للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

إيجاد الثوابت

ملاحظات حول أسئلة الثوابت:

إذا أعطى في السؤال نهاية عظمى أو صغرى أو نقطة حرجة، فنجد المشتقة الأولى، ونعوض النهاية فيها وتجعلها تساوي صفراً.
إذا أعطى في السؤال نقطة انقلاب، نجد المشتقة الثانية ونعوض نقطة الانقلاب فيها وتجعلها تساوي صفراً.
إذا أعطى في السؤال معادلة المماس تتبع ما يلي:

نجد ميل المماس من المشتقة الأولى عند نقطة التماس.
نجد ميل المماس = $\frac{x معامل -}{y معامل}$ .
نساوي الميلين.

كل زوج مرتب يعطى في السؤال يعوض في الدالة الأصلية.
كل نهاية لم يذكر الإحداثي لها يعتبر إحداثي صادي.
كل مستقيم یوازي محور السينات فإن ميله = صفراً.
المنحنيات المتماسة ميلاهما متساوي.

(1)- عين قيمتي الثابتين $a, b$ لكي يكون لمنحتي الدالة $y = x^{3} + a x^{2} + b x$ نهاية عظمى محلية عند $x = - 1$ ونهاية صغرى محلية عند $x = 2$ ثم جد نقطة الانقلاب.

$y = x^{3} + a x^{2} + b x \Rightarrow y^{'} = 3 x^{2} + 2 a x + b$

للدالة نهاية عظمى محلية عند $x = - 1$ فإن $y^{'} = 0$

$\begin{aligned} 0 = 3 (- 1)^{2} + 2 a (- 1) + b \\ 3 - 2 a + b = 0 \Rightarrow - 2 a + b = - 3 . . . . (1) \end{aligned}$

للدالة نهاية صغرى محلية عند $x = 2$ فإن $y^{'} = 0$

$\begin{aligned} 0 = 3 (2)^{2} + 2 a (2) + b \\ 12 + 4 a + b = 0 \Rightarrow 4 a + b = - 12 \dots (2) \\ - 2 a + b = - 3 ...... (1) \end{aligned} \begin{aligned} \mp 4 a \mp b = + 12 \dots . . (2) (بالطرح) \\ - 6 a = 9 \Rightarrow a = \frac{- 9}{6} \Rightarrow a = \frac{- 3}{2} ((1) في نعوض) \\ - 2 (\frac{- 3}{2}) + b = - 3 \Rightarrow b = - 6 \\ y = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 6 x \\ y^{'} = 3 x^{2} - 3 x - 6 \end{aligned} \begin{aligned} y^{''} = 6 x - 3 (y^{''} = 0 (نجعل)) \\ 6 x - 3 = 0 \Rightarrow 6 x = 3 \Rightarrow x = \frac{1}{2} \\ (\frac{1}{2}, \frac{- 13}{4}) (هي الانقلاب نقطة) \\ y = {(\frac{1}{2})}^{3} - \frac{3}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) \\ y = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} - 3 = \frac{1 - 3 - 24}{8} = \frac{- 26}{8} = \frac{- 13}{4} \end{aligned}$

الدالة $f$ مقعرة في ${x : x > \frac{1}{2}}$
الدالة $f$ محدبة في ${x : x < \frac{1}{2}}$

الشكل

(2)- إذا كانت الدالة $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + c$ نهاية عظمى محلية تساوي $8$ ونقطة الانقلاب عند $x = 1$ نجد قيمة $a, c \in R$

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + c \\ f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 6 x \\ f^{''} (x) = 6 a x + 6 (f^{''} (x) = 0 (نجعل)) \end{aligned}$

نجعل للدالة نقطة انقلاب عند $f^{''} (x) = 0 ⟸ x = 1$

$\begin{aligned} 6 a x + 6 = 0 \\ 6 a (1) + 6 = 0 \Rightarrow 6 a = - 6 \Rightarrow a = - 1 \\ f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 6 x \\ f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 6 x (f^{'} (x) = 0 (نجعل)) \\ - 3 x^{2} + 6 x = 0] \div 3 \Rightarrow - x^{2} + 2 x = 0] \times - 1 \\ x^{2} - 2 x = 0 \Rightarrow x (x - 2) = 0 \\ (إما) x = 0 \\ (أو) x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \end{aligned}$

الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية $8$ وإن النقطة $(2, 8)$ نقطة نهاية عظمى محلية $y = 8, x = 2$ تحقق الدالة

$\begin{aligned} f (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + c \\ 8 = - (2)^{3} + 3 (2)^{2} + c \Rightarrow 8 = - 8 + 12 + c \Rightarrow c = 16 - 12 = 4 \end{aligned}$

الشكل

(3)- لتكن $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ دالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمة $a$ ثم بين هل أن الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية.

$\begin{aligned} f (x) = x^{2} + a x^{- 1} \\ f^{'} (x) = 2 x - a x^{- 2} \\ f^{''} (x) = 2 + 2 a x^{- 3} = 2 + \frac{2 a}{x^{3}} (f^{''} (x) = 0 (نجعل)), x = 1 \\ 2 + 2 a = 0 \Rightarrow 2 a = - 2 \Rightarrow a = - 1 \\ f (x) = x^{2} + \frac{a}{x} \Rightarrow f (x) = x^{2} + (\frac{- 1}{x}) \\ f^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x^{2}} \end{aligned} \begin{aligned} f^{'} (x) = 0 \\ [2 x + \frac{1}{x^{2}} = 0] \cdot x^{2} \\ 2 x^{3} - 1 = 0 \Rightarrow 2 x^{3} = - 1 \Rightarrow x^{3} = \frac{- 1}{2} \Rightarrow x = \sqrt[3]{- \frac{1}{2}} \\ f^{''} (x) = 2 - \frac{2}{x^{3}} \Rightarrow f^{''} (3 \sqrt{- \frac{1}{2}}) = 2 - \frac{2}{- \frac{1}{2}} = 2 + 4 = 6 > 0 \end{aligned}$

توجد نهاية صغرى عند $x = \sqrt[3]{- \frac{1}{2}}$ ولا تملك نهاية عظمى محلية.

