للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

مبرهنة القيمة المتوسطة

إذا كانت $f$ مستمرة في الفترة المغلقة $[a, b]$ وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(a, b)$ فإنه يوجد على الأقل قيمة واحدة $c$ تنتمي إلى الفترة $(a, b)$ وتحقق:

المماس // الوتر أي أن ميلاهما متساويان.
ميل الوتر المار بالنقطتين $A, B$ يساوي $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$
ميل المماس للمنحني عند $c$ = المشتقة الأولى للدالة $f$ عند $c$ أي $f' (c)$
المماس والوتر متوازيان لذا يتساوى ميلهما أي أن $f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

الشكل

لإيجاد قيمة $c$ التي تحقق $f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ يجب توفر الشرطيين التاليين:

أن تكون $f$ دالة مستمرة في الفترة المغلقة $[a, b]$
أن تكون $f$ دالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(a, b)$

ملاحظة: إن مبرهنة رول هي حالة خاصة من مبرهنة القيمة المتوسطة ففي مبرهنة رول يجب توافر شرط ثالث هو $f (a) = f (b)$ أي أن الوتر والمماس يوازيان محور السينات أي أن فرق الصادات = 0 لذا يصبح الميل = 0 فتحصل على $f' (c) = 0$

(1)- جد قيمة $c$ التي تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لكل من الدوال الآتية:

$f (x) = x^{2} - 6 x + 4, x \in [- 1, 7]$

الدالة مستمرة في الفترة $[- 1, 7]$ لأنها كثيرة الحدود.
الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة $(- 1, 7)$ لأنها كثيرة حدود.

$\begin{aligned} f' (x) = 2 x - 6 \\ f' (c) = 2 c - 6 \\ f' c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{f (7) - f (- 1)}{7 - (- 1)} = \frac{11 - 11}{8} = 0 (الوتر ميل) \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر

$2 c - 6 = 0 \Rightarrow 2 c = 6 \Rightarrow c = 3 \in (- 1, 7)$

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}, x \in [- 4, 0]$

أوسع مجال للدالة:

$25 - x^{2} \geq 0 \Rightarrow 25 = x^{2} \Rightarrow x = \pm 5 \Rightarrow x \in [- 5, 5]$

1. نبحث استمرارية في الفترة $[- 4, 0]$

$\begin{aligned} \forall a \in [- 4, 0] \Rightarrow f (a) = \sqrt{25 - a^{2}} \in R \\ lim_{x \to - 4^{+}} f (x) = lim_{x \to - 4^{+}} \sqrt{25 - x^{2}} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \\ lim_{x \to 0^{-}} f (x) = lim_{x \to 0^{-}} \sqrt{25 - x^{2}} = \sqrt{25 - 0} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned}$

الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $[- 4, 0]$

2. الدالة قابلة للاشتقاق عند الفترة المفتوحة $(- 4, 0)$

$\begin{aligned} f' (x) = \frac{- 2 x}{2 \sqrt{25 - x^{2}}} = \frac{- x}{\sqrt{25 - x^{2}}} \Rightarrow \hat{f} (c) = \frac{- c}{\sqrt{25 - c^{2}}} (المماس ميل) \\ f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{f (0) - f (- 4)}{0 + 4} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{1}{2} (الوتر ميل) \\ \frac{1}{2} = \frac{- c}{\sqrt{25 - c^{2}}} \\ - 2 c = \sqrt{25 - c^{2}} (بالتربيع) \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر

$e i t h e r 4 c^{2} = 25 - c^{2} \Rightarrow 4 c^{2} + c^{2} = 25 \Rightarrow 5 c^{2} = 25 \Rightarrow c^{2} = 5 \Rightarrow c == \pm \sqrt{5} o r c = - \sqrt{5} \in (- 4, 0)$

الشكل

$f (x) = 2 x + \sin x, x \in [0, π]$

الدالة مستمرة في الفترة المغلقة $[0, π]$ لأنها دالة دائرية.
الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة $(0, π)$

الشروط متحققة فإن مبرهنة القيمة المتوسطة متحققة.

$f (x) = 2 x + \sin x \Rightarrow f' (x) = 2 + \cos x \Rightarrow f' (c) = 2 + \cos (c) (المماس ميل) f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{(2 π + \sin π) - 0}{π - 0} = \frac{2 π}{π} = 2 (الوتر ميل)$

ميل المماس = ميل الوتر

$2 + \cos (c) = 2 \Rightarrow \cos (c) = 2 - 2 \Rightarrow \cos (c) = 0 \Rightarrow c = \frac{π}{2} \in (0, π)$

(2)- إذا كانت $f : [0, b] \to R, f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ وكانت $f$ تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة عند $c = \frac{2}{3}$ فجد قيمة $b$

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - 4 x^{2} \Rightarrow f (x) = 3 x^{2} - 8 x \\ f' (c) = 3 c^{2} - 8 c \\ f' (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) - 8 (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{16}{3} = \frac{- 12}{3} = - 4 (المماس ميل) \\ f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{f (b) - f (0)}{b - 0} = \frac{b^{3} - 4 b^{2} - 0}{b} = \frac{b (b^{2} - 4 b)}{b} = b^{2} - 4 b (الوتر ميل) \end{aligned}$

ميل المماس = ميل الوتر

$\begin{aligned} b^{2} - 4 b = - 4 \Rightarrow b^{2} - 4 b + 4 = 0 \Rightarrow (b - 2) (b - 2) = 0 \\ (b - 2)^{2} = 0 \overset{بالجذر}{⟹} b = 2 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مبرهنة القيمة المتوسطة

(1)- جد قيمة $c$ التي تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لكل من الدوال الآتية:

$f (x) = x^{2} - 6 x + 4, x \in [- 1, 7]$

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}, x \in [- 4, 0]$

$f (x) = 2 x + \sin x, x \in [0, π]$

(2)- إذا كانت $f : [0, b] \to R, f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ وكانت $f$ تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة عند $c = \frac{2}{3}$ فجد قيمة $b$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس مبرهنة القيمة المتوسطة ج1

فيديو شرح درس مبرهنة القيمة المتوسطة ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مبرهنة القيمة المتوسطة

(1)- جد قيمة c التي تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لكل من الدوال الآتية:

f(x)=x2−6x+4 , x∈[−1,7]

f(x)=25−x2 , x∈[−4,0]

f(x)=2x+sin⁡x , x∈[0,π]

(2)- إذا كانت f:[0,b]→R , f(x)=x3−4x2 وكانت f تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة عند c=23 فجد قيمة b

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس مبرهنة القيمة المتوسطة ج1

فيديو شرح درس مبرهنة القيمة المتوسطة ج2

النقاشات

(1)- جد قيمة $c$ التي تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة لكل من الدوال الآتية:

$f (x) = x^{2} - 6 x + 4, x \in [- 1, 7]$

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}, x \in [- 4, 0]$

$f (x) = 2 x + \sin x, x \in [0, π]$

(2)- إذا كانت $f : [0, b] \to R, f (x) = x^{3} - 4 x^{2}$ وكانت $f$ تحقق مبرهنة القيمة المتوسطة عند $c = \frac{2}{3}$ فجد قيمة $b$