lesson دراستي - مبرهنتا رول والقيمة المتوسطة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

مبرهنتا رول والقيمة المتوسطة

مبرهنة رول (Rolle's Theorem):

إذا كانت f:

  1. مستمرة في الفترة المغلقة [a,b]
  2. قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة (a,b)
  3. f(b)=f(a)

فإنه يوجد على الأقل قيمة واحد c تنتمي إلى (a,b) وتحقق f'(c)=0

الشكل

ملاحظات:

  1. هذه النظرية تعني هندسياً وجود نقطة واحدة على الأقل تنتمي للمنحني وتكون موازية لمحور السينات.
  2. عند عدم توفر أحد الشروط الثلاثة فإن مبرهنة رول لا تنطبق.

(1)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة c الممكنة.

f(x)=(2x)2 , x[0,4]

  1. الدالة مستمرة على الفترة 0,4 لأنها كثيرة حدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة 0,4 لأنها كثيرة حدود.
  3. نجد f(4) , f(0)

f(0)=(20)2=4f(4)=(24)2=(2)2=4

f(0)=f(4) الدالة f تحقق مبرهنة رول ضمن الفترة المعطاة.

f'(x)=2(2x)(1)=2(2x)f'(c)=2(2c) , f'(c)=02(2c)=0]÷22c=0⇒∴c=2(0,4)

f(x)=9x+3x2x3 , x[1,1]

  1. الدالة مستمرة على الفترة -1,1 لأنها كثيرة حدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -1,1 لأنها كثيرة حدود.
  3. نجد f(-1) , f(1)

f(1)=9(1)+3(1)2(1)3=9+3+1=5f(1)=9(1)+3(1)2(1)3=9+31=11

f(1)f(1) فإن الدالة f لا تحقق مبرهنة رول لأن الشرط الثالث لم يتحقق.

f(x)={x2+1x[1,2]1x[4,1]

مجال الدالة = [4,2]

limx1+(x2+1)=(1)2+1=2=L1limx11=1=L2L1L2

الدالة غير مستمرة لأن الغاية غير موجودة عند x=1 وهو الحد الفاصل للفترة.

الدالة f لا تحقق مبرهنة رول.

f(x)=k , x[a,b]

  1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة [a,b] لأنها دالة ثابتة.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق في الفترة المفتوحة (a,b) لأنها كثيرة الحدود.
  3. f(a)=k , f(b)=k , f(a)=f(b)=k

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وإن قيمة c يمكن أن تكون أي قيمة ضمن الفترة لأن (a,b)f(c)=0 دائماً.

(2)- بين أن هذه الدوال الآتية تحقق مبرهنة رول؟

f(x)=x29 , x[0,5]

  1. الدالة غير مستمرة على 0,5 لأن الدالة غير معرفة.
  2. الدالة غير قابلة للاشتقاق على 0,5 لأنها غير معرفة عند x=3

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

f(x)=3x2x4 , x[1,3]

  1. الدالة غير مستمرة على x=2 لأن الدالة غير معرفة.
  2. الدالة غير قابلة للاشتقاق لأنها غير معرفة عند x=2

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

f(x)=x23 , x[1,1]

  1. الدالة مستمرة على -1,1 لأنها مستمرة على المجموعة الحقيقية R
  2. الدالة غير قابلة للاشتقاق على -1,1 لأنها غير معرفة عند x=0 ,skghp/ `g; ;hgNjd:

f(x)=x23f(x)=23x13=23x13=23x3

الدالة لا تحقق مبرهنة رول.

ملاحظة:

  • الدالة المطلقة دائماً مستمرة على أي فترة، ولكنها غير قابلة للاشتقاق عندما تكون x تجعل الدالة = 0
  • الدالة المثلثيةsinax , cosax هي دوال مستمرة وقابلة للاشتقاق دائماً لأن مجالها R

(3)- هل الدالة f(x)=cos2x , x[π4,π4] تحقق شروط مبرهنة رول ثم جد c إن أمكن.

  1. الدالة مستمرة على [π4,π4]
  2. الدالة قابلة للاشتقاق ومعرفة على [π4,π4]
  3. نجد f(a) , f(b)

f(a)=f(π4)=cos2(π4)=cosπ2=0f(b)=f(π4)=cos2(π4)=cosπ2=0f(a)=f(b)

f'(x)=2sin2xf'(c)=2sin2c , f'(c)=02sin2c=02c=0c=0 , 0(π4,π4)2c=πc=π2(π4,π4)

(4)- جد قيمة c للدالة f(x)=sinx+cosx , x[0,π2] التي تحقق شروط مبرهنة رول.

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول فنقوم بالاشتقاق

f(x)=sinx+cosxf'(x)=cosxsinxf'(c)=coscsinc , f'(c)=0coscsinc=0[cosc=sinc]÷cosc1=tanceither  c=π4(0,π2)orc=5π4(0,π2)

(5)- إذا كانت الدالة f(x)=x2+2x+1 , x[a,3] تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة a

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.

f(a)=f(3)a2+2a+1=(3)2+2(3)+1a2+2a+1=16a2+2a15=0(a+5)(a3)=0either  a=5or  a=3  يهمل ممكن غير

(6)- إذا كانت الدالة f(x)=ax2x3 , x[2,3] تحقق شروط مبرهنة رول جد قيمة a

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول.

f(2)=f(3)a(2)2(2)3=a(3)2(3)34a+8=9a279a+4a=8275a=35a=355=7

(7)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق لكل من الدوال التالية؟ ثم جد قيمة c عند تحقق المبرهنة:

f(x)=8x2x4 , x[2,2]

