للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (3-3)

(1)- أوجد قيمة $c$ التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

$f (x) = x^{3} - 9 x, x \in [- 3, 3]$

الدالة مستمرة على $[- 3, 3]$ لأنها كثيرة حدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(- 3, 3)$ لأنها كثيرة حدود.
نجد $f (- 3), f (3)$

$\begin{aligned} f (- 3) = (- 3)^{3} - 9 (- 3) = - 27 + 27 = 0 \\ f (3) = (3)^{3} - 9 (3) = 27 - 27 = 0 \\ f (- 3) = f (3) \end{aligned}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f' (c) = 0$

$\begin{aligned} f' (x) = 3 x^{2} - 9 \\ f' (c) = 3 c^{2} - 9 \\ 3 c^{2} - 9 = 0 \Rightarrow 3 c^{2} = 9 \Rightarrow c^{2} = 3 \Rightarrow c = \mp \sqrt{3} \in (- 3, 3) \end{aligned}$

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x}, x \in [\frac{1}{2}, 2]$

الدالة مستمرة على الفترة $[\frac{1}{2}, 2]$ لأن $0 \notin [\frac{1}{2}, 2]$
الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(\frac{1}{2}, 2)$ لأن $0 \notin (\frac{1}{2}, 2)$
نجد $f (\frac{1}{2}), f (2)$

$\begin{aligned} f (\frac{1}{2}) = 2 (\frac{1}{2}) + \frac{2}{\frac{1}{2}} = 1 + 4 = 5 \\ f (2) = 2 (2) + \frac{2}{2} = 4 + 1 = 5 \\ f (\frac{1}{2}) = f (2) \end{aligned}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f' (c) = 0$

$\begin{aligned} f (x) = 2 x + \frac{2}{x} \Rightarrow f (x) = 2 x + 2 x^{- 1} \\ f' (x) = 2 - 2 x^{- 2} = 2 - \frac{2}{x^{2}} \\ f' (c) = 2 - \frac{2}{c^{2}} \Rightarrow 2 - \frac{2}{c^{2}} = 0 \Rightarrow \frac{2 c^{2} - 2}{c^{2}} = 0 \Rightarrow 2 c^{2} - 2 = 0 \Rightarrow 2 c^{2} = 2 \\ ∴ c^{2} = 1 \Rightarrow∴ c = 1 \in (\frac{1}{2}, 2), c = - 1 \notin (\frac{1}{2}, 2) (السالب نهمل) \end{aligned}$

$f (x) = {(x^{2} - 3)}^{2}, x \in [- 1, 1]$

الدالة مستمرة على $[- 1, 1]$
الدالة قابلة للاشتقاق على $(- 1, 1)$
نجد $f (- 1), f (1)$

$\begin{aligned} f (- 1) = (1 - 3)^{2} = 4 \\ f (1) = (1 - 3)^{2} = 4 \\ f (- 1) = f (1) \end{aligned}$

الدالة تحقق مبرهنة رول نفرض $f' (c) = 0$

$\begin{aligned} f' (x) = 2 (x^{2} - 3) .2 x = 4 x (x^{2} - 3) \\ f (c) = 4 c (c^{2} - 3) \Rightarrow 4 c (c^{2} - 3) = 0 \\ either 4 c = 0 \Rightarrow c = 0 \in (- 1, 1) \\ or c^{2} - 3 = 0 \Rightarrow c^{2} = 3 \Rightarrow c = \mp \sqrt{3} \notin (- 1, 1) \end{aligned}$

(2)- جد تقريباً لكل مما يلي باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة:

$\sqrt{63} + \sqrt[3]{63}$

$\begin{aligned} a = 64 (نفرض) \\ b = 63 \\ h = b - a = 63 - 64 = - 1 \\ f (x) = \sqrt{x} + \sqrt[3]{x} \\ f (64) = \sqrt{64} + \sqrt[3]{64} \Rightarrow f (64) = 8 + 4 = 12 \\ f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \\ f' (64) = \frac{1}{2 \sqrt{64}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{(64)^{2}}} \\ f' (64) = \frac{1}{2 (8)} + \frac{1}{3 (16)} = \frac{1}{16} + \frac{1}{48} = \frac{3 + 1}{48} = \frac{4}{48} = \frac{1}{12} \\ f' (64) = 0.083 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (64 + (- 1)) ≅ f (64) + (- 1) f' (64) ≅ 12 - 0.083 = 11.917 \end{aligned}$

