القطع الناقص

القطع الناقص: هو مجموعة من النقط في المستوي التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين تسميان (البؤرتان) تساوي عدداً ثابتاً تساوي $\left(2a\right)$

$\because P{F}_1+P{F}_2=2a$

البؤرتان على المحور السيني والمركز نقطة الأصل $O(0,0)$

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

حيث $(a>c) , (a>b)$

البؤرتان على المحور الصادي والمركز نقطة الأصل $O(0,0)$

$\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$

إذا وقع المحور الكبير على محور السينات فإن البؤرتان والرأسان هما على محور السينات.

جدول يبين مفردات القطع الناقص في الحالتين:

خواص القطع الناقص:

1. $a>b,c$ حيث $(a,b,c>0)$
2. $c^2=a^2-b^2\Leftarrow a^2=b^2+c^2\Leftarrow a>b,c$
3. طول المحور الكبير $2a=$ (العدد الثابت).
4. طول المحور الصغير $2b=$
5. المسافة بين البؤرتين $2c=$ (البعد البؤري).
6. مساحة القطع الناقص: (وحدة مربعة $A=ab\pi$)
7. محيط القطع الناقص: ($\pi =\frac{22}{7}$ حيث $P=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$)
8. الاختلاف المركزي: $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}<1 , (0<e<1)$ أي أن $c=\sqrt{a^2-b^2}$
9. النسبة بين طولي محوريه $\frac{2a}{2b}=$
10. إذا مر القطع بنقطة أحد إحداثياتها صفر فالإحداثي الثاني هو إما $\left(a\right)$ أو $\left(b\right)$ والأكبر هو $\left(a\right)$ والأصغر هو $\left(b\right)$

ملاحظات:

1. إذا كان مقام الـ $\left(x^2\right)$ أكبر فالبؤرتان سينيتان وتكون المعادلة القياسية $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
2. إذا كان مقام الـ $\left(y^2\right)$ فالبؤرتان صاديتان وتكون المعادلة القياسية $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1$
3. الطرف الأيمن في معادلة القطع الناقص دائماً = 1
4. كل نقطة تنتمي إلى القطع الناقص تحقق معادلة القطع.

(1)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_2(-2,0) , F_1(2,0)$ والعدد الثابت $\left(6\right)$

• القطع الناقص $P(x,y)\in$
• حسب التعريف $\therefore P{F}_1+P{F}_2=2a$

فتكون معادلة القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& \sqrt{(x-2{)}^2+(y-0{)}^2}+\sqrt{(x+2{)}^2+(y-0{)}^2}=6\\ & F_2(-2,0)\\ & \sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=6-\sqrt{(x+2{)}^2+y^2} \left( \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع} \right)\\ & x^2-4x+4+y^2=36-12\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}+x^2+4x+4+y^2\\ & [12\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=36+8x]÷4\\ & 3\sqrt{(x+2{)}^2+y^2}=9+2x \left( \mathrm{الطرفين} \mathrm{بتربيع} \right)\\ & 9(x^2+4x+4+y^2)=81+36x+4x^2\\ & 9x^2+36x+36+9y^2=81+36x+4x^2\\ & 5x^2+9y^2=45]÷45\\ & \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1\end{array}$

القطع الناقص:

كمية ثابتة باستخدام القانون $p{F}_1+p{F}_2=2a$

$\sqrt{\mathrm{الأولى} \mathrm{وبؤرته} \mathrm{نقطة} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}} + \sqrt{\mathrm{الثانية} \mathrm{وبؤرته} \mathrm{نقطة} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}} = 2a$

انتبه الجذر لا يرفع كاملاً.

(2)- في كل مما يأتي جد طول كل من المحورين وإحداثيات كل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي.

$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$

$\begin{array}{rl}& a^2=25\Rightarrow a=5\Rightarrow \therefore V_1(5,0),V_2(-5,0)\\ & b^2=16\Rightarrow b=4\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=25-16=9\Rightarrow c=3\\ & \therefore F_1(3,0),F_2(-3,0) \left(\text{البؤرتان}\right)\\ & \therefore a=5\Rightarrow 2a=10 \left(\text{طول المحور الكبير}\right)\\ & \therefore b=4\Rightarrow 2b=8 \left(\text{طول المحور الصغير}\right)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}<1 \left(\text{الاختلاف المركزي}\right)\end{array}$