(4)- إذا كان منحني الدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$ مقعر في ${x : x < 1}$ ومحدب في ${x : x > 1}$ ويمس المستقيم $y + 9 x = 28$ عند النقطة $(3, 1)$ فجد قيم الأعداد الحقيقية $a, b, c$

الدالة مستمرة لأنها كثيرة حدود ومقعرة في ${x : x < 1}$ ومحدبة في ${x : x > 1}$

الدالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x = 1$

$\begin{aligned} f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c \\ f' (x) = 3 a x^{2} + 2 b x \\ f'' (x) = 6 a x + 2 b \Rightarrow f'' (1) = 6 a + 2 b (f'' (1) = 0 (نجعل)) \\ 6 a + 2 b = 0 \dots \dots \dots (1) \end{aligned}$

ميل المماس للمستقيم $y + 9 x = 28$

$y^{'} + 9 = 0 \Rightarrow y^{'} = - 9 ∴ m = - 9$

$f' (3) ∴$ هو الميل للمماس لمنحني الدالة عند $x = 3$

$\begin{aligned} f' (3) = 3 a (3)^{2} + 2 b (3) = 27 a + 6 b \\ ∴ 27 a + 6 b = - 9] \div 3 \\ 9 a + 2 b = - 3 \dots \dots \dots \dots (2) \\ 6 a + 2 b = 0 \dots \dots \dots (1) \\ \mp 9 a \mp 2 b = + 3 \dots \dots \dots (2) (بالطرح) \\ - 3 a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{- 3} \Rightarrow a = - 1 \end{aligned}$

وبالتعويض عن قيمة a في المعادلة (1) نحصل على:

$6 (- 1) + 2 b = 0 \Rightarrow - 6 + 2 b = 0 \Rightarrow 2 b = 6 \Rightarrow b = 3$

$\exists (3, 1) ∴$ للمنحني فهي تحقق معادلة المنحني $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$

$1 = (- 1) (3)^{3} + 3 (3)^{2} + c \Rightarrow 1 = - 27 + 27 + c \Rightarrow c = 1$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

إيجاد الثوابت

(1)- عين قيمتي الثابتين $a, b$ لكي يكون لمنحتي الدالة $y = x^{3} + a x^{2} + b x$ نهاية عظمى محلية عند $x = - 1$ ونهاية صغرى محلية عند $x = 2$ ثم جد نقطة الانقلاب.

(2)- إذا كانت الدالة $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + c$ نهاية عظمى محلية تساوي $8$ ونقطة الانقلاب عند $x = 1$ نجد قيمة $a, c \in R$

(3)- لتكن $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ دالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمة $a$ ثم بين هل أن الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية.

(4)- إذا كان منحني الدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$ مقعر في ${x : x < 1}$ ومحدب في ${x : x > 1}$ ويمس المستقيم $y + 9 x = 28$ عند النقطة $(3, 1)$ فجد قيم الأعداد الحقيقية $a, b, c$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس إيجاد الثوابت ج2

فيديو شرح درس إيجاد الثوابت ج3

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

إيجاد الثوابت

(1)- عين قيمتي الثابتين a,b لكي يكون لمنحتي الدالة y=x3+ax2+bx نهاية عظمى محلية عند x=-1 ونهاية صغرى محلية عند x=2 ثم جد نقطة الانقلاب.

(2)- إذا كانت الدالة f(x)=ax3+3x2+c نهاية عظمى محلية تساوي 8 ونقطة الانقلاب عند x=1نجد قيمة a,c∈R

(3)- لتكن f(x)=x2+ax دالة تمتلك نقطة انقلاب عند x=1 جد قيمة a ثم بين هل أن الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية.

(4)- إذا كان منحني الدالة f(x)=ax3+bx2+c مقعر في {x:x<1} ومحدب في {x:x>1} ويمس المستقيم y+9x=28 عند النقطة 3,1 فجد قيم الأعداد الحقيقية a,b,c

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس إيجاد الثوابت ج2

فيديو شرح درس إيجاد الثوابت ج3

النقاشات

(1)- عين قيمتي الثابتين $a, b$ لكي يكون لمنحتي الدالة $y = x^{3} + a x^{2} + b x$ نهاية عظمى محلية عند $x = - 1$ ونهاية صغرى محلية عند $x = 2$ ثم جد نقطة الانقلاب.

(2)- إذا كانت الدالة $f (x) = a x^{3} + 3 x^{2} + c$ نهاية عظمى محلية تساوي $8$ ونقطة الانقلاب عند $x = 1$ نجد قيمة $a, c \in R$

(3)- لتكن $f (x) = x^{2} + \frac{a}{x}$ دالة تمتلك نقطة انقلاب عند $x = 1$ جد قيمة $a$ ثم بين هل أن الدالة تمتلك نهاية عظمى محلية.

(4)- إذا كان منحني الدالة $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c$ مقعر في ${x : x < 1}$ ومحدب في ${x : x > 1}$ ويمس المستقيم $y + 9 x = 28$ عند النقطة $(3, 1)$ فجد قيم الأعداد الحقيقية $a, b, c$