  1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة [2,2] لأنها كثيرة الحدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة 2,2 لأنها كثيرة الحدود.
  3. نجد f(2) , f(2)

f(2)=8(2)2(2)4=3216=16f(2)=8(2)2(2)4=3216=16f(2)=f(2)

f'(x)=16x4x3f'(c)=16c4c3 , f'(c)=0[16c4c3=0]÷44cc3=0c(4c2)=0either  c=0(2,2)or  c2=4c=±2(2,2)

(8)- بين هل أن مبرهنة رول تتحقق على الدوال الآتية؟ ثم جد قيمة c عند تحقق المبرهنة:

f(x)=sinx , [0,2π]

  1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة [0,2π] لأنها كثيرة الحدود.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة 0,2π لأنها كثيرة الحدود.
  3. نجد f(0) , f(2π)

f(0)=sin(0)=0f(2π)=sin(2π)=0f(0)=f(2π)

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض (x=c) ونفرض f'(c)=0

f(x)=sinxf'(x)=cosxf'(c)=cosccosc=0either  c=π2c=π2(0,2π) , orc=3π2(0,2π)

f(x)=9 , [5,9]

  1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة 5,9 لأنها دالة ثابتة.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة 5,9
  3. نجد f(5) , f(9)

f(5)=9f(9)=9f(5)=f(9)

الدالة تحقق مبرهنة رول وإن قيمة c يمكن أن تكون ضمن الفترة 5,9

f(x)=16x2 , x[2,2]

أوسع مجال للدالة -4,4

16x2=0x2=16x=±4

  1. الدالة مستمرة في الفترة المغلقة -4,4 لأنها مستمرة على الفترات الجزئية.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -4,4
  3. نجد f(2) , f(-2)

f(2)=16(2)2=164=12f(2)=16(2)2=164=12f(2)=f(2)

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض (x=c) ونفرض f'(c)=0

f'(x)=2x216x2=x16x2f'(c)=c16c2 , f'(c)=0c16c2=0c=0c=0(4,4)

ملاحظة: نقوم بتطبيق شروط الاستمرارية الثلاثة على الدوال النسبية.

f(x)=x21x2 , x[1,1]

  1. مجال الدالة هو R/2 حيث أن x20x2 الدالة مستمرة في الفترة المغلقة -1,1 لأن الفترة تقع ضمن مجالها.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة -1,1 لأن الفترة ضمن مجالها.
  3. نجد f(1) , f(1)

f(1)=(1)2112=01=0f(1)=(1)2112=03=0f(1)=f(1)

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول لذا نفرض (x=c) ونفرض f'(c)=0

f'(x)=(x2)(2x)(x21)(1)(x2)2=2x24xx2+1(x2)2=x24x+1(x2)2f'(c)=c24c+1(c2)2 , f'(c)=0

نستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلة:

c24c+1(c2)2=0c24c+1=0(42)2=(2)2=4c24c=1c24c+4=1+4(c2)2=3=بالجذرc2=±3c=±3+2 ,either  c=3+2(1,1)or   c=3+2(1,1)

f(x)=2sinxcos2x , x[0,π]

  1. الدالة مستمرة على الفترة المغلقة 0,π لأنها دوال مثلثية.
  2. الدالة قابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة 0,π لأن الفترة ضمن مجالها.
  3. نجد f(0) , f(π)

f(π)=2sinπcos2π=2(0)(1)=1f(0)=2sin(0)cos2(0)=2(0)(1)=1f(π)=f(0)

الدالة تحقق شروط مبرهنة رول وتوجد قيمة واحدة على الأقل c(a,b) وتحقق f'(c)=0

f'(x)=2cosx(sin2x.(2))=2cosx+2sin2xf'(c)=2cosc+2sin2c , f'(c)=02cosc+2sin2c=02cosc+2(2sinccosc)=02cosc+4sinc2cosc=02cosc(1+2sinc)=0either  2cosc=0cosc=0c=π2(0,π)or  1+2sinc=02sinc=1sinc=12θ=π6  الاسناد زاويةc=π+π6=7π6(0,π)

f(x)={x24x+6x<174xx1

74xx1   حدود كثيرة لأنها مستمرةx24x+6x<1   حدود كثيرة لأنها مستمرة

نطبق شروط الاستمرارية الثلاثة على هذا النوع من الدوال:

1) f(1)=74(1)=32)limx1+(74x)=74(1)=3=L1limx1(x24x+6)=(1)24(1)+6=3=L2L1=L2=3   موجودة الغاية3) f(1)=limx1f(x)=3   المعطاة الفترة على مستمرة الدالةf(x)={2x4x<14x1f(1)+=4f(1)=2(1)4=2

المشتقة من اليمين لا تساوي المشتقة من اليسار لذلك فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق ولا تحقق مبرهنة رول.

(9)- ابحث تحقق مبرهنة رول على الدالة f(x)=|x| , x[3,3]

f(x)=|x|={xx<0xx01) f(0)=02)limx0+(x)=0=L1limx0(x)=0=L2L1=L2=0   موجودة الغاية3) f(1)=limx0f(x)=0   المعطاة الفترة على مستمرة الدالةf(x)={1x<01x1f(0)+=1f(0)=1

المشتقة من اليمين لا تساوي المشتقة من اليسار لذلك فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق ولا تحقق مبرهنة رول.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

النقاشات