للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط $(11, - 10), (- 13, - 10)$ والذي رأسه $(- 1, 2)$

قيمة المحور الصادي للنقطتين ثابتة وهذا يدل على أن محور التماثل هو (x)

$∴ x = \frac{x_{1} + x_{2}}{2} = \frac{- 13 + 11}{2} = \frac{- 2}{2} = - 1 \Rightarrow x = - 1$

نلاحظ ان محور التماثل يوازي المحور الصادي وهذا يعني أن القانون هو $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$

صيغة معادلة القطع المكافئ $∴ (x + 1)^{2} = 4 p (y - 2)$

النقطة $∋ (11, - 10)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته

$(12)^{2} = 4 p (- 12) \Rightarrow 12 = - 4 p \Rightarrow p = - 3 الأسفل نحو الفتحة ∴ (x + 1)^{2} = 4 (- 3) (y - 2) \Rightarrow (x + 1)^{2} = - 12 (y - 2) المكافئ القطع معادلة$

(2)- النقط $(- 12, - 6), (4, - 6), (0, 0)$ تنتمي للقطع المكافئ $y = a x^{2} + b x + c$ جد إحداثي البؤرة ومعادلة الدليل والرأس والبعد البؤري.

النقطة $\exists (0, 0)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y = a x^{2} + b x + c$

$0 = 0 + 0 + c \Rightarrow c = 0$

النقطة $\exists (4, - 6)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y = a x^{2} + b x + c$

$- 6 = 16 a + 4 b + 0] \div 2 \Rightarrow 8 a + 2 b = - 3 \dots \dots (1)$

النقطة $\exists (- 12, - 6)$ للقطع المكافئ لذا فهي تحقق معادلته $y = a x^{2} + b x + c$

$- 6 = 144 a - 12 b + 0] \div 6 \Rightarrow 24 a - 2 b = - 1 . . . (2)$

نحل المعادلتين حلاً آنياً فنحصل على:

$\begin{aligned} 8 a + 2 b = - 3 \\ 24 a - 2 b = - 1 \dots (2) \end{aligned}$

نعوض في (1) فتكون معادلة القطع المكافئ:

$32 a = - 4 \Rightarrow a = \frac{- 1}{8} \begin{aligned} 8 (\frac{- 1}{8}) + 2 b = - 3 \Rightarrow - 1 + 2 b = - 3 \Rightarrow 2 b = - 2 \Rightarrow b = - 1 \\ ∴ y = \frac{- 1}{8} x^{2} - x \Rightarrow 8 y = - x^{2} - 8 x \Rightarrow x^{2} + 8 x = - 8 y \end{aligned}$

بإضافة (16) إلى طرفي معادلة القطع المكافئ حتى تكون حدود (x) بشكل مربع كامل ${(\frac{8}{2})}^{2} = (4)^{2} = 16$

$x^{2} + 8 x + 16 = - 8 y + 16 \Rightarrow (x + 4)^{2} = - 8 y + 16 \Rightarrow (x + 4)^{2} = - 8 (y - 2)$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ $(x - h)^{2} = - 4 p (y - k)$ نحصل على:

الرأس:

$h = - 4, k = 2 \Rightarrow \bar{V} (h, k) = \bar{V} (- 4, 2)$

البؤرة:

$∵ - 4 p = - 8 \Rightarrow p = 2 \Rightarrow F (h, - p + k) = F (- 4, - 2 + 2) = F (- 4, 0)$

معادلة المحور:

$∵ x = h ⟹ x = - 4$

معادلة الدليل:

$∵ y = p + k \Rightarrow y = 2 + 2 \Rightarrow y = 4$

البعد البؤري:

$4 p = 4 (2) = 8$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته $(5, 0)$

البؤرة تنتمي لمحور السينات $\Leftarrow x - a x i s$ معادلة القطع المكافئ هي $y^{2} = 4 p x$

$∵ (p, 0) = (5, 0) \Rightarrow p = 5 ∴ y^{2} = 4 (5) x \Rightarrow y^{2} = 20 x \forall x > 0$