$(1.04)^{3} + 3 (1.04)^{4}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} a = 1 \\ b = 1.04 \\ h = 1.04 - 1 = 0.04 \\ f (x) = x^{3} + 3 x^{4} \\ f (1) = 1 + 3 = 4 \\ f' (x) = 3 x^{2} + 12 x^{3} \\ f' (1) = 3 + 12 = 15 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (1.04) ≅ f (1) + (0.04) (15) ≅ 4 + 0.6 = 4.6 \end{aligned}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} a = 8 \\ b = 9 \\ h = 9 - 8 = 1 \\ f (x) = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{- 1}{3}} \Rightarrow f' (x) = \frac{- 1}{3} x^{\frac{- 4}{3}} = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{x^{4}}} \\ f' (a) = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{a^{4}}} \\ f (8) = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = \frac{1}{2} \\ f' (8) = \frac{- 1}{3 \sqrt[3]{84}} = \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{(2)^{4}} = \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{- 1}{48} \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (8 + 1) ≅ f (8) + (1) f' (8) \\ f (9) ≅ \frac{1}{2} + \frac{- 1}{48} ≅ \frac{1}{2} - \frac{1}{48} ≅ \frac{24 - 1}{48} = \frac{23}{48} = 0.479 \end{aligned}$

$\frac{1}{101}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} a = 100 \\ b = 101 \\ h = 101 - 100 = 1 \\ f (x) = \frac{1}{x} = x^{- 1} \\ f' (x) = - x^{- 2} \\ f (100) = \frac{1}{100} = 0.01 \\ f' (100) = - (100)^{- 2} = \frac{- 1}{(100)^{2}} = \frac{- 1}{10000} = - 0.0001 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (100 + 1) ≅ f (100) + (1) f' (100) \\ f (101) ≅ 0.01 + (- 0.0001) ≅ 0.01 - 0.0001 ≅ 0.0099 \end{aligned}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0 .5} = \sqrt{0 .50}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} a = 0.49 \\ b = 0.50 \\ h = 0.50 - 0.49 = 0.01 \\ f (x) = \sqrt{x} \\ f' (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \\ f (0.49) = \sqrt{0.49} = 0.7 \\ f' (0.49) = \frac{1}{2 \sqrt{0.49}} = \frac{1}{2 (0.7)} = \frac{1}{1.4} = \frac{10}{14} = 0.714 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (0.49 + 0.01) ≅ 0.7 + (0.01) (0.714) \\ f (0.50) ≅ 0.7 + 0.00714 ≅ 0.70714 \end{aligned}$

(3)- كرة نصف قطرها $(6 c m)$ طليت بطلاء سمكه $(0.1 c m)$ جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

حجم كمية الطلاء = حجم الكرة مع الطلاء – حجم الكرة.

$b = 6.1$ وهو يمثل نصف القطر للكرة مضافاً له كمية الطلاء.

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} h = 6.1 - 6 = 0.1 \\ v = \frac{4}{3} π r^{3} \\ v' (x) = \frac{4}{3} π 3 x^{2} = 4 π x^{2} \\ v' (a) = 4 π a^{2} \\ v' (6) = 4 π (6)^{2} = 144 π \\ h v' (a) = (0.1) (144 π) = 14.4 π (تقريبية بصورة الطلاء كمية) \end{aligned}$

(4)- كرة حجمها $84 c m^{3}$ جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

نفرض الحجم = $v$
نفرض نصف القطر = $r$

$v = \frac{4}{3} π r^{3} \Rightarrow 84 π = \frac{4}{3} π r^{3} \Rightarrow∴ r^{3} = 63 \Rightarrow r = \sqrt[3]{63}$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$\begin{aligned} a = 64 \\ b = 63 \\ h = 63 - 64 = - 1 \\ f (x) = \sqrt[3]{x} \\ f' (x) = \frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}} \\ f (64) = \sqrt[3]{64} = 4 \\ f' (64) = \frac{1}{3^{3} \sqrt[3]{(64)^{2}}} = \frac{1}{3 (4)^{2}} = \frac{1}{48} = 0.02 \\ f (a + h) ≅ f (a) + h f' (a) \\ f (63) ≅ f (64) + (- 1) f (64) ≅ 4 - 0.02 = 3.98 cm \end{aligned}$

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه $2.98 c m$ فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

نفرض نصف القطر = $r$
نفرض الارتفاع = $h$

نفرض أقرب رقم للعدد المعطى:

