للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

رسم المخطط البياني للدالة

لرسم المخطط البياني لأي دالة معطاة نتبع الخطوات التالية والتي تمثل النقط الأساسية للرسم:

أوسع مجال للدالة.
نقط التقاطع مع المحورين.
التناظر.
المحاذيات.
دراسة $f' (x)$ وما ينتج عنها.
دراسة $f'' (x)$ وما ينتج عنها.
تحديد النقط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها.

1. أوسع مجال للدالة.

كثيرات الحدود: أوسع مجال لها = $R$
الدوال الكسرية: القيم التي تجعل المقام = صفر / $R / صفر$
الدوال الجذرية: $الجذر داخل التي القيمة \geq 0$

2. نقط التقاطع مع المحورين: وهي على نوعين:

التقاطع مع المحور الصادي: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(y)$ نجعل $(x = 0)$ لإيجاد قيم $y$
التقاطع مع المحور السيني: لإيجاد نقط التقاطع مع المحور $(x)$ نجعل $(y = 0)$ لإيجاد قيم $x$

مثال توضيحي:

جد نقاط التقاطع:

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - 4 x \\ x = 0 \Rightarrow y = 0 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 4 x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 4) = 0 \Rightarrow x (x - 2) (x + 2) = 0 \end{aligned}$

نقط التقاطع $(2, 0), (- 2, 0), (0, 0)$

3. التناظر: هو على نوعين:

يكون المنحني متناظر مع المحور الصادي إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها زوجية أي أن $f (- x) = f (x)$
يكون المنحني متناظر حول نقطة الأصل إذا كانت أسس المتغير $(x)$ كلها فردية أي أن $f (- x) = - f (x)$

مثال توضيحي:

$1) f (x) = x^{4} - x^{2} - \frac{1}{x^{2}} \Rightarrow f (- x) = (- x)^{4} - (- x)^{2} - \frac{1}{(- x)^{2}} f (- x) = x^{4} - x^{2} - \frac{1}{x^{2}} (f (x) = f (- x)) 2) f (x) = x^{3} - 2 x \Rightarrow f (- x) = (- x)^{3} - 2 (- x) = - x^{3} + 2 x = - [x^{3} - 2 x] (f (- x) = - f (x))$

4. المحاذيات: دراستنا للمحاذيات تقتصر على الدوال الكسرية فقط:

المحاذي الأفقي الموازي لمحور السينات: تكون معادلته $y = عدد$ هذا العدد هو حاصل قسمة معامل الحد الأكبر درجة من البسط على معامل الحد الأكبر درجة من المقام بشرط تساوي الدرجتين.
المحاذي الشاقولي (العمودي) الموازي لمحور الصادات: نجعل الدالة بدلالة المتغير $x$ أي نجعل $y = \frac{g (x)}{h (x)}$ ثم نجعل $h (x) = 0$ ونجد قيم $(x)$ فهي تمثل معادلة المستقيم الشاقولي.

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$\begin{aligned} x + 2 = 0 \Rightarrow x = - 2 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) \\ y = \frac{3 x - 4}{x + 2} \Rightarrow y = \frac{3}{1} \Rightarrow y = 3 (الأفقي المحاذي) \end{aligned}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = \pm 2 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) y = \frac{0 x^{2} + x + 3}{x^{2} - 4} (الدرجتين نساوي) \Rightarrow y = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل} = \frac{0}{1} \Rightarrow y = 0 (الأفقي المحاذي)$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5} = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{0 x^{2} + x - 5} (الدرجتين نساوي) \Rightarrow y = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل} = \frac{1}{0} \Rightarrow y = (معرف غير) (الأفقي المحاذي)$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$f (x) = y = 0 \Rightarrow {(x^{2} - 1)}^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 (1, 0), (- 1, 0) (التقاطع نقاط)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = {((0)^{2} - 1)}^{2} = (- 1)^{2} = 1 (0, 1) (التقاطع نقاط)$

التناظر: الدالة متناظرة مع المحور الصادي لأنه $f (- x) = f (x)$

$f (- x) = {((- x)^{2} - 1)}^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2}$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} y' = 2 (x^{2} - 1) \cdot 2 x = 4 x^{3} - 4 x \\ y = 0 \Rightarrow [4 x^{3} - 4 x = 0] \div 4 \\ x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ either x = 0 \\ or x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm 1 (مرشحة حرجة نقطة) \end{aligned} \begin{aligned} x = \pm 1 \Rightarrow y = {[(\pm 1)^{2} - 1]}^{2} = 0 (محلية صغرى نهاية نقطة) (- 1, 0), (1, 0) \\ x = 0 \Rightarrow y = {[(0)^{2} - 1]}^{2} = 1 (محلية عظمى نهاية نقطة) (0, 1) \end{aligned}$

