حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

تمارين (4-3)

(1)- لتكن $f (x) = a x^{2} - 6 x + b$ حيث $a \in {- 4, 8}, b \in R$ جد قيمة $a$ إذا كانت:

$\begin{aligned} f (x) = a x^{2} - 6 x + b \\ f' (x) = 2 a x - 6 \\ f'' (x) = 2 a \end{aligned}$

$f$ محدبة

$f'' (x) < 0 \Rightarrow 2 a < 0 \Rightarrow a < 0 \Rightarrow a = - 4$

$f$ مقعرة

$f'' (x) > 0 \Rightarrow 2 a > 0 \Rightarrow a > 0 \Rightarrow a = 8$

(2)- إذا كانت $(2, 6)$ نقطة حرجة لمنحني الدالة $f (x) = a - (x - b)^{4}$ فجد $a, b$ وبين نوع النقطة الحرجة.

$\exists (2, 6) ∵$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني.

$\begin{aligned} f (x) = a - (x - b)^{4} \\ f' (x) = - 4 (x - b)^{3} \Rightarrow - 4 (2 - b)^{3} = 0] \div (- 4) \end{aligned}$

نجعل $f' (x) = 0$ عند $x = 2$ لأن النقطة $(2, 6)$ نقطة حرجة.

$\begin{aligned} (2 - b)^{3} = 0 \Rightarrow 2 - b = 0 \Rightarrow b = 2 \\ 6 = a - (2 - b)^{4} \dots \dots \dots (1) \end{aligned}$

بالتعويض عن قيمة $(b)$ في المعادلة (1) نحصلى على:

$\begin{aligned} 6 = a - (2 - 2)^{4} \Rightarrow a = 6 \\ f' (x) = - 4 (x - b)^{3} \Rightarrow f (x) = - 4 (x - 2)^{3} \end{aligned}$

$(2, 6) ∵$ تمتلك نهاية عظمى محلية.

الشكل

(3)- إذا كان $g (x) = 1 - 12 x, f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكان كل من $f, g$ متماسان عند نقطة انقلاب المنحني $f$ وهي $(1, - 11)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

الدالتين $f (x), g (x)$ متماستان عند نقطة انقلاب.

ميل الدالتين $f (x), g (x)$ عند $(x = 1)$ متساويان أي $f' (x), g' (x)$

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x \Rightarrow f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c \\ g (x) = 1 - 12 x \Rightarrow g (x) = - 12 \\ 3 a x^{2} + 2 b x + c = - 12 \Rightarrow 3 a (1)^{2} + 2 b (1) + c = - 12 \Rightarrow 3 a + 2 b + c = - 12 \dots \end{aligned}$

النقطة $(1, - 11)$ نقطة انقلاب للدالة $f (x)$ فإن $f'' (x) = 0$ عندما $x = 1$

$f'' (x) = 6 a x + 2 b \Rightarrow 6 a + 2 b = 0] \div 2 \Rightarrow 3 a + b = 0 \dots (2)$

النقطة $(1, - 11)$ تحقق معادلة المنحني $f (x)$

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x \Rightarrow - 11 = a + b + c \dots (3)$

وبحل (3) و(2) و(1) آنياً نحصل على:

$\begin{aligned} 3 a + 2 b + c = - 12 . . . (1) \\ \mp a \mp b \mp c = + 11 . . . (3) (بالطرح) \end{aligned} \begin{aligned} 2 a + b = - 1 . . . (4) \\ \mp 3 a \mp b = 0 . . . (2) (بالطرح) \end{aligned} \begin{aligned} - a + 0 = - 1 \Rightarrow a = 1 ((2) في نعوض) \\ b = - 3 a \Rightarrow b = - 3 ((3) في نعوض) \\ a + b + c = - 11 \Rightarrow c = - 11 - a - b = - 11 - 1 + 3 \Rightarrow c = - 9 \end{aligned}$

(4)- إذا كانت $6$ تمثل نهاية صغرى محلية لمنحني الدالة $f (x) = 3 x^{2} - x^{3} + c$ فجد قيمة $c$ ثم جد معادلة المماس للمنحني في نقطة انقلابه.