$b = 2.98, a = 3 h = b - a = 2.98 - 3 = - 0.02 v = \frac{1}{3} π r^{2} h, h = 2 r \Rightarrow r = \frac{1}{2} h \begin{aligned} v = \frac{π}{3} h {(\frac{1}{2} h)}^{2} \\ v = \frac{π}{12} h^{3} \\ v' = \frac{π}{12} 3 h^{2} \Rightarrow v^{'} = \frac{π}{4} h^{2} \\ v (3) = \frac{1}{12} π (3)^{3} = \frac{27}{12} π = 2.25 π \\ v' (a) = \frac{1}{4} π a^{2} \Rightarrow v^{'} (3) = \frac{1}{4} π (3)^{2} = \frac{9}{4} π = 2.25 π \\ v (a + h) ≅ v (a) + h v^{'} (a) \\ v (2.98) ≅ 2.205 π m^{3} \end{aligned}$

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة $c$

$f (x) = (x - 1)^{4}, [- 1, 3]$

الدالة مستمرة على $[- 1, 3]$ لأنها كثيرة الحدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على $(- 1, 3)$ لأنها كثيرة الحدود.
نجد $f (- 1), f (3)$

$\begin{aligned} f (- 1) = (- 1 - 1)^{4} = 16 \\ f (3) = (3 - 1)^{4} = 16 \\ f (- 1) = f (3) \end{aligned}$

الدالة $f$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{aligned} f' (x) = 4 (x - 1)^{3} \Rightarrow f' (c) = 4 (c - 1)^{3}, f' (c) = 0 \\ [4 (c - 1)^{3} = 0] \div 4 \\ (c - 1)^{3} = 0 \Rightarrow c - 1 = 0 \Rightarrow c = 1 \in (- 1, 3) \end{aligned}$

$h (x) = x^{3} - x, [- 1, 1]$

الدالة مستمرة على $[- 1, 1]$ لأنها كثيرة الحدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على $(- 1, 1)$ لأنها كثيرة الحدود.
نجد $h (1), h (- 1)$

$\begin{aligned} h (- 1) = (- 1)^{3} - (- 1) = - 1 + 1 = 0 \\ h (1) = (1)^{3} - (1) = 1 - 1 = 0 \\ h (- 1) = h (1) \end{aligned}$

الدالة $h$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{aligned} h^{'} (x) = 3 x^{2} - 1 \Rightarrow h^{'} (c) = 3 c^{2} - 1, h^{'} (c) = 0 \\ 3 c^{2} - 1 = 0 \\ 3 c^{2} = 1 \Rightarrow c^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow c = \frac{1}{\sqrt{3}} \in (- 1, 1), c = - \frac{1}{\sqrt{3}} \in (- 1, 1) \end{aligned}$

$g (x) = x^{2} - 3 x, [- 1, 4]$

الدالة مستمرة على $[- 1, 4]$ لأنها كثيرة الحدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على $(- 1, 4)$ لأنها كثيرة الحدود.
نجد $g (- 1), g (4)$

$\begin{aligned} g (- 1) = (- 1)^{2} - 3 (- 1) = 1 + 3 = 4 \\ g (4) = (4)^{2} - 3 (4) \Rightarrow 16 - 12 = 4 \\ g (- 1) = g (4) \end{aligned}$

الدالة $g$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{aligned} g' (x) = 2 x - 3 \Rightarrow g' (c) = 2 c - 3, g' (c) = 0 \\ 2 c - 3 = 0 \\ 2 c = 3 \Rightarrow c = \frac{3}{2} \in (- 1, 4) \end{aligned}$

$f (x) = \cos 2 x + 2 \cos x, [0, 2 π]$

الدالة مستمرة على $[0, 2 π]$
الدالة قابلة للاشتقاق على $(0, 2 π)$
نوجد $f (0), f (2 π)$

$\begin{aligned} f (0) = \cos (0) + 2 \cos (0) = 1 + 2 = 3 \\ f (2 π) = \cos 4 π + 2 \cos 2 π = 1 + 2 = 3 \\ f (0) = f (2 π) \end{aligned}$

الدالة $f$ تحقق مبرهنة رول

$\begin{aligned} f' (x) = - 2 \sin 2 x - 2 \sin x \Rightarrow f' (c) = - 2 \sin 2 c - 2 \sin c, f' (c) = 0 \\ - 2 \sin (2 c) - 2 \sin (c) = 0 \overset{\div - 2}{⟹} \sin (2 c) + \sin (c) = 0 \\ 2 \sin (c) \cos (c) + \sin (c) = 0 \Rightarrow \sin (c) [2 \cos (c) + 1] = 0 \\ either \sin c = 0 \Rightarrow c = 0, π, 2 π, 3 π, \dots \Rightarrow c = π \in (0, 2 π) \\ or 2 \cos (c) + 1 = 0 \Rightarrow \cos c = \frac{- 1}{2} \end{aligned}$