مناطق التناقص $(0, 1), {x : x < - 1}$
مناطق التزايد $(- 1, 0), {x : x > 1}$

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y^{''} = 12 x^{2} - 4 \\ 12 x^{2} - 4 = 0] \div 4 \\ 3 x^{2} - 1 = 0 \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ y = {[{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} - 1]}^{2} \Rightarrow y = {[\frac{1}{3} - 1]}^{2} = {(\frac{- 2}{3})}^{2} = \frac{4}{9} \end{aligned} \begin{aligned} \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $∴ (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9}), (\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$
مناطق التحدب $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$
مناطق التقعر ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(1, 0)$	0	1
$(- 1, 0)$	0	1-
$(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
$(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{4}{9})$	$\frac{4}{9}$	$- \frac{1}{\sqrt{3}}$

الشكل

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$x^{5} = 0 \Rightarrow x = 0 (0, 0) (النقطة)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$y = (0)^{5} = 0 (0, 0) (النقطة)$

التناظر: الدالة متناظرة مع نقطة الأصل لأن:

$f (- x) = - f (x) f (- x) = (- x)^{5} = - x^{5} = - f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$y' = 5 x^{4} \Rightarrow 5 x^{4} = 0 \Rightarrow x = 0$

لا توجد نقاط نهايات والدالة متزايدة في ${x : x > 0}, {x : x < 0}$

$(0, 0)$ نقطة حرجة لا تمثل نقطة نهاية.

الشكل

مناطق التحدب والتقعر.

$\begin{aligned} y'' = 20 x^{3} \Rightarrow 20 x^{3} = 0 \Rightarrow x = 0 \\ y = (0)^{5} = 0, x = 0 \end{aligned}$

مناطق الانقلاب $(0, 0)$

الدالة محدبة في ${x : x < 0}$
الدالة مقعرة في ${x : x > 0}$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(1, 1)$	1	1
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, 32)$	2	32

الشكل

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

أوسع مجال للدالة = $x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1, R / {- 1}$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السيني: $y = 0$

$0 = \frac{3 x - 1}{x + 1} \Rightarrow 3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow (\frac{1}{3}, 0)$

2. المحور الصادي: $x = 0$

$f (0) = \frac{3 (0) - 1}{0 + 1} \Rightarrow y = - 1 \Rightarrow (0, - 1)$

التناظر: العدد $(1)$ ينتمي إلى مجال الدالة $(- 1)$ لا ينتمي إلى الدالة لذلك فالمنحني غير متناظر مع محور الصادات وغير متناظر مع نقطة الأصل.
المحاذيات:

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 ((العمودي) الشاقولي المحاذي) y = \frac{3}{1} \Rightarrow y = 3 (الأفقي المحاذي)$

$f' (x) = \frac{(x + 1) (3) - (3 x - 1) (1)}{(x + 1)^{2}} = \frac{3 x + 3 - 3 x + 1}{(x + 1)^{2}} = \frac{4}{(x + 1)^{2}}, f^{'} (x) = 0 4 = 0 (ممكن غير) \forall x \in R / {- 1}, f' (x) > 0$

الدالة متزايدة في ${x : x < - 1}, {x : x > - 1}$ ولا توجد نقاط حرجة.

$f' (x) = 4 (x + 1)^{- 2} f'' (x) = - 8 (x + 1)^{- 3} = \frac{- 8}{(x + 1)^{3}}, f'' (x) = 0 - 8 = 0 (ممكن غير)$

الدالة مقعرة في ${x : x < - 1}$
الدالة محدبة في ${x : x > - 1}$

الشكل

الدالة لا تملك نقطة انقلاب لأن $(- 1)$ لا ينتمي إلى مجال الدالة.

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, - 1)$	1-	0
$(\frac{1}{3}, 0)$	0	$\frac{1}{3}$
$(- 1, - 1)$	1-	1-
$(2, \frac{5}{3})$	$\frac{5}{3}$	2
$(- 2, 7)$	7	2-
$(1, 1)$	1	1

الشكل

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

1. المحور السينات:

$(0, 0), y = 0 \Rightarrow x = 0$ مع محور السينات.

2. المحور الصادات:

$(0, 0), x = 0 \Rightarrow y = 0$ مع محور الصادات.

التناظر مع الصادي: $\forall x \in R, \exists - x \in R$

$f (- x) = \frac{(- x)^{2}}{(- x)^{2} + 1} = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

$f (- x) = f (x)$ متناظرة مع المحور الصادي لأنها زوجية.

المحاذيات:

$الأفقي المحاذي = \frac{للبسط x^{2} معامل}{للمقام x^{2} معامل}$ $y = \frac{1}{1} = 1 \Rightarrow y = 1$

لا يوجد محاذي عمودي $x^{2} + 1 \neq 0$

مناطق التزايد والتناقص.