بؤرته $(0, 3)$

البؤرة تنتمي لمحور الصادات $\Leftarrow y - a x i s$ معادلة القطع المكافئ هي $x^{2} = 4 p y$

$∵ (0, p) = (0, 3) \Rightarrow p = 3 ∴ x^{2} = 4 (3) x \Rightarrow x^{2} = 12 x \forall y > 0$

معادلة دليله $2 y - 6 = 0$

البؤرة:

$∵ 2 y - 6 = 0 \Rightarrow 2 y = 6 \Rightarrow y = 3 \Rightarrow p = - 3 \Rightarrow F (0, - 3)$

معادلة القطع المكافئ:

$\begin{aligned} ∴ x^{2} = - 4 p y \\ x^{2} = - 4 (- 3) y \Rightarrow x^{2} = 12 y \end{aligned}$

بؤرته تنتمي لمحور الصادات ويمر بالنقطة $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$

البؤرة تنتمي لمحور الصادات $\Leftarrow y - a x i s$ معادلة القطع المكافئ هي $x^{2} = 4 p y$

النقطة $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$ تنتمي للقطع فهي تحقق معادلته.

معادلة القطع المكافئ:

$\begin{aligned} (\sqrt{2})^{2} = 4 p \frac{1}{2} \Rightarrow 2 = 2 p \Rightarrow p = 1 \\ ∵ x^{2} = 4 p y \Rightarrow x^{2} = 4 (1) y \Rightarrow x^{2} = 4 y \end{aligned}$

يمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - \sqrt{5})$ جد معادلته ومعادلة دليله.

النقطتان متناظرتان حول محور السينات (لأن قيمة $x$ ثابتة لم تتغير) معادلته $y^{2} = 4 p x$

نعوض إحدى النقطتين لأن يمر بها فتكون معادلة الدليل:

$(2 \sqrt{5})^{2} = 4 p (1) \Rightarrow 20 = 4 p \Rightarrow p = 5 \Rightarrow x = - 5$

معادلة القطع المكافئ:

$∵ y^{2} = 4 p x = 4 (5) x \Rightarrow y^{2} = 20 x$

بؤرته تنتمي لمحور السينات ودليله يمر بالنقطة $(2, - 4)$

البؤرة تنتمي لمحور السينات $\Leftarrow x - a x i s$ معادلة القطع المكافئ هي $y^{2} = - 4 p x$

دليله يمر بالنقطة $(2, - 4)$ لذا فإن $x = 2$ هي معادلة القطع الدليل يقطع الإحداثي السيني $p = - 2$

معادلة القطع المكافئ:

$p = - 2 \Rightarrow y^{2} = - 4 p x \Rightarrow y^{2} = - 4 (- 2) x \Rightarrow y^{2} = 8 x$

رأسه نقطة الأصل وبؤرته مركز الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 y + 1 = 0$

مركز الدائرة=(معامل $- y / 2$ , معامل $- x / 2$ )= $(\frac{0}{2}, \frac{- (- 4)}{2})$ = $(0, 2)$ =البؤرة

$p = 2$ والبؤرة تنتمي لمحور الصادات ومعادلة القطع المكافئ:

$x^{2} = 4 p y \Rightarrow x^{2} = 4 (2) y \Rightarrow x^{2} = 8 y$

دليله يوازي المحور الصادي ومعادلة محوره $y = 0$ ويمر بالنقطة $(- 2, 1)$

الدليل يقطع الإحداثي السيني السالب والبؤرة تقع على الإحداثي السيني الموجب.

معادلة القطع المكافئ:

$y^{2} = 4 p x$

القطع يمر بالنقطة $(- 2, 1)$ لذا فهي تحققه

معادلة القطع المكافئ:

$∵ y^{2} = 4 p x \Rightarrow (1)^{2} = 4 p (- 2) \Rightarrow 1 = - 8 p \Rightarrow p = \frac{- 1}{8} ∴ y^{2} = 4 (\frac{- 1}{8}) x \Rightarrow y^{2} = \frac{- 1}{2} x$

يقطع من المستقيم $x = 4$ قطعة طولها $(10)$ وحدات.

