حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

المشتقة الضمنية

إذا كانت $y = f (x)$ دالة بدلالة $x$ فعند اشتقاق معادلة بدلالة $x, y$ بالنسبة إلى $x$ نضيف $y'$ أو $\frac{d y}{d x}$ بعد ل مشتقة ل $y$ وتستخدم المشتقة الضمنية عندما يكون قيمة أس $y$ أكبر من واحد كما يأتي:

(1)- إذا كانت $y = \cos 2 x$ فجد $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = - 2 \sin 2 x, \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 2 \cos 2 x \cdot (2) = - 4 \cos 2 x \\ \frac{d^{3} y}{d x^{3}} = 8 \sin 2 x \Rightarrow \frac{d^{4} y}{d x^{4}} = 16 \cos 2 x \end{aligned}$

(2)- إذا كانت $y^{2} + x^{2} = 1$ فأثبت أن $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + 1 = 0$

نشتق العلاقة المعطاة اشتقاقاً ضمنياً بالنسبة إلى $x$

$\begin{aligned} 2 y \frac{d y}{d x} + 2 x = 0] \div 2 \\ y \frac{d y}{d x} + x = 0 \Rightarrow y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} \cdot \frac{d y}{d x} + 1 = 0 \Rightarrow y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + 1 = 0 \end{aligned}$

(3)- لتكن $x y - 13 = 0$ حيث $x \neq 0, y \neq 0$ فجد المشتقة الثانية:

$\begin{aligned} x \frac{d y}{d x} + y - 0 = 0 \Rightarrow x \frac{d y}{d x} + y = 0 \\ x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} \cdot (1) + \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} + \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow x \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 0 \Rightarrow x y^{''} = - 2 y^{'} \\ ∴ y^{''} = \frac{- 2 y^{'}}{x} \end{aligned}$

(4)- إذا كانت $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ أثبت أن $y^{''} = - 4 \cos^{2} x$

$y = \cos^{2} x - \sin^{2} x \Rightarrow y = \cos 2 x y^{'} = - \sin 2 x . (2) = - 2 \sin 2 x \Rightarrow y^{''} = - 2 \cos 2 x \cdot (2) = - 4 \cos 2 x$

(5)- جد $y^{''''}$ للدالة $f (x) = x^{5} + 2 x^{3} + 3 x + 1$

$\begin{aligned} y' = 5 x^{4} + 6 x^{2} + 3 \\ y'' = 20 x^{3} + 12 x \\ y^{'''} = 60 x^{2} + 12 \\ y^{''''} = 120 x \end{aligned}$

(6)- إذا كانت $y = \sin^{4} x$ أثبت أن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 16 y = 12 \sin^{2} x$

$\begin{aligned} y = \sin^{4} x \Rightarrow y = [\sin x]^{4} \\ \frac{d y}{d x} = 4 [\sin x]^{3} \cdot [\cos x] \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 4 [\sin x]^{3} \cdot (- \sin x) + (\cos x) \cdot (12 \sin^{2} x) \cdot (\cos x) \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 4 \sin^{4} x + 12 \sin^{2} x \cos^{2} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 4 \sin^{4} x + 12 \sin^{2} x (1 - \sin^{2} x) \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 4 \sin^{4} x + 12 \sin^{2} x - 12 \sin^{4} x \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = - 16 \sin^{4} x + 12 \sin^{2} x \\ ∴ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 16 \sin^{4} x = 12 \sin^{2} x \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 16 y = 12 \sin^{2} x \end{aligned}$

(7)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$f (x) = \sin (2 x^{2} + x + 3)$

$f (x) = \sin (2 x^{2} + x + 3) \Rightarrow y^{'} = (4 x + 1) \cos (2 x^{2} + x + 3)$

$f (x) = \cot^{3} \sqrt{x}$

$f (x) = \cot^{3} \sqrt{x} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 1}{\underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}}} \csc^{2} \sqrt[3]{x}$

$f (x) = \sec \frac{1}{x}$

$f (x) = \sec \frac{1}{x} \Rightarrow y^{'} = \frac{- 1}{x^{2}} \sec \frac{1}{x} \tan \frac{1}{x}$

$f (x) = \cos x \tan x$

$f (x) = \cos x \tan x \Rightarrow y^{'} = \cos x \cdot \sec^{2} x + \tan x \cdot (- \sin x) = \cos x \cdot \sec^{2} x - \tan x \cdot \sin x$

(8)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

إذا كانت الدالة مرفوعة لقوة نضع القوة خارج القوس الكبير ثم نشتق الدالة حسب الدالة القوسية.

$f (x) = \sin^{3} (π x^{2} + 3 x + 2)$

$\begin{aligned} f (x) = {[\sin (π x^{2} + 3 x + 2)]}^{3} \\ f^{'} (x) = 3 {[\sin (π x^{2} + 3 x + 2)]}^{2} \cos (π x^{2} + 3 x + 2) (2 π x + 3) \end{aligned}$

$f (x) = \cos^{- 4} x^{2}$

$f (x) = \cos^{- 4} x^{2} \Rightarrow f (x) = {[\cos x^{2}]}^{- 4} \Rightarrow y^{'} = - 4 {[\cos x^{2}]}^{- 5} \cdot (\underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{- 2 x}} \sin x^{2})$

$f (x) = \sec^{\frac{2}{3}} x^{2}$

$f (x) = \sec^{\frac{2}{3}} x^{2} \Rightarrow f (x) = {[\sec x^{2}]}^{\frac{2}{3}} f^{'} (x) = \frac{2}{3} {[\sec x^{2}]}^{\frac{- 1}{3}} \cdot (\sec x^{2} \tan x^{2}) (\underset{الزاوية مشتقة}{\underset{⏟}{2 x}}) = \frac{4 x}{3} {[\sec x^{2}]}^{\frac{- 1}{3}} (\sec x^{2} \tan x^{2})$

