للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (1-2)

(1)- جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يأتي ثم ارسم المنحني البياني لها:

البؤرة $(5, 0)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(5, 0)$ سينية موجبة (الفتحة نحو اليمين):

معادلة الدليل:

$p = 5 \Rightarrow x = - 5$

$y^{2} = 4 p x \Rightarrow y^{2} = 4 (5) x \Rightarrow y^{2} = 20 x$

5	2	1	0	x
$\pm 10$	$\pm 2 \sqrt{10}$	$\pm 2 \sqrt{5}$	0	y

الشكل 1

البؤرة $(0, - 4)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, - 4)$ صادية سالبة (الفتحة نحو الأسفل):

معادلة الدليل:

$p = 4 \Rightarrow y = 4$

$x^{2} = - 4 p y \Rightarrow x^{2} = - 4 (4) y \Rightarrow x^{2} = - 16 y$

$\pm 4 \sqrt{2}$	$\pm 4$	0	x
2-	1-	0	y

الشكل 2

البؤرة $(0, \sqrt{2})$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, \sqrt{2})$ صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

معادلة الدليل:

$p = \sqrt{2} \Rightarrow y = - \sqrt{2}$

$x^{2} = 4 p y \Rightarrow x^{2} = 4 \sqrt{2} y$

$\pm 2 \sqrt{2}$	$\pm 2 \sqrt{\sqrt{2}}$	0	x
$\sqrt{2}$	1	0	y

الشكل 3

معادلة دليل القطع المكافئ $4 y + 3 = 0$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل:

$4 y + 3 = 0 \Rightarrow 4 y = - 3 \Rightarrow y = \frac{- 3}{4}$

البؤرة:

$y = - p \Rightarrow p = \frac{3}{4} \Rightarrow F (0, \frac{3}{4})$

نلاحظ بأن البؤرة صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

$\begin{aligned} x^{2} = 4 p y & \Rightarrow x^{2} = 4 (\frac{3}{4}) y \\ \Rightarrow x^{2} = 3 y \end{aligned}$

$\pm \sqrt{6}$	$\pm \sqrt{3}$	0	x
2-	1-	0	y

الشكل

(2)- في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل والقطع المكافئ:

$x^{2} = 4 y$

الفتحة نحو الأعلى:

$\begin{aligned} (x - 0)^{2} = 4 (y - 0) \\ (x - h)^{2} = 4 p (y - k) \\ h = 0, k = 0, 4 p = 4 \Rightarrow p = 1 \end{aligned}$

البؤرة:

$F (0, p) = F (0, 1)$

الرأس:

$V (h, k) = V (0, 0)$

معادلة المحور:

$x = 0$

معادلة الدليل:

$y = - 1$

$2 x + 16 y^{2} = 0$

الفتحة نحو اليسار:

$\begin{aligned} 16 y^{2} = - 2 x \Rightarrow y^{2} = \frac{- 1}{8} x \Rightarrow (y - 0)^{2} = \frac{- 1}{8} (x - 0) \\ (y - k)^{2} = - 4 p (x - h) \\ h = 0, k = 0, 4 p = \frac{1}{8} \Rightarrow p = \frac{1}{32} \end{aligned}$

البؤرة:

$F (- p, 0) = F (- \frac{1}{32}, 0)$

الرأس:

$V (h, k) = V (0, 0)$

معادلة المحور:

$y = 0$

معادلة الدليل:

$x = \frac{1}{32}$

$y^{2} = - 4 (x - 2)$

بالمقارنة مع المعادلة القياسية للقطع المكافئ $(y - k)^{2} = - 4 p (x - h)$ نحصل على:

$\begin{aligned} (y - 0)^{2} = - 4 (x - 2) اليسار نحو الفتحة \\ h = 2, k = 0, - 4 p = - 4 \Rightarrow p = 1 \\ \bar{F} (- p + h, k) = \bar{F} (- 1 + 2, 0) = \bar{F} (1, 0) البؤرة \\ \bar{V} (h, k) = \bar{V} (2, 0) الرأس \\ y = 0 المحور معادلة \\ ∵ x = p + h \Rightarrow x = 1 + 2 = 3 الدليل معادلة \end{aligned}$

$(x - 1)^{2} = 8 (y - 1)$

$\begin{aligned} (x - h)^{2} = 4 p (y - k) الأعلى نحو الفتحة \\ h = 1, k = 1, 4 p = 8 \Rightarrow p = 2 \\ \bar{F} (h, p + k) = \bar{F} (1, 3) البؤرة \\ \bar{V} (h, k) = \bar{V} (1, 1) الرأس \\ x = 1 المحور معادلة \\ ∵ y = - p + k \Rightarrow y = - 2 + 1 = - 1 الدليل معادلة \end{aligned}$

$y^{2} + 4 y + 2 x = - 6$

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود y في طرف وحدود x في الطرف الآخر.