$4x^2+3y^2=\frac{4}{3}$

$\begin{array}{rl}& 4x^2+3y^2=\frac{4}{3}(\times \frac{3}{4})\\ & \frac{12x^2}{4}+\frac{9y^2}{4}=1\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{4}{12}}+\frac{y^2}{\frac{4}{9}}=1\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{3}}+\frac{y^2}{\frac{4}{9}}=1\\ & a^2=\frac{4}{9}\Rightarrow a=\frac{2}{3} , b^2=\frac{1}{3}\Rightarrow b=\frac{1}{\sqrt{3}}\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow c^2=\frac{4}{9}-\frac{1}{3}\Rightarrow c^2=\frac{4-3}{9}=\frac{1}{9}\Rightarrow c=\frac{1}{3}\\ & 2a=2\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3} \left(\text{طول المحور الكبير}\right)\\ & 2b=2\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}} \left(\text{طول المحور الصغير}\right)\\ & \therefore V_1(0,\frac{2}{3}) , V_2(0,\frac{-2}{3}) \left(\text{الرأسان}\right)\\ & F_1(0,\frac{1}{3}) , F_2(0,\frac{-1}{3})\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{3}\times \frac{3}{2}=\frac{1}{2}<1 \left(\text{الاختلاف المركزي}\right)\end{array}$

(3)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه $F_1(3,0) , F_2(-3,0)$ ورأساه $V_1(5,0) , V_2(-5,0)$ ومركزه نقطة الأصل.

البؤرتان والرأسان يقعان على المحور السيني فإن معادلة القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& \therefore \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ & c=3\Rightarrow c^2=9a=5\Rightarrow a^2=25\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow 9=25-b^2\Rightarrow b^2=25-9=16\therefore b=4\\ & \therefore \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}$

(4)- جد طول كل من المحورين وإحداثي كل من البؤرتين والرأسين والاختلاف المركزي والمحيط والمساحة لمعادلة القطع الناقص $16x^2+25y^2=400$

$$\begin{gathered} 16x^2+25y^2=400]÷400\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \\ \begin{array}{rl}& a^2=25\Rightarrow a=5\Rightarrow 2a=10 \left(\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\\ & b^2=16\Rightarrow b=4\Rightarrow 2b=8 \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right)\end{array} \\ {c}^2=a^2-b^2=25-16=9\Rightarrow c=3 \\ \begin{array}{rl}& F_1(3,0),F_2(-3,0) \left(\mathrm{البؤرتان}\right)\\ & V_1(5,0),V_2(-5,0) \left(\mathrm{الرأسان}\right)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5} \left(\mathrm{المركزي} \mathrm{الاختلاف}\right)\\ & A=ab\pi =\left(5\right)\left(4\right)\pi =20\pi \left(\mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}\right)\\ & P=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{25+16}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{41}{2}} \left(\mathrm{وحدة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وينطبق محوراه على المحورين الإحداثيين ويقطع من محور السينات جزءاً طوله $\left(8\right)$ وحدات ومن محور الصادات جزءاً طوله $\left(12\right)$ وحدة ثم جد المسافة بين بؤرتيه ومساحة منطقته ومحيطه واختلافه المركزي.

ما يقطعه من الصادات أكبر مما يقطعه من السينات فالبؤرتان صاديتان.

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\\ & 2a=12\Rightarrow a=6\Rightarrow a^2=36\\ & 2b=8\Rightarrow b=4\Rightarrow b^2=16\\ & \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{36}=1 \left(\mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& c^2=a^2-b^2=36-16=20\Rightarrow c=2\sqrt{5}\\ & 2c=4\sqrt{5} \left(\mathrm{البؤرتين} \mathrm{بين} \mathrm{المسافة}\right)\\ & A=ab\pi =24\pi \left(\mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}\right) .... \left(\mathrm{المساحة}\right)\\ & P=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{36+16}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{52}{2}}=2\pi \sqrt{26} .... \left(\mathrm{المحيط}\right)\\ & e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3} \left(\mathrm{المركزي} \mathrm{الاختلاف}\right)\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة: نقاط تقاطع القطع مع المحورين $(0,y) , (x,0)$ تمثل الرؤوس والأقطاب والأبعد إلى المركز هو الرأس.

(6)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بالنقطتين $(0,3) , (-4,0)$ ثم جد مساحته ومحيطه.