(9)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$\sin (x y) = x^{2} + 3 y^{'}$

$\sin (x y) = x^{2} + 3 y \Rightarrow \cos x y [x y^{'} + y (1)] = 2 x + 3 y^{'} \begin{aligned} x y^{'} \cos x y + y \cos x y = 2 x + 3 y^{'} \\ x y^{'} \cos x y - 3 y^{'} = 2 x - y \cos x y \\ y^{'} (x \cos x y - 3) = 2 x - y \cos x y \Rightarrow y^{'} = \frac{2 x - y \cos x y}{x \cos x y - 3} \end{aligned}$

$\sqrt{\tan x} = 2 y^{2} + x$

$\frac{\sec^{2} x}{2 \sqrt{\tan x}} = 4 y y^{'} + 1 \Rightarrow \frac{\sec^{2} x}{2 \sqrt{\tan x}} - 1 = 4 y y^{'} \Rightarrow y^{'} = \frac{\frac{\sec^{2} x}{2 \sqrt{\tan x}} - 1}{4 y}$

(10)- جد $y^{'}$ لما يأتي: $y = (\sin x + \cos x)^{2}$

$\frac{d y}{d x} = 2 (\sin x + \cos x)^{1} (\underset{القوس داخل مشتقة}{\underset{⏟}{\cos x - \sin x}}) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 2 (\sin x + \cos x) (\cos x - \sin x) \begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 (\sin^{2} x - \cos^{2} x) (\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x) \\ \frac{d y}{d x} = 2 \cos 2 x \end{aligned}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

المشتقة الضمنية

(1)- إذا كانت $y = \cos 2 x$ فجد $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$

(2)- إذا كانت $y^{2} + x^{2} = 1$ فأثبت أن $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + 1 = 0$

(3)- لتكن $x y - 13 = 0$ حيث $x \neq 0, y \neq 0$ فجد المشتقة الثانية:

(4)- إذا كانت $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ أثبت أن $y^{''} = - 4 \cos^{2} x$

(5)- جد $y^{''''}$ للدالة $f (x) = x^{5} + 2 x^{3} + 3 x + 1$

(6)- إذا كانت $y = \sin^{4} x$ أثبت أن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 16 y = 12 \sin^{2} x$

(7)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$f (x) = \sin (2 x^{2} + x + 3)$

$f (x) = \cot^{3} \sqrt{x}$

$f (x) = \sec \frac{1}{x}$

$f (x) = \cos x \tan x$

(8)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$f (x) = \sin^{3} (π x^{2} + 3 x + 2)$

$f (x) = \cos^{- 4} x^{2}$

$f (x) = \sec^{\frac{2}{3}} x^{2}$

(9)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$\sin (x y) = x^{2} + 3 y^{'}$

$\sqrt{\tan x} = 2 y^{2} + x$

(10)- جد $y^{'}$ لما يأتي: $y = (\sin x + \cos x)^{2}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

المشتقة الضمنية

(1)- إذا كانت y=cos⁡2x فجد d4ydx4

(2)- إذا كانت y2+x2=1 فأثبت أن yd2ydx2+(dydx)2+1=0

(3)- لتكن xy−13=0 حيث x≠0 , y≠0 فجد المشتقة الثانية:

(4)- إذا كانت y=cos2⁡x−sin2⁡x أثبت أن y′′=−4cos2⁡x

(5)- جد y′′′′ للدالة f(x)=x5+2x3+3x+1

(6)- إذا كانت y=sin4⁡x أثبت أن d2ydx2+16y=12sin2⁡x

(7)- جد y′ للدوال الآتية:

f(x)=sin⁡(2x2+x+3)

f(x)=cot3⁡x

f(x)=sec⁡1x

f(x)=cos⁡xtan⁡x

(8)- جد y′ للدوال الآتية:

f(x)=sin3⁡(πx2+3x+2)

f(x)=cos−4⁡x2

f(x)=sec23⁡x2

(9)- جد y′ للدوال الآتية:

sin⁡(xy)=x2+3y′

tan⁡x=2y2+x

(10)- جد y′ لما يأتي: y=(sin⁡x+cos⁡x)2

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

فيديو شرح درس المشتقة الضمنية

النقاشات

(1)- إذا كانت $y = \cos 2 x$ فجد $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}$

(2)- إذا كانت $y^{2} + x^{2} = 1$ فأثبت أن $y \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + {(\frac{d y}{d x})}^{2} + 1 = 0$

(3)- لتكن $x y - 13 = 0$ حيث $x \neq 0, y \neq 0$ فجد المشتقة الثانية:

(4)- إذا كانت $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ أثبت أن $y^{''} = - 4 \cos^{2} x$

(5)- جد $y^{''''}$ للدالة $f (x) = x^{5} + 2 x^{3} + 3 x + 1$

(6)- إذا كانت $y = \sin^{4} x$ أثبت أن $\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 16 y = 12 \sin^{2} x$

(7)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$f (x) = \sin (2 x^{2} + x + 3)$

$f (x) = \cot^{3} \sqrt{x}$

$f (x) = \sec \frac{1}{x}$

$f (x) = \cos x \tan x$

(8)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$f (x) = \sin^{3} (π x^{2} + 3 x + 2)$

$f (x) = \cos^{- 4} x^{2}$

$f (x) = \sec^{\frac{2}{3}} x^{2}$

(9)- جد $y^{'}$ للدوال الآتية:

$\sin (x y) = x^{2} + 3 y^{'}$

$\sqrt{\tan x} = 2 y^{2} + x$

(10)- جد $y^{'}$ لما يأتي: $y = (\sin x + \cos x)^{2}$