رأسي القطع المكافئ:

$∵ 2 y = 10 \Rightarrow y = 5 \Rightarrow (4, 5) (4, - 5)$

التناظر حول محور السينات $\Leftarrow$ معادلة القطع المكافئ $y^{2} = 4 p x$ والنقطة $(4, 5)$ تحققه

$\begin{aligned} y^{2} = 4 p x \Rightarrow (5)^{2} = 4 p (4) \Rightarrow 25 = 16 p \Rightarrow p = \frac{25}{16} \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow y^{2} = 4 (\frac{25}{16}) x \Rightarrow y^{2} = (\frac{25}{4}) x \end{aligned}$

الشكل

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته الصيغة الديكارتية للعدد $z = \frac{- 4 + 2 i}{2 - i}$

الصيغة الديكارتية:

$z = \frac{- 4 + 2 i}{2 - i} \times \frac{2 - i}{2 - i} = \frac{- 8 - 4 i + 4 i - 2}{5} = \frac{- 10}{5} = - 2 \Rightarrow (- 2, 0)$

البؤرة:

$∴ (- 2, 0) = (p, 0) \Rightarrow p = - 2$

معادلة القطع المكافئ:

$∴ y^{2} = 4 p x = 4 (- 2) x \Rightarrow y^{2} = - 8 x$

بؤرته تنتمي لأحد المحورين ودليله يمر بالنقطة $(3, 4)$

الدليل يمر بالنقطة $(3, 4)$ ولم يحدد لأي المحورين يوازي $\Leftarrow$ يوجد دليلان $p = 3, p = 4$

يوجد بؤرتان الثانية $(0, - 4)$ والأولى $(- 3, 0)$ مما يعني قطعان مكافئان.

معادلة القطع المكافئ الأول:

$∴ y^{2} = - 4 p x = - 4 (3) x \Rightarrow y^{2} = - 12 x$

معادلة القطع المكافئ الثاني:

$∴ x^{2} = - 4 p y = - 4 (4) y \Rightarrow x^{2} = - 16 y$

يمر برؤوس المثلث $A B C$ حيث $A (0, 0), B (- 2, 4), C (2, m)$ ثم أوجد قيمة $m$

النقطة $\exists (2, m)$ للربع الأول لكي يتحقق القطع، لأنه لو كانت في الرب الرابع أصبح خطاً مستقيماً.

البؤرة تقع على المحور الصادي والقانون $x^{2} = 4 p y$

القطع يمر بالنقطة $(- 2, 4)$ فهي تحققه

$∴ (- 2)^{2} = 4 p (4) \Rightarrow 4 = 16 p \Rightarrow p = \frac{4}{16} \Rightarrow p = \frac{1}{4} \Rightarrow x^{2} = 4 p y = 4 (\frac{1}{4}) y \Rightarrow x^{2} = y$

النقطة $(2, m)$ تقع على القطع لذا فهي تحقق معادلة القطع:

$∴ (2)^{2} = m \Rightarrow m = 4$

رأسه نقطة الأصل ومعادلة دليله $2 y + \sqrt{3} = 0$

معادلة القطع المكافئ:

$2 y + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2 y = - \sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{- \sqrt{3}}{2} \Rightarrow p = \frac{\sqrt{3}}{2} ∵ x^{2} = 4 p y = 4 (\frac{\sqrt{3}}{2}) y \Rightarrow x^{2} = 2 \sqrt{3} y$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط $(11, - 10), (- 13, - 10)$ والذي رأسه $(- 1, 2)$

(2)- النقط $(- 12, - 6), (4, - 6), (0, 0)$ تنتمي للقطع المكافئ $y = a x^{2} + b x + c$ جد إحداثي البؤرة ومعادلة الدليل والرأس والبعد البؤري.

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته $(5, 0)$

بؤرته $(0, 3)$

معادلة دليله $2 y - 6 = 0$

بؤرته تنتمي لمحور الصادات ويمر بالنقطة $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$

يمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - \sqrt{5})$ جد معادلته ومعادلة دليله.