$\begin{array}{rl}& a=4 , b=3\therefore \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\\ & A=ab\pi =\left(4\right)\left(3\right)\pi =12\pi \left(\mathrm{مربعة} \mathrm{وحدة}\right)\\ & P=2\pi \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{16+9}{2}}=2\pi \sqrt{\frac{25}{2}}=5\sqrt{2}\pi \end{array}$

(7)- جد معادلة القطع الناقص إحدى بؤرتيه $(4,0)$ واختلافه المركزي $\left(\frac{1}{2}\right)$

البؤرة سينية فالمعادلة هي:

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \\ c=-3\Rightarrow c^2=9 \\ \frac{\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}}{\mathrm{الكبير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}}=\frac{4}{5}\Rightarrow \frac{2b}{2a}=\frac{4}{5}\Rightarrow b=\frac{4a}{5}...\left(1\right) \\ \begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2={\left(\frac{4a}{5}\right)}^2+9\\ & a^2-\frac{16a^2}{25}=9]\times 25\\ & 25a^2-16a^2=225\\ & 9a^2=225\Rightarrow a^2=25\Rightarrow a=5\end{array} \end{gathered}$$

نعوض قيمة (a) في معادلة (1)

$$\begin{gathered} b=\frac{4\left(5\right)}{5}=4\Rightarrow b^2=16 \\ \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

(8)- لتكن $k{x}^2+4y^2=36$ معادلة قطع ناقص مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه $(\sqrt{3},0)$ جد قيمة $\left(k\right)$

نقسم طرفي المعادلة على (36):

$\frac{k{x}^2}{36}+\frac{4y^2}{36}=1\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{36}{k}}+\frac{y^2}{9}=1$

البؤرة سينية فمعادلة القطع:

$\begin{array}{rl}& \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\\ & \Rightarrow a^2=\frac{36}{k} , b^2=9 , c=\sqrt{3}\\ & c^2=a^2-b^2\Rightarrow 3=\frac{36}{k}-9\Rightarrow \frac{36}{k}=3+9\Rightarrow \frac{36}{k}=12\Rightarrow k=\frac{36}{12}=3\end{array}$

(9)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه في نقطة الأصل وبؤرتاه على محور السينات والمسافة بين البؤرتين $\left(6\right)$ وحدات، والفرق بين طولي المحورين يساوي $\left(2\right)$ وحدة.

$2c=6\Rightarrow c=3$

$\left(a \mathrm{عن} \mathrm{بتعويض} \mathrm{نبدأ}\right) a=b+1\Leftarrow a-b=1\Leftarrow \left(2 \mathrm{على} \mathrm{بالقسمة}\right) 2a-2b=2 \left(\mathrm{المحورين} \mathrm{طولي} \mathrm{بين} \mathrm{الفرق}\right)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\\ & (b+1{)}^2=b^2+9\\ & b^2+2b+1=b^2+9\Rightarrow 2b+1=9\Rightarrow 2b=9-1\Rightarrow 2b=8\Rightarrow b=4\\ & b^2=16\Rightarrow a=4+1\\ & a=5\Rightarrow a^2=25\end{array} \\ \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

(10)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه في نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $y^2-12x=0$ وطول محوره الصغير يساوي $\left(10\right)$ وحدات.

من القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=12x\\ & y^2=4px\\ & 4p=12\Rightarrow p=3F(3,0) \left(\mathrm{البؤرة}\right)\end{array}$

من القطع الناقص:

$$\begin{gathered} 2b=10\Rightarrow b=5\Rightarrow b^2=25 \left(\mathrm{الصغير} \mathrm{المحور} \mathrm{طول}\right) \\ {F}_1(3,0) , F_2(-3,0) \left(\mathrm{البؤرتان}\right) \Rightarrow c=3\Rightarrow c^2=9 \\ \begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=25+9\Rightarrow a^2=34\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{34}+\frac{y^2}{25}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(11)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رأسيه هو بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $y^2=20x$ والنسبة بين طولي محوره الصغير والبعد بين البؤرتين $\frac{4}{3}$

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=4px\\ & y^2=20x\\ & 4p=20\Rightarrow p=5\Rightarrow F(5,0)\end{array}$

القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& V_1(5,0),V_2(-5,0)\Rightarrow a=5\\ & \frac{2b}{2c}=\frac{4}{3}\Rightarrow \frac{b}{c}=\frac{4}{3}\Rightarrow 3b=4c\Rightarrow c=\frac{3b}{4}\\ & a^2=b^2+c^2\\ & [25=b^2+\frac{9b^2}{16}]\times 16\\ & 400=16b^2+9b^2\Rightarrow 400=25b^2\\ & b^2=16\Rightarrow b=4\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1\end{array}$

(12)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه $(0,4)$ ومجموع مربعي طولي محوريه $136$

