للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة

(1)- جد نقطة على الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 x = 4$ يكون عندها معدل ازدياد $y$ مساوياً لمعدل ازدياد $x$

معدل التغير الزمني ل $x$ = $\frac{d x}{d t}$
معدل التغير الزمني ل $y$ = $\frac{d y}{d t}$

$\frac{d y}{d t} = \frac{d x}{d t}$

$\begin{aligned} x^{2} + y^{2} - 4 x = 4 \dots \dots . (1) \\ 2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} - 4 \frac{d x}{d t} = 0 (\frac{d y}{d t} = \frac{d x}{d t} نضع) \end{aligned} \begin{aligned} [2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d x}{d t} - 4 \frac{d x}{d t} = 0] \div 2 \\ \frac{d x}{d t} [x + y - 2 = 0] \Rightarrow \frac{d x}{d t} = 0 \\ ∴ x + y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2 - x \dots \dots \dots (2) ((1) الدائرة معادلة في نعوض) \\ x^{2} + (2 - x)^{2} - 4 x = 4 \Rightarrow x^{2} + 4 - 4 x + x^{2} - 4 x = 4 \\ 2 x^{2} - 8 x = 0] \div 2 \Rightarrow x^{2} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x - 4) = 0 \\ (إما) x = 0 \Rightarrow y = 2 - 0 \Rightarrow y = 2 \\ (0, 2) (النقطة) \\ x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \Rightarrow y = 2 - 4 \Rightarrow y = - 2 \\ (4, - 2) (النقطة) \end{aligned}$

(2)- سيارة تسير بسرعة $(30 m / s)$ اجتازت إشارة مرورية حمراء ارتفاعها $(3 m)$ عن سطح الأرض وبعد أن ابتعدت عنها مسافة $(3 \sqrt{3} m)$ اصطدمت بسيارة أخرى نتيجة عدم الالتزام بقوانين المرور جد سرعة تغير المسافة بين السيارة والإشارة الضوئية.

معدل سرعة السيارة = $\frac{d x}{d t} = 30 m / s$
معدل تغير المسافة بين السيارة والإشارة = $\frac{d y}{d t}$

$y = 3 \sqrt{3} m$

$\begin{aligned} y^{2} = x^{2} + 9 \\ (3 \sqrt{3})^{2} = x^{2} + 9 \Rightarrow 27 = x^{2} + 9 \\ x^{2} = 18 \Rightarrow x = 3 \sqrt{2} \\ [2 y \frac{d y}{d t} = 2 x \frac{d x}{d t}] \div 2 \\ 3 \sqrt{3} \frac{d y}{d t} = 3 \sqrt{2} (30) \Rightarrow∴ \frac{d y}{d t} = \frac{30 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} m / s \end{aligned}$

الشكل

(3)- أسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل $(0.5 cm / s)$ بحيث يظل حجمها دائماً مساوياً $(320 π {cm}^{3})$ جد معدل تغير نصف قطر القاعدة عندما يكون الارتفاع $5 cm$

الحجم = $v = 320 π {cm}^{3}$
الارتفاع = $h = 5 cm$

معدل تغير نصف القطر = $\frac{d r}{d t}$
معدل تغير الارتفاع = $\frac{d h}{d t} = 0.5 cm / s$

$\begin{aligned} v = π r^{2} h \Rightarrow 320 π = π r^{2} h \Rightarrow 320 = r^{2} h (العلاقة) \\ 320 = (5) r^{2} \Rightarrow r^{2} = 64 \Rightarrow r = 8 cm \\ 320 = r^{2} h \overset{(نشتق)}{⟹} = r^{2} \frac{d h}{d t} + h \cdot 2 r \cdot \frac{d r}{d t} \end{aligned} \begin{aligned} (8)^{2} \cdot (0.5) + 5 \cdot (2 \times 8) \cdot \frac{d r}{d t} = 0 \Rightarrow 64 \cdot (0.5) + 5 \cdot (16) \cdot \frac{d r}{d t} = 0 \Rightarrow 32 + 80 \frac{d r}{d t} = 0 \\ 80 \frac{d r}{d t} = - 32 \Rightarrow \frac{d r}{d t} = \frac{- 32}{80} = \frac{- 2}{5} cm / s \end{aligned}$