$\begin{aligned} f (x) = 3 x^{2} - x^{3} + c \Rightarrow f' (x) = 6 x - 3 x^{2} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 x - 3 x^{2} = 0] \div 3 \Rightarrow 2 x - x^{2} = 0 \Rightarrow x (2 - x) = 0 \\ x = 0 or 2 - x = 0 \Rightarrow x = 2 \end{aligned}$

الشكل

$(0, 6)$ نهاية صغرى محلية وتحقق معادلة المنحني.

$f (x) = 3 x^{2} - x^{3} + c \Rightarrow 6 = 3 (0)^{2} - (0)^{3} + c \Rightarrow c = 6 \begin{aligned} f' (x) = 6 x - 3 x^{2} \Rightarrow f'' (x) = 6 - 6 x (f'' (x) = 0 (نجعل)) \\ 6 - 6 x = 0 \Rightarrow 6 = 6 x \Rightarrow x = 1 \\ f (1) = 3 (1)^{2} - (1)^{3} + 6 = 3 - 1 + 6 = 8 \end{aligned}$

$(1, 8)$ نقطة انقلاب (نقطة ميل المماس) اي نحسب $f' (x)$ عندما $x = 1$

$\begin{aligned} f' (1) = 6 (1) - 3 (1)^{2} = 6 - 3 = 3 (المماس ميل) \\ y - y_{1} = m (x - x_{1}) \Rightarrow y - 8 = 3 (x - 1) \\ y - 8 = 3 x - 3 \Rightarrow y - 8 - 3 x + 3 = 0 \end{aligned}$

معادلة المماس للمنحني عند انقلابه $y - 3 x - 5 = 0$

(5)- إذا كان $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكانت $f$ مقعرة $(\forall x > 1)$ محدبة $(\forall x < 1)$ وللدالة $f$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(- 1, 5)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

النقطة $(- 1, 5)$ تحقق دالة المنحني.

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x \Rightarrow 5 = a (- 1)^{3} + b (- 1)^{2} + c (- 1) \\ - a + b - c = 5 \dots \dots (1) \end{aligned}$

النقطة $(- 1, 5)$ نقطة نهاية عظمى محلية للدالة $f$ فنجعل $f' (x) = 0$ عندما $x = - 1$
$\begin{aligned} f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c \Rightarrow 3 a (- 1)^{2} + 2 b (- 1) + c = 0 \\ 3 a - 2 b + c = 0 \dots . (2) \end{aligned}$

الدالة $f$ مقعرة $(\forall x > 1)$ محدبة $(\forall x < 1)$ نجعل $f'' (x) = 0$ عندما $x = - 1$ لأنه توجد نقطة انقلاب

$\begin{aligned} f'' (x) = 6 a x + 2 b \Rightarrow 6 a (1) + 2 b = 0 \Rightarrow 6 a + 2 b = 0 \dots \dots (3) \\ - a + b - c = 5 \dots \dots (1) \\ 3 a - 2 b + c = 0 \dots \dots (2) (بالجمع) \end{aligned} \begin{aligned} 2 a - b = 5 \dots \dots (4)] \times 2 \\ 6 a + 2 b = 0 \dots \dots (3) \\ 4 a - 2 b = 10 \dots (4) \\ 6 a + 2 b = 0 \dots . (3) (بالجمع) \end{aligned} \begin{aligned} 10 a + 0 = 10 \Rightarrow 10 a = 10 \Rightarrow a = 1 ((3) في نعوض) \\ 6 a + 2 b = 0 \Rightarrow 6 (1) + 2 b = 0 \Rightarrow 2 b = - 6 \Rightarrow b = - 3 \\ c = - a + b - 5 = - 1 + (- 3) - 5 \Rightarrow c = - 9 \end{aligned}$

(6)- لتكن $a \in R / {0}, x \neq 0 f (x) = x^{2} - \frac{a}{x}$ برهن أن الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية.