$\begin{array}{rl}& (2a{)}^2+(2b{)}^2=136\\ & [4a^2+4b^2=136]÷4\\ & a^2+b^2=34\Rightarrow a^2=34-b^2\dots \cdots \dots \left(1\right)\\ & c=4\Rightarrow c^2=16\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow 34-b^2=b^2+16\Rightarrow -2b^2=16-34\\ & -2b^2=-18\Rightarrow b^2=\frac{-18}{-2}=9\\ & a^2=34-9\Rightarrow a^2=25\Rightarrow \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(13)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرته نقطتان على محور السينات وأحد بؤرتيه تبعد عن الرأسين بالعددين $3 , 7$

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& 2a=7+3\\ & 2a=10\Rightarrow a=5\end{array} \\ {V}_1(5,0) , V_2(-5,0) \\ \begin{array}{rl}& 2c=7-3=4\Rightarrow c=2\Rightarrow c^2=4\Rightarrow c=\pm 2F_1(2,0) , F_2(-2,0)\\ & a^2=b^2+c^2\Rightarrow 25=b^2+4\Rightarrow b^2=25-4\Rightarrow b^2=21\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1\end{array} \end{gathered}$$

(14)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان إلى محور السينات ويمر بالنقطتين $(3,\frac{\sqrt{6}}{2})(2,2)$

لأن البؤرة تقع على محور السينات $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ بتعويض $(2,2)$ في المعادلة العامة:

$\frac{4}{a^2}+\frac{4}{b^2}=1\stackrel{(\times a^2{b}^2)}{⟹}4b^2+4a^2=a^2{b}^2$

بتعويض النقطة $(3,\frac{\sqrt{6}}{2})$ في المعادلة العامة:

$$\begin{gathered} \begin{array}{rl}& [\frac{9}{a^2}+\frac{\frac{6}{4}}{b^2}=1]\stackrel{(\times a^2{b}^2)}{⟹}9b^2+\frac{6}{4}{a}^2=a^2{b}^2\dots \dots \dots \left(2\right)\\ & 4b^2+4a^2=a^2{b}^2\dots \dots .\left(1\right)\\ & \mp 9b^2\mp \frac{6}{\mp }{a}^2=\mp a^2{b}^2\dots \dots \left(2\right) \left(\mathrm{بالطرح}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& -5b^2+\frac{10}{4}{a}^2=0\\ & [\frac{10}{4}{a}^2=5b^2]\stackrel{(\times 4)}{⟹}10a^2=20b^2\Rightarrow a^2=\frac{20b^2}{10}\Rightarrow a^2=2b^2 \left(\left(1\right) \mathrm{معادلة} \mathrm{في} \mathrm{نعوض}\right)\end{array} \\ \begin{array}{rl}& 4b^2+4\left(2b^2\right)=\left(2b^2\right)b^2\Rightarrow 4b^2+8b^2=2b^4\Rightarrow 12b^2=2b^4\stackrel{÷2b^2}{=}{b}^2=6\\ & a^2=2\left(6\right)\Rightarrow a^2=12\Rightarrow \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{6}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

ملاحظة عن السؤال التالي:

القطع يمر في النقطة $\left(3,0\right)$ هذه النقطة تقع على إحدى المحاور الإحداثية حيث النقطة $\left(3,0\right)$ تقع على المحور الإحداثي السيني لذلك هذه النقطة تمثل إما رأس القطع أو القطب، لذلك يجب أن ننتبه إلى الملاحظة وهي يجب أن تكون $a>b , a>c$ فمعادلة القطع المكافئ معلومة (نستخرج أولاً البؤرة للقطع المكافئ وستكون بؤرة القطع الناقص).

(15)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $y^2+8x=0$ ويمر بالنقطة $(3,0)$

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=-8x\\ & y^2=-4px\\ & -4p=-8\Rightarrow p=\frac{-8}{-4}\Rightarrow p=2\Rightarrow F(-2,0)\end{array}$

القطع الناقص:

$\begin{array}{rl}& V_1(3,0) , V_2(-3,0) , F_1(2,0) , F_2(-2,0)\\ & a^2=b^2+c^2\\ & 9=b^2+4\Rightarrow b^2=9-4\Rightarrow b^2=5\Rightarrow \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(16)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $2y^2-16x=0$ ويمر بالنقطة $(0,-5)$

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& [2y^2-16x=0]÷2\\ & y^2=8x\\ & y^2=4px\Rightarrow 4p=8\Rightarrow p=2\Rightarrow F(2,0)\end{array}$

القطع الناقص:

