{9}

y

(\frac{- 1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})

(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{5}{9})

(- 1, 1)

(1, 1)

(\pm \sqrt{2}, 0)

(0, 0)

(x, y)

الشكل

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 3}$

أوسع مجال للدالة = $R$ لأن $x^{2} + 3 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 3 \notin R$
نقاط التقاطع مع المحورين:

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow f (0) = \frac{6}{0 + 3} = 2 \\ \frac{6}{3} = 0 \Rightarrow 0 \neq 6 \end{aligned}$

التناظر: $f (- x) = \frac{6}{x^{2} + 3} = f (x)$ التناظر حول محور الصادات لأن $f (- x) = f (x)$
المحاذيات:

لا يوجد مستقيم شاقولي $x^{2} + 3 \neq 0$

المحاذي الأفقي $y = \frac{0}{1} \Rightarrow y = 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = \frac{(x^{2} + 3) 0 - (6) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ \frac{- 12 x}{{(x^{2} + 3)}^{2}} = 0 \Rightarrow - 12 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f (0) = 2 \Rightarrow y = 2 \end{aligned}$

النقطة $(0, 2)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

$f (x)$ متزايدة بالفترة ${x : x \in R, x < 0}$
$f (x)$ متناقصة بالفترة ${x : x \in R, x > 0}$

الشكل

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 3)}^{2} (- 12) - [- (12 x) 2 (x^{2} + 3) (2 x)]}{{(x^{2} + 3)}^{4}} \begin{aligned} f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{2} + 3)}^{2} + 48 x^{2} (x^{2} + 3)}{{(x^{2} + 3)}^{4}} = \frac{(x^{2} + 3) [- 12 (x^{2} + 3) + 48 x^{2}]}{{(x^{2} + 3)}^{4}} \end{aligned} \begin{array}{ll} f'' (x) = \frac{36 x^{2} - 36}{{(x^{2} + 3)}^{3}} = 0 (f'' (x) = 0 (نجعل)) \end{array} \begin{aligned} 36 x^{2} - 36 = 0 \overset{\div 36}{⟹} x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \\ x = 1 \Rightarrow f (1) = y = \frac{6}{(1)^{2} + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \\ x = - 1 \Rightarrow f (- 1) = y = \frac{6}{(- 1)^{2} + 3} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \end{aligned}$

النقاط $(- 1, \frac{3}{2}), (1, \frac{3}{2})$ نقاط انقلاب.

$f (x)$ مقعرة في ${x : x < - 1}, {x : x > 1}$
$f (x)$ محدبة في الفترة $(- 1, 1)$

الشكل

الرسم البياني:

0	1	1-	$x$
2	$\frac{3}{2}$	$\frac{3}{2}$	$y$
$(0, 2)$	$(1, \frac{3}{2})$	$(- 1, \frac{3}{2})$	$(x, y)$

الشكل

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-3)

ارسم باستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال الآتية:

$f (x) = 10 - 3 x - x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 3$

$f (x) = (1 - x)^{3} + 1$

$f (x) = 6 x - x^{3}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x) = (x + 2) (x - 1)^{2}$

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 3}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج1

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج2

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج3

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-3)

ارسم باستخدام معلوماتك في التفاضل الدوال الآتية:

f(x)=10−3x−x2

f(x)=x2+4x+3

f(x)=(1−x)3+1

f(x)=6x−x3

f(x)=1x

f(x)=x−1x+1

f(x)=(x+2)(x−1)2

f(x)=x2−1x2+1

f(x)=2x2−x4

f(x)=6x2+3

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج1

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج2

فيديو شرح درس تمارين (5-3) ج3

النقاشات

$f (x) = 10 - 3 x - x^{2}$

$f (x) = x^{2} + 4 x + 3$

$f (x) = (1 - x)^{3} + 1$

$f (x) = 6 x - x^{3}$

$f (x) = \frac{1}{x}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x) = (x + 2) (x - 1)^{2}$

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

$f (x) = 2 x^{2} - x^{4}$

$f (x) = \frac{6}{x^{2} + 3}$