زاوية الإسناد = $\frac{π}{3}$

الإشارة السالبة موجودة في الربعين الثاني والثالث بالنسبة لدال الـ $\cos$

$\begin{aligned} c = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3} \in (0, 2 π) (ثاني ربع) \\ c = π + \frac{π}{3} = \frac{4 π}{3} \in (0, 2 π) (ثالث ربع) \end{aligned}$

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم $c$ الممكنة:

$f (x) = x^{3} - x - 1, [- 1, 2]$

الدالة $f$ مستمرة على الفترة المغلقة $[- 1, 2]$ لأنها كثيرة حدود.
الدالة $f$ قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(- 1, 2)$ لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{aligned} f' (x) = 3 x^{2} - 1 \\ f' (c) = 3 c^{2} - 1 (المماس ميل) \\ f (- 1) = - 1 + 1 - 1 = - 1 \\ f (2) = 8 - 2 - 1 = 5 \\ f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{f (2) - f (- 1)}{2 - (- 1)} = \frac{5 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 (الوتر ميل) \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$\begin{aligned} 3 c^{2} - 1 = 2 \Rightarrow [3 c^{2} - 3 = 0] \div 3 \Rightarrow c^{2} - 1 = 0 \Rightarrow c^{2} = 1 \\ c^{2} = \mp 1 ∴ c = 1 \in (- 1, 2) \\ c = - 1 \notin (- 1, 2) \end{aligned}$

$h (x) = x^{2} - 4 x + 5, [- 1, 5]$

الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $[- 1, 5]$ لأنها كثيرة حدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(- 1, 5)$ لأنها كثيرة حدود.

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{aligned} h (5) = 25 - 20 + 5 = 10 \\ h (- 1) = 1 + 4 + 5 = 10 \\ h' (x) = 2 x - 4 \Rightarrow h' (c) = 2 c - 4 (المماس ميل) \\ h' (x) = \frac{h (b) - h (a)}{b - a} = \frac{h (5) - h (- 1)}{5 - (- 1)} = \frac{10 - 10}{6} = 0 (الوتر ميل) \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$2 c - 4 = 0 \Rightarrow 2 c = 4 \Rightarrow c = 2 \in [- 1, 5]$

$g (x) = \frac{4}{x + 2}, [- 1, 2]$

الدالة $h$ مستمرة على الفترة المغلقة $[- 1, 2]$ لأن $- 2 \notin [- 1, 2]$
الدالة $h$ قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(- 1, 2)$ لأن $- 2 \notin (- 1, 2)$

الشروط متحققة فهي تحقق القيمة المتوسطة.

$\begin{aligned} g (x) = 4 (x + 2)^{- 1} \Rightarrow g' (x) = - 4 (x + 2)^{- 2} = \frac{- 4}{(x + 2)^{2}} \\ g (- 1) = \frac{4}{- 1 + 2} = 4 \\ g (2) = \frac{4}{2 + 2} = 1 \\ g' (c) = \frac{- 4}{(c + 2)^{2}} \\ g' (c) = \frac{g (b) - g (a)}{b - a} = \frac{g (2) - g (- 1)}{2 - (- 1)} = \frac{1 - 4}{3} = \frac{- 3}{3} = - 1 \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر.

$\begin{aligned} \frac{- 4}{(c + 2)^{2}} = - 1 \Rightarrow [- (c + 2)^{2} = - 4] . - 1 \\ (c + 2)^{2} = 4 (بالجذر) \\ c + 2 = \pm 2 \\ either c + 2 = 2 \Rightarrow c = 0 \in (- 1, 2) \\ or c + 2 = - 2 \Rightarrow c = - 4 \notin (- 1, 2) \end{aligned}$

$B (x) = \sqrt[3]{(x + 1)^{2}}, [- 2, 7]$

الدالة مستمرة على الفترة المغلقة $[- 2, 7]$
الدالة $B (x)$ غير قابلة للاشتقاق عند $x = - 1$ لأن $- 1 \in (- 2, 7)$
الدالة $B (x)$ لا تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لأن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند $x = - 1$

السبب للاطلاع: (توضيح عدم قابلية الاشتقاق).