$y^{2} + 4 y = - 2 x - 6$

نضيف 4 إلى طرفي معادلة القطع المكافئ حتى تكون حدود y بشكل مربع كامل.

$\begin{aligned} y^{2} + 4 y + 4 = - 2 x - 6 + 4 \\ (y + 2)^{2} = - 2 x - 2 اليسار نحو الفتحة \\ (y + 2)^{2} = - 2 (x + 1) \\ (y - k)^{2} = - 4 p (x - h) \end{aligned} \begin{aligned} h = - 1, k = - 2, - 4 p = - 2 \Rightarrow p = \frac{1}{2} \\ \bar{F} (- p + h, k) = \bar{F} (\frac{- 3}{2}, - 2) البؤرة \\ \bar{V} (h, k) = \bar{V} (- 1, - 2) الرأس \\ y = - 2 المحور معادلة \\ ∵ x = p + h \Rightarrow x = \frac{1}{2} - 1 = \frac{- 1}{2} الدليل معادلة \end{aligned}$

$x^{2} + 6 x - y = 0$

نرتب المعادلة بحيث تكون حدود y في طرف وحدود x في الطرف الآخر.

$x^{2} + 6 x = y$

نضيف 9 إلى طرفي المعادلة حتى تكون حدود x بشكل مربع كامل.

$\begin{aligned} x^{2} + 6 x + 9 = y + 9 \\ (x + 3)^{2} = y + 9 الأعلى نحو الفتحة \\ (x - h)^{2} = 4 p (y - k) \\ h = - 3, k = - 9, 4 p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{4} \\ \bar{F} (h, p + k) = \bar{F} (- 3, \frac{1}{4} - 9) = \bar{F} (- 3, \frac{- 35}{4}) البؤرة \\ \bar{V} (h, k) = \bar{V} (- 3, - 9) الرأس \\ x = - 3 المحور معادلة \\ y = - p + k \Rightarrow y = - \frac{1}{4} - 9 = \frac{- 1 - 36}{4} = \frac{- 37}{4} الدليل معادلة \end{aligned}$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين $(2, 5), (2, - 5)$ والرأس في نقطة الأصل.

نلاحظ بأن الإحداثي السيني في النقطتين متساويين وموجبين فتكون المعادلة (سينية موجبة):

النقطتان تحققان المعادلة $y^{2} = 4 p x$

$25 = 4 p (2) \Rightarrow 25 = 8 p \Rightarrow p = \frac{25}{8}$

المعادلة هي $y^{2} = 4 (\frac{25}{8}) x \Rightarrow y^{2} = (\frac{25}{2}) x$

(4)- إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة $(- 3, 4)$ والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

البؤرة تنتمي لأحد المحورين أي أن هنالك احتمالان:

البؤرة السينية

البؤرة الصادية

معادلة الدليل:

$∵ x = - 3 \Rightarrow p = 3 \begin{aligned} ∵ y^{2} = 4 p x & \Rightarrow y^{2} = 4 (3) x \\ \Rightarrow y^{2} = 12 x \end{aligned}$

معادلة الدليل:

$y = 4 \Rightarrow p = 4 \begin{aligned} x^{2} = - 4 p y & \Rightarrow x^{2} = - 4 (4) y \\ \Rightarrow x^{2} = - 16 y \end{aligned}$

(5)- قطع مكافئ معادلته $A x^{2} + 8 y = 0$ ويمر بالنقطة $(1, 2)$ جد قيمة $A$ ثم جد بؤرته ودليله ثم ارسم القطع.

$(1, 2)$ تنتمي للقطع المكافئ فهي تحقق معادلته:

$\begin{aligned} A (1)^{2} + 8 (2) = 0 \Rightarrow A = - 16 \\ - 16 x^{2} + 8 y = 0 \Rightarrow - 16 x^{2} = - 8 y \\ x^{2} = \frac{1}{2} y \\ x^{2} = 4 p y \end{aligned}$

نلاحظ بأن البؤرة صادية موجبة (الفتحة نحو الأعلى):

$4 p = \frac{1}{2} \Rightarrow p = \frac{1}{8}$

البؤرة:

$F (0, p) ⟹ F (0, \frac{1}{8})$

معادلة الدليل:

$y = - \frac{1}{8}$

$\pm 1$	$\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$	0	x
2	1	0	y

الشكل

(6)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ:

البؤرة $(7, 0)$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل:

$p = 7 \Rightarrow x = - 7$

تعريف القطع المكافئ:

$M F = M Q$

بتربيع الطرفين:

$\sqrt{(x - 7)^{2} + (y - 0)^{2}} = \sqrt{(x + 7)^{2} + (y - y)^{2}} \begin{aligned} (x - 7)^{2} + (y - 0)^{2} = (x + 7)^{2} \\ x^{2} - 14 x + 49 + y^{2} = x^{2} + 14 x + 49 \\ - 14 x + y^{2} = 14 x \end{aligned}$

معادلة القطع المكافئ:

$y^{2} = 28 x$

الشكل 1

معادلة الدليل $y = \sqrt{3}$ والرأس في نقطة الأصل.