الشكل

(4)- طريقان متعامدان يلتقيان في $m$ . تحركت سيارتان من نقطة $m$ كل منهما في طريق وكان معدل سرعة السيارة الأولى $80 km / h$ ومعدل سرعة السيارة الثانية $60 km / h$ ، جد معدل الابتعاد بين السيارتين بعد ربع ساعة من بدء الحركة من $m$

معدل تغير السيارة الأولى = $\frac{d x}{d t} = 80 km ∖ h$
معدل تغير السيارة الثانية = $\frac{d y}{d t} = 60 km ∖ h$
معدل الابتعاد بين السيارتين = $\frac{d z}{d t}$

السرعة = $\frac{المسافة}{الزمن}$

المسافة = السرعة × الزمن
المسافة التي قطعتها السيارة الأولى بعد ربع ساعة $(x)$ = $20 km = 80 \times \frac{1}{4}$
المسافة التي قطعتها السيارة الأولى بعد ربع ساعة $(y)$ = $15 km = 60 \times \frac{1}{4}$

$\begin{aligned} z^{2} = x^{2} + y^{2} (فيثاغورس) x = 20, y = 15 \\ z^{2} = (20)^{2} + (15)^{2} = 400 + 225 = 625 \Rightarrow z^{2} = 625 \Rightarrow z = 25 \end{aligned} \begin{aligned} 2 z \cdot \frac{d z}{d t} = 2 x \cdot \frac{d x}{d t} + 2 y \cdot \frac{d y}{d t}] \div 2 \\ z \cdot \frac{d z}{d t} = x \cdot \frac{d x}{d t} + y \cdot \frac{d y}{d t} \end{aligned} \begin{aligned} 25 \frac{d z}{d t} = 20 (80) + 15 (60) \\ 25 \frac{d z}{d t} = 1600 + 900 \Rightarrow 25 \frac{d z}{d t} = 2500 \Rightarrow \frac{d z}{d t} = \frac{2500}{25} = 100 km ∖ h \end{aligned}$

الشكل

(5)- سلم طوله $(13 m)$ يرتكز على حائط شاقولي، فإذا كان تحرك الطرف الأسفل للسلم مبتعداً عن الحائط بمعدل $4 m / s$ جد معدل انزلاق الطرف الأعلى للسلم عن الأرض في اللحظة التي يكون فيها الطرف الأسفل على بعد $5 m$ من الحائط

بعد السلم عن الحائط = $x$
بعد السلم عن الأرض = $y$

معدل تغير الطرف الأسفل عن الحائط = $\frac{d x}{d t} = 4 m / s$
معدل تغير الطرف العلوي عن الأرض = $\frac{d y}{d t}$

$x^{2} + y^{2} = 169 \Rightarrow 25 + y^{2} = 169 \Rightarrow y^{2} = 144 \Rightarrow y = 12 \begin{aligned} m 2 x \frac{d x}{d t} + 2 y \frac{d y}{d t} = 0] \div 2 \\ x \frac{d x}{d t} + y \frac{d y}{d t} = 0 \Rightarrow 5 (4) + 12 \frac{d y}{d t} = 0 \\ 20 + 12 \frac{d y}{d t} = 0 \Rightarrow 12 \frac{d y}{d t} = - 20 \Rightarrow \frac{d y}{d t} = \frac{- 20}{12} \Rightarrow \frac{d y}{d t} = \frac{- 5}{3} m / s \end{aligned}$

الشكل

(6)- يراد ملئ خزان على شكل مخروط دائري قائم رأسه إلى الأسفل، طول نصف قطر قاعدته يساوي $(5 m)$ والارتفاع يساوي $(10 m)$ فإذا كان معدل ملئ الماء $2 m^{3} / \min$ ، جد سرعة ارتفاع الماء عندما يكون ارتفاع الماء يساوي $(6 m)$