بؤرته تنتمي لمحور السينات ودليله يمر بالنقطة $(2, - 4)$

رأسه نقطة الأصل وبؤرته مركز الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 y + 1 = 0$

دليله يوازي المحور الصادي ومعادلة محوره $y = 0$ ويمر بالنقطة $(- 2, 1)$

يقطع من المستقيم $x = 4$ قطعة طولها $(10)$ وحدات.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته الصيغة الديكارتية للعدد $z = \frac{- 4 + 2 i}{2 - i}$

بؤرته تنتمي لأحد المحورين ودليله يمر بالنقطة $(3, 4)$

يمر برؤوس المثلث $A B C$ حيث $A (0, 0), B (- 2, 4), C (2, m)$ ثم أوجد قيمة $m$

رأسه نقطة الأصل ومعادلة دليله $2 y + \sqrt{3} = 0$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط (11,−10),(−13,−10) والذي رأسه (−1,2)

(2)- النقط (−12,−6) , (4,−6),(0,0) تنتمي للقطع المكافئ y=ax2+bx+c جد إحداثي البؤرة ومعادلة الدليل والرأس والبعد البؤري.

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته (5,0)

بؤرته (0,3)

معادلة دليله 2y−6=0

بؤرته تنتمي لمحور الصادات ويمر بالنقطة (2,12)

يمر بالنقطتين (1,25) , (1,−5) جد معادلته ومعادلة دليله.

بؤرته تنتمي لمحور السينات ودليله يمر بالنقطة (2,−4)

رأسه نقطة الأصل وبؤرته مركز الدائرة التي معادلتها x2+y2−4y+1=0

دليله يوازي المحور الصادي ومعادلة محوره y=0 ويمر بالنقطة (−2,1)

يقطع من المستقيم x=4 قطعة طولها (10) وحدات.

(4)- جد معادلة القطع المكافئ الذي رأسه نقطة الأصل ويحقق الشروط التالية:

بؤرته الصيغة الديكارتية للعدد z=−4+2i2−i

بؤرته تنتمي لأحد المحورين ودليله يمر بالنقطة 3,4

يمر برؤوس المثلث ABC حيث A(0,0) , B(−2,4) , C(2,m) ثم أوجد قيمة m

رأسه نقطة الأصل ومعادلة دليله 2y+3=0

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

(1)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقاط $(11, - 10), (- 13, - 10)$ والذي رأسه $(- 1, 2)$

(2)- النقط $(- 12, - 6), (4, - 6), (0, 0)$ تنتمي للقطع المكافئ $y = a x^{2} + b x + c$ جد إحداثي البؤرة ومعادلة الدليل والرأس والبعد البؤري.

بؤرته $(5, 0)$

بؤرته $(0, 3)$

معادلة دليله $2 y - 6 = 0$

بؤرته تنتمي لمحور الصادات ويمر بالنقطة $(\sqrt{2}, \frac{1}{2})$

يمر بالنقطتين $(1, 2 \sqrt{5}), (1, - \sqrt{5})$ جد معادلته ومعادلة دليله.

بؤرته تنتمي لمحور السينات ودليله يمر بالنقطة $(2, - 4)$

رأسه نقطة الأصل وبؤرته مركز الدائرة التي معادلتها $x^{2} + y^{2} - 4 y + 1 = 0$

دليله يوازي المحور الصادي ومعادلة محوره $y = 0$ ويمر بالنقطة $(- 2, 1)$

يقطع من المستقيم $x = 4$ قطعة طولها $(10)$ وحدات.

بؤرته الصيغة الديكارتية للعدد $z = \frac{- 4 + 2 i}{2 - i}$

بؤرته تنتمي لأحد المحورين ودليله يمر بالنقطة $(3, 4)$

يمر برؤوس المثلث $A B C$ حيث $A (0, 0), B (- 2, 4), C (2, m)$ ثم أوجد قيمة $m$

رأسه نقطة الأصل ومعادلة دليله $2 y + \sqrt{3} = 0$