$y = \sqrt{3}, y = p \Rightarrow y = \sqrt{3}$

البؤرة:

$∴ F (0, - p) = F (0, - \sqrt{3})$

تعريف القطع المكافئ:

$M F = M Q$

بتربيع الطرفين:

$\sqrt{(x - 0)^{2} + (y + \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{(x - x)^{2} + (y - \sqrt{3})^{2}} \begin{aligned} x^{2} + (y + \sqrt{3})^{2} = (y - \sqrt{3})^{2} \\ x^{2} + y^{2} + 2 \sqrt{3} y + 3 = y^{2} - 2 \sqrt{3} y + 3 \\ x^{2} + 2 \sqrt{3} y = - 2 \sqrt{3} y \end{aligned}$

معادلة القطع المكافئ:

$x^{2} = - 4 \sqrt{3} y$

الشكل 2

قطع مكافئ: باستخدام قانون المسافة $p F_{1} = p F_{2}$

$(\sqrt{} = \sqrt{})^{2}$ بالتربيع ترفع الجذور.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-2)

(1)- جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يأتي ثم ارسم المنحني البياني لها:

البؤرة $(5, 0)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, - 4)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, \sqrt{2})$ والرأس نقطة الأصل.

معادلة دليل القطع المكافئ $4 y + 3 = 0$ والرأس في نقطة الأصل.

(2)- في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل والقطع المكافئ:

$x^{2} = 4 y$

$2 x + 16 y^{2} = 0$

$y^{2} = - 4 (x - 2)$

$(x - 1)^{2} = 8 (y - 1)$

$y^{2} + 4 y + 2 x = - 6$

$x^{2} + 6 x - y = 0$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين $(2, 5), (2, - 5)$ والرأس في نقطة الأصل.

(4)- إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة $(- 3, 4)$ والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

(5)- قطع مكافئ معادلته $A x^{2} + 8 y = 0$ ويمر بالنقطة $(1, 2)$ جد قيمة $A$ ثم جد بؤرته ودليله ثم ارسم القطع.

(6)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ:

البؤرة $(7, 0)$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل $y = \sqrt{3}$ والرأس في نقطة الأصل.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-2)

(1)- جد المعادلة للقطع المكافئ في كل مما يأتي ثم ارسم المنحني البياني لها:

البؤرة (5,0) والرأس نقطة الأصل.

البؤرة (0,−4) والرأس نقطة الأصل.

البؤرة (0,2) والرأس نقطة الأصل.

معادلة دليل القطع المكافئ 4y+3=0 والرأس في نقطة الأصل.

(2)- في كل مما يأتي جد البؤرة والرأس ومعادلتي المحور والدليل والقطع المكافئ:

x2=4y

2x+16y2=0

y2=−4(x−2)

(x−1)2=8(y−1)

y2+4y+2x=−6

x2+6x−y=0

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين (2,5) , (2,−5) والرأس في نقطة الأصل.

(4)- إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة (−3,4) والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

(5)- قطع مكافئ معادلته Ax2+8y=0 ويمر بالنقطة (1,2) جد قيمة A ثم جد بؤرته ودليله ثم ارسم القطع.

(6)- باستخدام التعريف جد معادلة القطع المكافئ:

البؤرة (7,0) والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل y=3 والرأس في نقطة الأصل.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

فيديو شرح درس تمارين (1-2)

النقاشات

البؤرة $(5, 0)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, - 4)$ والرأس نقطة الأصل.

البؤرة $(0, \sqrt{2})$ والرأس نقطة الأصل.

معادلة دليل القطع المكافئ $4 y + 3 = 0$ والرأس في نقطة الأصل.

$x^{2} = 4 y$

$2 x + 16 y^{2} = 0$

$y^{2} = - 4 (x - 2)$

$(x - 1)^{2} = 8 (y - 1)$

$y^{2} + 4 y + 2 x = - 6$

$x^{2} + 6 x - y = 0$

(3)- جد معادلة القطع المكافئ الذي يمر بالنقطتين $(2, 5), (2, - 5)$ والرأس في نقطة الأصل.

(4)- إذا كان دليل القطع المكافئ يمر بالنقطة $(- 3, 4)$ والرأس في نقطة الأصل جد معادلة القطع المكافئ علماً أن بؤرته تنتمي لأحد المحورين.

(5)- قطع مكافئ معادلته $A x^{2} + 8 y = 0$ ويمر بالنقطة $(1, 2)$ جد قيمة $A$ ثم جد بؤرته ودليله ثم ارسم القطع.

البؤرة $(7, 0)$ والرأس في نقطة الأصل.

معادلة الدليل $y = \sqrt{3}$ والرأس في نقطة الأصل.