للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التمارين العامة الخاصة بالفصل الأول

(1)- جد قيم $x, y \in R$ والتي تحقق $\frac{y}{1 + i} = \frac{x^{2} + 4}{x + 2 i}$

بما أن $4 = - 4 i^{2}$

$\begin{aligned} \frac{y}{1 + i} = \frac{x^{2} - 4 i^{2}}{x + 2 i} \Rightarrow \frac{y}{1 + i} = \frac{(x + 2 i) (x - 2 i)}{x + 2 i} \Rightarrow \frac{y}{1 + i} = (x - 2 i) \\ y = (1 + i) (x - 2 i) \\ y = x - 2 i + x i - 2 i^{2} \\ y + 0 i = x + 2 - 2 i + x i \\ y + 0 i = (x + 2) + (- 2 + x) i \\ y = x + 2 \dots (1) \\ 0 = - 2 + x \dots (2) \Rightarrow x = 2 \end{aligned}$

نعوض في معادلة (1)

$∴ y = 2 + 2 = 4$

(2)- إذا كان $z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{- 3}}$ عدداً مركباً جد باستخدام مبرهنة ديموافر $z^{\frac{1}{2}}$

$\begin{aligned} ∵ \sqrt{- 3} = \sqrt{3} i \\ z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i} \cdot \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i} = \frac{1 - \sqrt{3} i - \sqrt{3} i - 3 i^{2}}{1 + 3} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{3} i}{4} \\ ∴ z = \frac{- 1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2} \end{aligned}$

المقياس:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1 \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- \frac{1}{2}}{1} = - \frac{1}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{\frac{- \sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

نستنتج أن الزاوية $θ$ تقع في الربع الثالث.

$∴ \arg (z) = π + \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

الصيغة القطبية للعدد المركب:

$\begin{aligned} z = r (\cos θ + i \sin θ) \\ z = 1 (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) \\ \sqrt[n]{Z} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})] \\ z^{\frac{1}{2}} = 1^{\frac{1}{2}} {(\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3})}^{\frac{1}{2}} \\ z^{\frac{1}{2}} = [\cos (\frac{\frac{4 π}{3} + 2 k π}{2}) + i \sin (\frac{\frac{4 π}{3} + 2 k π}{2})] k = 0, 1 \end{aligned}$

$\frac{2 π}{3}$ تقع في الربع الثاني.

$\begin{matrix} k = 0 \Rightarrow Z_{1} = \cos \frac{4 π}{6} + i \sin \frac{4 π}{6} = \cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3} \\ Z_{1} = - \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3} = (- \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) \\ k = 1 \Rightarrow Z_{2} = [\cos (\frac{\frac{4 π}{3} + 2 π}{2}) + i \sin (\frac{\frac{4 π}{3} + 2 π}{2})] \end{matrix}$

$\frac{10 π}{6}$ تقع في الربع الرابع.

$\begin{aligned} Z_{2} = \cos (\frac{\frac{4 π + 6 π}{3}}{2}) + i \sin (\frac{\frac{4 π + 6 π}{3}}{2}) = \cos (\frac{10 π}{6}) + i \sin (\frac{10 π}{6}) \\ Z_{2} = \cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}) = \cos (\frac{π}{3}) - i \sin (\frac{π}{3}) = (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) \end{aligned}$

(3)- إذا كان $Z = \cos 2 x + i \sin 2 x$ فأثبت أن $\frac{2}{1 + z} = 1 - i \tan x$

ط1:

$\begin{aligned} LHS & : \frac{2}{1 + z} = \frac{2}{1 + \cos 2 x + i \sin 2 x} \\ = \frac{2}{1 + 2 \cos^{2} x - 1 + 2 i \sin x \cos x} \\ = \frac{2}{2 \cos x (\cos x + i \sin x)} = \frac{\cos^{2} x + \sin^{2} x}{\cos x (\cos x + i \sin x)} = \frac{\cos^{2} x - i^{2} \sin^{2} x}{\cos x (\cos x + i \sin x)} \\ = \frac{(\cos x - i \sin x) (\cos x + i \sin x)}{\cos x (\cos x + i \sin x)} = \frac{(\cos x - i \sin x)}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x} - \frac{i \sin x}{\cos x} = 1 - i \tan x : RHS \end{aligned}$