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} - a x^{- 1} \Rightarrow f' (x) = 2 x + a x^{- 2} = 2 x + \frac{a}{x^{2}} (f' (x) = 0 (نجعل)) \\ [2 x + \frac{a}{x^{2}} = 0] \Rightarrow \frac{a}{x^{2}} = - 2 x \Rightarrow a = - 2 x^{3} \Rightarrow x^{3} = \frac{- a}{2} \dots \dots (1) \\ f'' (x) = 2 - 2 a x^{- 3} = 2 - \frac{2 a}{x^{3}} \\ f'' (\frac{- a}{2}) = 2 - \frac{2 a}{\frac{- a}{2}} = 2 - 2 a (\frac{- 2}{a}) = 2 + 4 = 6 > 0, f'' (x) > 0 \end{aligned}$

الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية مهما كانت قيمة $a$
الدالة $f$ تمتلك نهاية صغرى محلية مهما كانت قيمة $a$

(7)- المستقيم $3 x - y = 7$ يمس المنحني $y = a x^{2} + b x + c$ عند $(2, - 1)$ وكانت له نهاية محلية عند $x = \frac{1}{2}$ جد قيمة $a, b, c \in R$ وما نوع النهاية؟

النقطة $(2, - 1)$ تحقق معادلة المنحني.

$y = a x^{2} + b x + c \Rightarrow - 1 = a (2)^{2} + b (2) + c \Rightarrow 4 a + 2 b + c = - 1$

للمنحني نهاية محلية عند $x = \frac{1}{2}$ فإن $y' = 0$ عندما $x = \frac{1}{2}$

$y' = 2 a x + b \Rightarrow 2 a x + b = 0 \Rightarrow 2 a (\frac{1}{2}) + b = 0 \Rightarrow a + b = 0$

نجد معادلة ميل المستقيم المماس من معادلته $3 x - y = 7$

ميل المماس = $\frac{- 3}{- 1} = 3$

نجد ميل منحني الدالة عند نقطة التماس (أي نجد $y'$ عندما $x = 2$ )

$y' = 2 a x + b = 2 a (2) + b \Rightarrow y' = 4 a + b$

ميل المستقيم المماس = ميل المنحني للدالة عند نقطة التماس.

$\begin{aligned} y' = 4 a + b \Rightarrow 4 a + b = 3 . . . (3) \\ a + b = 0 . . . (2) \\ \mp 4 a \mp b = \mp 3 \dots (3) (بالطرح) \end{aligned} \begin{aligned} - 3 a = - 3 \Rightarrow a = 1 ((2) في نعوض) \\ 1 + b = 0 \Rightarrow b = - 1 ((1) في نعوض) \end{aligned} \begin{aligned} 4 (1) + 2 (- 1) + c = - 1 \Rightarrow 4 - 2 + c = - 1 \Rightarrow 2 + c = - 1 \Rightarrow c = - 3 \\ y = x^{2} - x - 3 \\ x = \frac{1}{2} \Rightarrow y = (\frac{1}{4}) - \frac{1}{2} - 3 = - 3 \frac{1}{4} \end{aligned}$

$(\frac{1}{2}, - 3 \frac{1}{4})$ تمثل نهاية صغرى محلية.

الشكل

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

تمارين (4-3)

(1)- لتكن $f (x) = a x^{2} - 6 x + b$ حيث $a \in {- 4, 8}, b \in R$ جد قيمة $a$ إذا كانت:

$f$ محدبة

$f$ مقعرة

(2)- إذا كانت $(2, 6)$ نقطة حرجة لمنحني الدالة $f (x) = a - (x - b)^{4}$ فجد $a, b$ وبين نوع النقطة الحرجة.

(3)- إذا كان $g (x) = 1 - 12 x, f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكان كل من $f, g$ متماسان عند نقطة انقلاب المنحني $f$ وهي $(1, - 11)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

(4)- إذا كانت $6$ تمثل نهاية صغرى محلية لمنحني الدالة $f (x) = 3 x^{2} - x^{3} + c$ فجد قيمة $c$ ثم جد معادلة المماس للمنحني في نقطة انقلابه.

