للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الأسئلة الوزارية حول إيجاد الثوابت

(1)- إذا كان $(1, 6)$ تمثل نهاية سفرة محلية للدالة $f (x) = a x^{2} + (x - b)^{2}$ جد قيمة كل من $a, b$ الحقيقيتين الموجبتين.

$(1, 6)$ تحقق معادلة الدالة والمشتقة عندها تسوي صفر.

$\begin{aligned} f (x) = a x^{2} + (x - b)^{2} \\ 6 = a (1)^{2} + (1 - b)^{2} \\ 6 = a + 1 - 2 b + b^{2} \dots \dots (1) \\ f' (x) = 2 a x + 2 (x - b) \Rightarrow 2 a (1) + 2 (1 - b) = 0 \\ 2 a + 2 - 2 b = 0] \div 2 \Rightarrow a + 1 - b = 0 \Rightarrow a = b - 1 \dots \dots (2) ((1) في نعوض) \\ ∴ 6 = b - 1 + 1 - 2 b + b^{2} \Rightarrow b^{2} - b - 6 = 0 \\ (b - 3) (b + 2) = 0 \\ either b - 3 = 0 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow a = 3 - 1 = 2 \\ or b + 2 = 0 \Rightarrow b = - 2 (يهمل) \end{aligned}$

(2)- إذا كان منحني $f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x$ يمر بالنقطة $(- 2, - 2)$ وكانت للدالة نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمتي كل من $b, c \in R$ ثم جد نقطة النهاية العظمي المحلية للدالة $f$

$(- 2, - 2)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x \\ - 2 = (- 2)^{3} - b (- 2)^{2} + c (- 2) ⟹ - 2 = - 8 - 4 b - 2 c] \div 2 \\ - 1 = - 4 - 2 b - c \Rightarrow - 2 b - c = 3 \dots \dots (1) \\ f' (x) = 3 x^{2} - 2 b x + c \\ f'' (x) = 6 x - 2 b f'' (x) = 0 \\ 6 (1) - 2 b = 0 \Rightarrow 2 b = 6 \Rightarrow∴ b = 3 \\ - 2 (3) - c = 3 \Rightarrow - 6 - c = 3 \Rightarrow∴ c = - 9 \\ f' (x) = 3 x^{2} - 2 (3) x + (- 9) \Rightarrow f' (x) = 3 x^{2} - 6 x - 9 \\ 3 x^{2} - 6 x - 9 = 0] \div 3 \Rightarrow x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x - 3) (x + 1) = 0 \\ either x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \\ or x + 1 = 0 \Rightarrow x = - 1 \end{aligned} \begin{aligned} f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x \\ f (- 1) = (- 1)^{3} - 3 (- 1)^{2} - 9 (- 1) = - 1 - 3 + 9 = 5 \end{aligned}$

$(- 1, 5)$ نهاية عظمى محلية.

الشكل

(3)- جد نقطة الانقلاب لمنحني الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ثم جد معادلة مماس المنحني عند نقطة انقلابه.

$\begin{aligned} f' (x) = 3 x^{2} - 3 \Rightarrow f'' (x) = 6 x \\ 6 x = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow f (0) = - 2 \end{aligned}$

نقطة الانقلاب $(0, - 2)$

ميل المماس عند نقطة انقلابه $f' (0) = 3 (0)^{2} - 3 = - 3$

$\begin{aligned} y - y_{1} = m (x - x_{1}) \Rightarrow y + 2 = - 3 (x - 0) \\ y + 2 = - 3 x \Rightarrow 3 x + y + 2 = 0 (المماس معادلة) \end{aligned}$

الشكل

(4)- لتكن $(- 1, 2), f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + 1$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة جد قيمتي $b, c \in R$ وهل توجد نقطة انقلاب للدالة؟

$(- 1, 2)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$\begin{aligned} f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + 1 \\ 2 = - 1 + b - c + 1 \\ b - c = 2 \dots (1) \\ f' (x) = 3 x^{2} + 2 b x + c f' (x) = 0 \\ 3 (- 1)^{2} + 2 b (- 1) + c = 0 \Rightarrow 3 - 2 b + c = 0 \Rightarrow - 2 b + c = - 3 \dots (2) \end{aligned} \begin{aligned} b - c & = 2 . . . (1) \\ - 2 b + c & = - 3 \dots (2) (بالجمع) \end{aligned} \begin{aligned} - b = - 1 \Rightarrow b = 1 ((1) في نعوض) \\ 1 - c = 2 \Rightarrow c = - 1 \end{aligned} \begin{aligned} f'' (x) = 6 x + 2 b = 6 x + 2 \Rightarrow 6 x + 2 = 0 \Rightarrow 6 x = - 2 \Rightarrow x = - \frac{1}{3} \\ f (x) = x^{3} + x^{2} - x + 1 \\ f (- \frac{1}{3}) = {(- \frac{1}{3})}^{3} + {(- \frac{1}{3})}^{2} + \frac{1}{3} + 1 = \frac{38}{27} (- \frac{1}{3}, \frac{38}{27}) (انقلاب نقطة) \end{aligned}$