لأن النقطة تقع على غير محور البؤرة في القطع الناقص فهي تمثل القطبين.

$$\begin{gathered} (0,-5),(0,5) \left(\mathrm{هما} \mathrm{القطبين}\right) \Rightarrow b=5\Rightarrow b^2=25 \\ \begin{array}{rl}& {\mathrm{F}}_1(2,0) , {\mathrm{F}}_2(-2,0)\Rightarrow c=2\Rightarrow c^2=4\\ & a^2=b^2+c^2\\ & a^2=25+4\Rightarrow a^2=29\Rightarrow \frac{x^2}{29}+\frac{y^2}{25}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(17)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل والمار ببؤرة القطع المكافئ $x^2+12y=0$ والبعد بين بؤرتيه يساوي $6$ وحدة طول.

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& x^2=-12y\\ & x^2=-4py\Rightarrow -4p=-12\Rightarrow p=\frac{12}{4}=3 , F(0,-3)\end{array}$

القطع الناقص:

$2c=6\Rightarrow c=3\Rightarrow c^2=9$

نلاحظ أن قيمة $c=3$ ولا يجوز أن تكون بدل قيمة $a$ لأن قيمة $a$ أكبر من قيمة $c$ لذلك تعتبر $(0,-3)$ هي $b$

$\begin{array}{rl}& a^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=9+9\Rightarrow a^2=18\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{9}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(18)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بنقطتي تقاطع المستقيم $2x-y=8$ مع المحورين الإحداثيين.

إذا مر القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل بنقطتي تقعان في ربعين متجاورين فإن الرأس يمثل النقطة ذات المطلق الأكبر (أي يجرد العدد من الإشارة) والقطب يمثل النقطة ذات المطلق الأصغر.

$$\begin{gathered} 2x-\left(0\right)=8\Rightarrow 2x=8\Rightarrow x=4\Rightarrow (4,0) \left(y=0\right) \\ 2\left(0\right)-y=8\Rightarrow y=8\Rightarrow (0,8) \left(x=0\right) \\ \begin{array}{rl}& 2\left(0\right)-y=8\Rightarrow y=8\Rightarrow (0,8)\\ & a=8\Rightarrow a^2=64,b=4\Rightarrow b^2=16\\ & \frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{64}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array} \end{gathered}$$

(19)- جد معادلة القطع الناقص الذي يمر بنقطة تقاطع المستقيم $2x+3y=12$ مع محور السينات حيث مساحة المنطقة لهذا القطع $24\pi$

$2x+3y=12\Rightarrow 2x+3\left(0\right)=12\Rightarrow 2x=12\Rightarrow x=6\Rightarrow (6,0)$

المستقيم قطع الإحداثي السيني في النقطة $\left(6,0\right)$

$\begin{array}{rl}& V_1(6,0),V_2(-6,0),a=6\Rightarrow a^2=36\\ & A=ab\pi , 24\pi =6b\pi \Rightarrow b=\frac{24\pi }{6\pi }\\ & (0,4) , (0,-4)=b=4\Rightarrow b^2=16\\ & \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\Rightarrow \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right)\end{array}$

(20)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ $x^2=-24y$ ويمس دليل القطع المكافئ $y^2+16x=0$

القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& x^2=-24y\\ & x^2=-4py\Rightarrow 4p=24\Rightarrow p=\frac{24}{4}=6\Rightarrow F(0,-6)\end{array}$

دليل القطع المكافئ:

$\begin{array}{rl}& y^2=-4px\\ & y^2=-16x\Rightarrow 4p=16\Rightarrow p=\frac{16}{4}=4\end{array}$

$\left(4,0\right)$ تنتمي للقطع الناقص

$$\begin{gathered} b=4\Rightarrow b^2=16 \\ {F}_2(0,-6) , F_1(0,6) \left(\mathrm{البؤرتان}\right) \\ {a}^2=b^2+c^2\Rightarrow a^2=16+36=52\Rightarrow \frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{52}=1 \left(\mathrm{الناقص} \mathrm{القطع} \mathrm{معادلة}\right) \end{gathered}$$

ملاحظات لرسم القطع الناقص:

1. نعين $V_1(a,0) , V_2(-a,0)$
2. نعين $M_1(0,b) , M_2(0,-b)$
3. نصل بين النقاط الأربعة $V_1\hspace{0.17em}, V_2 ,\hspace{0.17em}{M}_1 , M_2$ بالترتيب حتى يكون منحني متصل.
4. نعين البؤرتين $F_1(c,0) , F_2(-c,0)$