(5)- إذا كان $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكانت $f$ مقعرة $(\forall x > 1)$ محدبة $(\forall x < 1)$ وللدالة $f$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(- 1, 5)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

(6)- لتكن $a \in R / {0}, x \neq 0 f (x) = x^{2} - \frac{a}{x}$ برهن أن الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية.

(7)- المستقيم $3 x - y = 7$ يمس المنحني $y = a x^{2} + b x + c$ عند $(2, - 1)$ وكانت له نهاية محلية عند $x = \frac{1}{2}$ جد قيمة $a, b, c \in R$ وما نوع النهاية؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

تمارين (4-3)

(1)- لتكن f(x)=ax2−6x+b حيث a∈{−4,8} , b∈R جد قيمة a إذا كانت:

f محدبة

f مقعرة

(2)- إذا كانت 2,6 نقطة حرجة لمنحني الدالة f(x)=a−(x−b)4 فجد a,b وبين نوع النقطة الحرجة.

(3)- إذا كان g(x)=1−12x , f(x)=ax3+bx2+cx وكان كل من f,g متماسان عند نقطة انقلاب المنحني f وهي (1,−11) فجد قيمة الثوابت a,b,c∈R

(4)- إذا كانت 6 تمثل نهاية صغرى محلية لمنحني الدالة f(x)=3x2−x3+c فجد قيمة c ثم جد معادلة المماس للمنحني في نقطة انقلابه.

(5)- إذا كان f(x)=ax3+bx2+cx وكانت f مقعرة (∀x>1) محدبة (∀x<1)وللدالة f نقطة نهاية عظمى محلية هي (−1,5) فجد قيمة الثوابت a,b,c∈R

f''(x)=6ax+2b⇒6a(1)+2b=0⇒6a+2b=0……3−a+b−c=5……(1)3a−2b+c=0……(2) بالجمع2a−b=5……(4)]×26a+2b=0……(3)4a−2b=10…(4)6a+2b=0….(3) بالجمع10a+0=10⇒10a=10⇒a=1 3 في نعوض6a+2b=0⇒6(1)+2b=0⇒2b=−6⇒b=−3c=−a+b−5=−1+(−3)−5⇒c=−9

(6)- لتكن a∈R/{0} , x≠0f(x)=x2−ax برهن أن الدالة f لا تمتلك نهاية عظمى محلية.

(7)- المستقيم 3x−y=7 يمس المنحني y=ax2+bx+c عند (2,−1) وكانت له نهاية محلية عند x=12 جد قيمة a,b,c∈R وما نوع النهاية؟

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (4-3)

النقاشات

(1)- لتكن $f (x) = a x^{2} - 6 x + b$ حيث $a \in {- 4, 8}, b \in R$ جد قيمة $a$ إذا كانت:

$f$ محدبة

$f$ مقعرة

(2)- إذا كانت $(2, 6)$ نقطة حرجة لمنحني الدالة $f (x) = a - (x - b)^{4}$ فجد $a, b$ وبين نوع النقطة الحرجة.

(3)- إذا كان $g (x) = 1 - 12 x, f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكان كل من $f, g$ متماسان عند نقطة انقلاب المنحني $f$ وهي $(1, - 11)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

(4)- إذا كانت $6$ تمثل نهاية صغرى محلية لمنحني الدالة $f (x) = 3 x^{2} - x^{3} + c$ فجد قيمة $c$ ثم جد معادلة المماس للمنحني في نقطة انقلابه.

(5)- إذا كان $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x$ وكانت $f$ مقعرة $(\forall x > 1)$ محدبة $(\forall x < 1)$ وللدالة $f$ نقطة نهاية عظمى محلية هي $(- 1, 5)$ فجد قيمة الثوابت $a, b, c \in R$

(6)- لتكن $a \in R / {0}, x \neq 0 f (x) = x^{2} - \frac{a}{x}$ برهن أن الدالة $f$ لا تمتلك نهاية عظمى محلية.

(7)- المستقيم $3 x - y = 7$ يمس المنحني $y = a x^{2} + b x + c$ عند $(2, - 1)$ وكانت له نهاية محلية عند $x = \frac{1}{2}$ جد قيمة $a, b, c \in R$ وما نوع النهاية؟