الشكل

(5)- إذا كانت $f (x) = a x^{2} - (x + b)^{2}$ والنقطة $(1, - 2)$ حرجة جد قيمة $a, b$ الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

$(1, - 2)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة.

$\begin{aligned} - 2 = a - (1 + b)^{2} \\ - 2 = a - (1 + 2 b + b^{2}) \Rightarrow - 2 = a - 1 - 2 b - b^{2} \\ ∴ - 1 = a - 2 b - b^{2} \dots \dots \dots (1) \\ f' (x) = 2 a x - 2 (x + b) f' (x) = 0 \\ 2 a (1) - 2 (1 + b) = 0 \Rightarrow [2 a - 2 - 2 b = 0] \div 2 \end{aligned} \begin{aligned} a - 1 - b = 0 \Rightarrow a = 1 + b \dots \dots \dots (2) \\ ∴ - 1 = 1 + b - 2 b - b^{2} \Rightarrow b^{2} + b - 2 = 0 \Rightarrow (b + 2) (b - 1) = 0 \\ either b + 2 = 0 \Rightarrow b = - 2 (يهمل) \\ or b - 1 = 0 \Rightarrow b = 1 \Rightarrow∴ a = 1 + 1 \Rightarrow a = 2 \\ f' (x) = 4 x - 2 (x + 1) \end{aligned}$

$(1, - 2)$ نهاية صغرى محلية.

الشكل

(6)- إذا كان المستقيم $y + 9 x = 28$ مماساً للدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1$ عند النقطة $(3, 1)$ جد قيمة $b, a$

$(3, 1)$ تنتمي للدالة فهي تحقق معادلة الدالة.

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1 \\ 1 = a (3)^{3} + b (3)^{2} + 1 \\ 1 = 27 a + 9 b + 1 \Rightarrow 0 = 27 a + 9 b] \div 9 \\ 3 a + b = 0 \dots \dots \dots \dots (1) \\ f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x \Rightarrow f' (3) = 3 a (9) + 2 b (3) \Rightarrow f' (3) = 27 a + 6 b (المماس ميل) \end{aligned}$

$المماس ميل = \frac{x معامل -}{y معامل} = \frac{- 9}{1} = - 9$

$\begin{aligned} [27 a + 6 b = - 9] \div 3 \\ 9 a + 2 b = - 3 \dots \dots \dots \dots (. 2) \\ 3 a + b = 0 \dots \dots \dots \dots \dots (1)] \times 2 \end{aligned} \begin{aligned} 9 a + 2 b = - 3 \dots \dots \dots \dots \dots (2) \\ 6 a + 2 b = 0 \dots \dots \dots \dots \dots (1)] \times 2 \\ \mp 9 a \mp 2 b = + 3 \dots \dots \dots \dots (2) \\ - 3 a = 3 \Rightarrow a = - 1 ((1) في نعوض) \\ ∴ 3 (- 1) + b = 0 \Rightarrow - 3 + b = 0 \Rightarrow b = 3 \end{aligned}$

(7)- إذا علمت أن لمنحني الدالة $f (x) = a x + \frac{b}{x - 1}$ نقطة نهاية صغرى محلية هي $(3, 10)$ فجد قيمة $a, b \in R$

$(3, 10)$ تحقق معادلة المنحني والمشتقة عندها تساوي صفر.

$\begin{aligned} f (x) = a x + \frac{b}{x - 1} \Rightarrow 10 = 3 a + \frac{b}{3 - 1} \Rightarrow 10 = 3 a + \frac{b}{2} \overset{(\times 2)}{⟹} 20 = 6 a + b \dots (1) \\ f (x) = a x + b (x - 1)^{- 1} \Rightarrow f' (x) = a - b (x - 1)^{- 2} \Rightarrow f' (x) = a - \frac{b}{(x - 1)^{2}} \\ a - \frac{b}{(x - 1)^{2}} = 0 \Rightarrow a - \frac{b}{(3 - 1)^{2}} = 0 \Rightarrow a - \frac{b}{4} = 0 \overset{(\times 4)}{⟹} 4 a - b = 0 \dots . (2) \end{aligned} \begin{aligned} 6 a + b = 20 \dots (1) \\ 4 a - b = 0 \dots (2) \\ 10 a = 20 \Rightarrow a = 2 \\ 4 (2) - b = 0 \Rightarrow b = 8 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الأسئلة الوزارية حول إيجاد الثوابت

(1)- إذا كان $(1, 6)$ تمثل نهاية سفرة محلية للدالة $f (x) = a x^{2} + (x - b)^{2}$ جد قيمة كل من $a, b$ الحقيقيتين الموجبتين.