نصف قطر المخروط = $r$
الارتفاع = $h$
الحجم = $v$

معدل الحجم (ملئ الماء) = $\frac{d y}{d t}$
معدل الارتفاع = $\frac{d h}{d t}$

$v = \frac{1}{3} π r^{2} h \begin{aligned} \tan θ = \frac{r}{h} = \frac{5}{10} \Rightarrow \frac{r}{h} = \frac{1}{2} (الكبير المثلث) \\ \tan θ = \frac{r}{h} \Rightarrow \frac{r}{h} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2 r = h \Rightarrow r = \frac{1}{2} h . \dots \dots (2) (الصغير المثلث) \end{aligned}$

نعوض (2) في (1)

$\begin{aligned} v = \frac{1}{3} π {(\frac{1}{2} h)}^{2} h \\ v = \frac{1}{3} π \frac{1}{4} h^{2} . h \Rightarrow v = \frac{π}{12} h^{3} (نشتق) \\ \frac{d v}{d t} = \frac{π}{12} 3 h^{2} \frac{d h}{d t} \Rightarrow 2 = \frac{π}{4} (6)^{2} \frac{d h}{d t} \Rightarrow 2 = \frac{π}{4} (36) \frac{d h}{d t} \\ 2 = 9 π \frac{d h}{d t} \Rightarrow \frac{d h}{d t} = \frac{2}{9 π} m / \min \end{aligned}$

الشكل

(7)- قطعة معدنية على شكل قطع ناقص بمساحة ثابتة تساوي $(60 π)$ وحدة مربعة فإذا ازداد طول محوره الأصغر بمعدل $(0.2)$ وحدة طول/ دقيقة فجد معدل النقصان في طول محوره الأكبر عندما يكون طول محوره الأصغر $(12)$ وحدة طول.

طول المحور الأكبر = $2 a$
طول المحور الأصغر = $2 b$

معدل تغير طول محوره الأكبر = $\frac{d a}{d t}$
معدل تغير طول محوره الأصغر = $\frac{d b}{d t}$

المساحة للقطع الناقص $A = a b π$ علاقة أساسية.

$60 π = a b π \overset{(نشتق)}{\Rightarrow} 0 = a \frac{d b}{d t} π + b π \frac{d a}{d t} \dots \dots (1)$

التغير بالمساحة $\frac{d A}{d t} = 0$ لأن السماحة ثابتة.

$\begin{aligned} 2 b = 12 \Rightarrow b = 6 \\ A = a b π \Rightarrow 60 π = a (6 π) \Rightarrow a = \frac{60 π}{6 π} = 10 ((1) في نعوض) \\ 0 = (10) (0.2) π + 6 π \frac{d a}{d t} \Rightarrow 2 π + 6 π \frac{d a}{d t} = 0 \Rightarrow 6 π \frac{d a}{d t} = - 2 π \\ \frac{d a}{d t} = \frac{- 2 π}{6 π} = \frac{- 1}{3} \end{aligned}$

معدل النقصان في طول محوره الأكبر = $\frac{1}{3}$ وحدة طول / دقيقة.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة

(1)- جد نقطة على الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 x = 4$ يكون عندها معدل ازدياد $y$ مساوياً لمعدل ازدياد $x$

(3)- أسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل $(0.5 cm / s)$ بحيث يظل حجمها دائماً مساوياً $(320 π {cm}^{3})$ جد معدل تغير نصف قطر القاعدة عندما يكون الارتفاع $5 cm$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة ج1

فيديو شرح درس الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة

(1)- جد نقطة على الدائرة التي معادلتها x2+y2−4x=4 يكون عندها معدل ازدياد y مساوياً لمعدل ازدياد x

(3)- أسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل (0.5cm/s) بحيث يظل حجمها دائماً مساوياً (320πcm3) جد معدل تغير نصف قطر القاعدة عندما يكون الارتفاع 5cm

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة ج1

فيديو شرح درس الأسئلة الوزارية حول المعدلات المرتبطة ج2

النقاشات

(1)- جد نقطة على الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 x = 4$ يكون عندها معدل ازدياد $y$ مساوياً لمعدل ازدياد $x$

(3)- أسطوانة دائرية قائمة يزداد ارتفاعها بمعدل $(0.5 cm / s)$ بحيث يظل حجمها دائماً مساوياً $(320 π {cm}^{3})$ جد معدل تغير نصف قطر القاعدة عندما يكون الارتفاع $5 cm$