ط2:

$\begin{aligned} LHS & : \frac{2}{1 + z} = \frac{2}{1 + \cos 2 x + i \sin 2 x} \\ = \frac{2}{1 + 2 \cos^{2} x - 1 + 2 i \sin x \cos x} \\ = \frac{2}{2 \cos x (\cos x + i \sin x)} = \frac{(\cos x + i \sin x)^{- 1}}{\cos x} = \frac{(\cos x - i \sin x)}{\cos x} \\ = \frac{\cos x}{\cos x} - \frac{i \sin x}{\cos x} = 1 - i \tan x : RHS \end{aligned}$

(4)- إذا كان $Z = \cos θ + i \sin θ$ أثبت أن $\frac{Z^{n}}{1 + Z^{2 n}} = \frac{1}{2 \cos n θ}$

$\begin{aligned} LHS & : \frac{Z^{n}}{1 + Z^{2 n}} = \frac{(\cos θ + i \sin θ)^{n}}{1 + (\cos θ + i \sin θ)^{2 n}} \\ \frac{(\cos θ + i \sin θ)^{n}}{1 + (\cos θ + i \sin θ)^{2 n}} = \frac{\cos n θ + i \sin n θ}{1 + \cos 2 n θ + i \sin 2 n θ} \\ = \frac{\cos n θ + i \sin n θ}{1 + 2 \cos^{2} n θ - 1 + i (2 \sin n θ \cos n θ)} = \frac{\cos n θ + i \sin n θ}{2 \cos^{2} n θ + i (2 \sin n θ \cos n θ)} \\ = \frac{\cos n θ + i \sin n θ}{2 \cos n θ (\cos n θ + i \sin n θ)} = \frac{1}{2 \cos n θ} : RHS \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الأول

(1)- جد قيم $x, y \in R$ والتي تحقق $\frac{y}{1 + i} = \frac{x^{2} + 4}{x + 2 i}$

(2)- إذا كان $z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{- 3}}$ عدداً مركباً جد باستخدام مبرهنة ديموافر $z^{\frac{1}{2}}$

(3)- إذا كان $Z = \cos 2 x + i \sin 2 x$ فأثبت أن $\frac{2}{1 + z} = 1 - i \tan x$

(4)- إذا كان $Z = \cos θ + i \sin θ$ أثبت أن $\frac{Z^{n}}{1 + Z^{2 n}} = \frac{1}{2 \cos n θ}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الأول

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الأول

(1)- جد قيم x,y∈R والتي تحقق y1+i=x2+4x+2i

(2)- إذا كان z=1−3i1+−3 عدداً مركباً جد باستخدام مبرهنة ديموافر z12

(3)- إذا كان Z=cos⁡2x+isin⁡2x فأثبت أن 21+z=1−itan⁡x

(4)- إذا كان Z=cos⁡θ+isin⁡θ أثبت أن Zn1+Z2n=12cos⁡nθ

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التمارين العامة الخاصة بالفصل الأول

النقاشات

(1)- جد قيم $x, y \in R$ والتي تحقق $\frac{y}{1 + i} = \frac{x^{2} + 4}{x + 2 i}$

(2)- إذا كان $z = \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{- 3}}$ عدداً مركباً جد باستخدام مبرهنة ديموافر $z^{\frac{1}{2}}$

(3)- إذا كان $Z = \cos 2 x + i \sin 2 x$ فأثبت أن $\frac{2}{1 + z} = 1 - i \tan x$

(4)- إذا كان $Z = \cos θ + i \sin θ$ أثبت أن $\frac{Z^{n}}{1 + Z^{2 n}} = \frac{1}{2 \cos n θ}$