$\begin{aligned} B (x) = (x + 1)^{\frac{2}{3}} \Rightarrow B' (x) = \frac{2}{3} (x + 1)^{\frac{- 1}{3}} = \frac{2}{3 (x + 1)^{\frac{1}{3}}} \\ 3 (x + 1)^{\frac{1}{3}} = 0] \div 3 \Rightarrow (x + 1)^{\frac{1}{3}} = 0 ∴ x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \in [- 2, 7] \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (3-3)

(1)- أوجد قيمة $c$ التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

$f (x) = x^{3} - 9 x, x \in [- 3, 3]$

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x}, x \in [\frac{1}{2}, 2]$

$f (x) = {(x^{2} - 3)}^{2}, x \in [- 1, 1]$

(2)- جد تقريباً لكل مما يلي باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة:

$\sqrt{63} + \sqrt[3]{63}$

$(1.04)^{3} + 3 (1.04)^{4}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

$\frac{1}{101}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0 .5} = \sqrt{0 .50}$

(3)- كرة نصف قطرها $(6 c m)$ طليت بطلاء سمكه $(0.1 c m)$ جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(4)- كرة حجمها $84 c m^{3}$ جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه $2.98 c m$ فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة $c$

$f (x) = (x - 1)^{4}, [- 1, 3]$

$h (x) = x^{3} - x, [- 1, 1]$

$g (x) = x^{2} - 3 x, [- 1, 4]$

$f (x) = \cos 2 x + 2 \cos x, [0, 2 π]$

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم $c$ الممكنة:

$f (x) = x^{3} - x - 1, [- 1, 2]$

$h (x) = x^{2} - 4 x + 5, [- 1, 5]$

$g (x) = \frac{4}{x + 2}, [- 1, 2]$

$B (x) = \sqrt[3]{(x + 1)^{2}}, [- 2, 7]$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (3-3) ج1

فيديو شرح درس تمارين (3-3) ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (3-3)

(1)- أوجد قيمة c التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

f(x)=x3−9x , x∈[−3,3]

f(x)=2x+2x , x∈[12,2]

f(x)=(x2−3)2 , x∈[−1,1]

(2)- جد تقريباً لكل مما يلي باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة:

63+633

(1.04)3+3(1.04)4

193

1101

12 , 12=0.5=0.50

(3)- كرة نصف قطرها 6cm طليت بطلاء سمكه 0.1cm جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(4)- كرة حجمها 84cm3 جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه 2.98cm فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة c

f(x)=(x−1)4 , [−1,3]

h(x)=x3−x , [−1,1]

g(x)=x2−3x , [−1,4]

f(x)=cos⁡2x+2cos⁡x , [0,2π]

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم c الممكنة:

f(x)=x3−x−1 , [−1,2]

h(x)=x2−4x+5 , [−1,5]

g(x)=4x+2 , [−1,2]

B(x)=(x+1)23 , [−2,7]

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (3-3) ج1

فيديو شرح درس تمارين (3-3) ج2

النقاشات

(1)- أوجد قيمة $c$ التي تعينها مبرهنة رول في كل مما يأتي:

$f (x) = x^{3} - 9 x, x \in [- 3, 3]$

$f (x) = 2 x + \frac{2}{x}, x \in [\frac{1}{2}, 2]$

$f (x) = {(x^{2} - 3)}^{2}, x \in [- 1, 1]$

$\sqrt{63} + \sqrt[3]{63}$

$(1.04)^{3} + 3 (1.04)^{4}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{9}}$

$\frac{1}{101}$

$\sqrt{\frac{1}{2}}, \sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{0 .5} = \sqrt{0 .50}$

(3)- كرة نصف قطرها $(6 c m)$ طليت بطلاء سمكه $(0.1 c m)$ جد كمية الطلاء بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(4)- كرة حجمها $84 c m^{3}$ جد نصف قطرها بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(5)- مخروط دائري قائم ارتفاعه يساوي طول قطر قاعدته، فإذا كان ارتفاعه $2.98 c m$ فجد حجمه بصورة تقريبية باستخدام نتيجة مبرهنة القيمة المتوسطة.

(6)- بين أن كل دالة من الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول على الفترة المعطاة إزاء كل منهما ثم جد قيمة $c$

$f (x) = (x - 1)^{4}, [- 1, 3]$

$h (x) = x^{3} - x, [- 1, 1]$

$g (x) = x^{2} - 3 x, [- 1, 4]$

$f (x) = \cos 2 x + 2 \cos x, [0, 2 π]$

(7)- اختبر إمكانية تطبيق القيمة المتوسطة للدوال التالية على الفترة المعطاة إزاءها، جد قيم $c$ الممكنة:

$f (x) = x^{3} - x - 1, [- 1, 2]$

$h (x) = x^{2} - 4 x + 5, [- 1, 5]$

$g (x) = \frac{4}{x + 2}, [- 1, 2]$

$B (x) = \sqrt[3]{(x + 1)^{2}}, [- 2, 7]$