(2)- إذا كان منحني $f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x$ يمر بالنقطة $(- 2, - 2)$ وكانت للدالة نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمتي كل من $b, c \in R$ ثم جد نقطة النهاية العظمي المحلية للدالة $f$

(3)- جد نقطة الانقلاب لمنحني الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ثم جد معادلة مماس المنحني عند نقطة انقلابه.

(4)- لتكن $(- 1, 2), f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + 1$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة جد قيمتي $b, c \in R$ وهل توجد نقطة انقلاب للدالة؟

(5)- إذا كانت $f (x) = a x^{2} - (x + b)^{2}$ والنقطة $(1, - 2)$ حرجة جد قيمة $a, b$ الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

(6)- إذا كان المستقيم $y + 9 x = 28$ مماساً للدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1$ عند النقطة $(3, 1)$ جد قيمة $b, a$

(7)- إذا علمت أن لمنحني الدالة $f (x) = a x + \frac{b}{x - 1}$ نقطة نهاية صغرى محلية هي $(3, 10)$ فجد قيمة $a, b \in R$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الأسئلة الوزارية حول إيجاد الثوابت

(1)- إذا كان 1,6 تمثل نهاية سفرة محلية للدالة f(x)=ax2+(x−b)2 جد قيمة كل من a,b الحقيقيتين الموجبتين.

(2)- إذا كان منحني f(x)=x3−bx2+cx يمر بالنقطة (−2,−2) وكانت للدالة نقطة انقلاب عند x=1 جد قيمتي كل من b,c∈R ثم جد نقطة النهاية العظمي المحلية للدالة f

(3)- جد نقطة الانقلاب لمنحني الدالة f(x)=x3−3x−2 ثم جد معادلة مماس المنحني عند نقطة انقلابه.

(4)- لتكن (−1,2) , f(x)=x3+bx2+cx+1 نقطة نهاية عظمى محلية للدالة جد قيمتي b,c∈R وهل توجد نقطة انقلاب للدالة؟

(5)- إذا كانت f(x)=ax2−(x+b)2 والنقطة (1,−2) حرجة جد قيمة a,b الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

(6)- إذا كان المستقيم y+9x=28 مماساً للدالة f(x)=ax3+bx2+1 عند النقطة (3,1) جد قيمة b,a

(7)- إذا علمت أن لمنحني الدالة f(x)=ax+bx−1 نقطة نهاية صغرى محلية هي (3,10) فجد قيمة a,b∈R

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

(1)- إذا كان $(1, 6)$ تمثل نهاية سفرة محلية للدالة $f (x) = a x^{2} + (x - b)^{2}$ جد قيمة كل من $a, b$ الحقيقيتين الموجبتين.

(2)- إذا كان منحني $f (x) = x^{3} - b x^{2} + c x$ يمر بالنقطة $(- 2, - 2)$ وكانت للدالة نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمتي كل من $b, c \in R$ ثم جد نقطة النهاية العظمي المحلية للدالة $f$

(3)- جد نقطة الانقلاب لمنحني الدالة $f (x) = x^{3} - 3 x - 2$ ثم جد معادلة مماس المنحني عند نقطة انقلابه.

(4)- لتكن $(- 1, 2), f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x + 1$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة جد قيمتي $b, c \in R$ وهل توجد نقطة انقلاب للدالة؟

(5)- إذا كانت $f (x) = a x^{2} - (x + b)^{2}$ والنقطة $(1, - 2)$ حرجة جد قيمة $a, b$ الموجبتين ثم بین نوع النقطة الحرجة.

(6)- إذا كان المستقيم $y + 9 x = 28$ مماساً للدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + 1$ عند النقطة $(3, 1)$ جد قيمة $b, a$

(7)- إذا علمت أن لمنحني الدالة $f (x) = a x + \frac{b}{x - 1}$ نقطة نهاية صغرى محلية هي $(3, 10)$ فجد قيمة $a, b \in R$