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \Rightarrow f' (x) = \frac{(2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \begin{aligned} 0 = \frac{(2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}} \\ 2 x = 0 \Rightarrow x = 0 \end{aligned}$

$(0, 0)$ نقطة نهاية صغرى محلية.

تزايد ${\forall x : x > 0}$
تناقص ${\forall x : x < 0}$

الشكل

$\begin{aligned} f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} (2) - 2 x (2) (x^{2} + 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 {(x^{2} + 1)}^{2} - 8 x^{2} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{(x^{2} + 1) [2 (x^{2} + 1) - 8 x^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}} \\ f'' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 - 8 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} \\ 0 = \frac{2 - 6 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}} (بالوسطين الطرفين بضرب) \end{aligned} \begin{aligned} 2 - 6 x^{2} = 0 \Rightarrow 6 x^{2} = 2 \Rightarrow x^{2} = \frac{2}{6} \\ x^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \\ f (\pm \frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2}}{{(\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3} + 1} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4} \end{aligned}$

محدبة في ${x : x < - \frac{1}{\sqrt{3}}}, {x : x > \frac{1}{\sqrt{3}}}$

مقعرة في الفترة المفتوحة $(- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}})$

نقطتا الانقلاب $(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4}), (- \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{4})$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 0)$	0	0
$(- 1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1-
$(2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2
$(- 2, \frac{4}{5})$	$\frac{4}{5}$	2-
$(1, \frac{1}{2})$	$\frac{1}{2}$	1

الشكل

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

أوسع مجال للدالة = $R$
نقاط التقاطع مع المحورين.

$\begin{aligned} x = 0 \Rightarrow y = 4 \\ y = 0 \Rightarrow x^{3} - 3 x^{2} + 4 = 0 (المعادلة حل يمكن لا) \end{aligned}$

$(0, 4)$ نقطة التقاطع مع المحور الصادي.

التناظر:

$\forall x \in R \exists (- x) \in R \Rightarrow f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x)^{2} + 4 = - x^{3} - 3 x^{2} + 4 \neq f (x)$

لا يوجد تناظر مع محور الصادات أو نقطة الأصل لأن:

$f (- x) \neq - f (x), f (- x) \neq f (x)$

المحاذيات: لا يوجد محاذيات لأن الدالة ليست نسبية.
مناطق التزايد والتناقص.

$\begin{aligned} f' (x) = 3 x^{2} - 6 x (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 3 x^{2} - 6 x = 0 \Rightarrow x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2 \\ f (0) = 4 \Rightarrow y = 4 \Rightarrow (0, 4) \\ f (2) = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow (2, 0) \end{aligned}$

$f$ متزايدة في كل من ${x : x < 0}, {x : x > 2}$
$f$ متناقصة في الفترة $(0, 2)$
$(0, 4)$ نقطة نهاية عظمى محلية.
$(2, 0)$ نقطة نهاية عظمى محلية.

الشكل

مناطق التقعر والتحدب.

$\begin{aligned} f'' (x) = 6 x - 6 (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x - 6 = 0 \Rightarrow 6 x = 6 \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = 2 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow (1, 2) \end{aligned}$

$f$ مقعرة في ${x : x > 1}$
$f$ محدبة في ${x : x > < 1}$

نقطة الانقلاب $(1, 2)$

الشكل

الرسم البياني:

$(x, y)$	$y$	$x$
$(0, 4)$	4	0
$(1, 2)$	2	1
$(2, 0)$	0	2
$(3, 4)$	4	3
$(- 1, 0)$	0	1-

الشكل

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

رسم المخطط البياني للدالة

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس رسم المخطط البياني للدالة ج1

فيديو شرح درس رسم المخطط البياني للدالة ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

رسم المخطط البياني للدالة

f(x)=3x−4x+2

f(x)=x+3x2−4

f(x)=x2+3x+3x−5

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة f(x)=(x2−1)2

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل f(x)=x5

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة f(x)=3x−1x+1

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني y=x2x2+1

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة f(x)=x3−3x2+4

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس رسم المخطط البياني للدالة ج1

فيديو شرح درس رسم المخطط البياني للدالة ج2

النقاشات

$f (x) = \frac{3 x - 4}{x + 2}$

$f (x) = \frac{x + 3}{x^{2} - 4}$

$f (x) = \frac{x^{2} + 3 x + 3}{x - 5}$

(1)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل منحني الدالة $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$

(2)- ارسم منحني الدالة باستخدام بمعلوماتك في التفاضل $f (x) = x^{5}$

(3)- بالاستعانة بالتفاضل ارسم منحني الدالة $f (x) = \frac{3 x - 1}{x + 1}$

(4)- باستخدام معلوماتك في التفاضل ارسم المنحني $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$

(5)- ارسم بالاستعانة بمعلوماتك في التفاضل الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$