lesson دراستي - أمثلة إضافية محلولة
موقع دراستي - المنهاج العراقي

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أوجد الجذور التربيعية للعدد المركب −55−48i ثم استخدم الناتج في إيجاد الحل للمعادلة التالية: x2+(1+2i)x+13(1+i)=0

نفرض أن الجذر التربيعي للعدد −55−48i هو a+bi

a+bi=−55−48i

بتربيع الطرفين:

(a+bi)2=−55−48ia2+2abi+b2i2=−55−48i⇒(a2−b2)+(2ab)i=−55−48ia2−b2=−55………(1)2ab=−48⇒a=−482b⇒a=−24bb4−55b2−576=0⇒(b2−64)(b2+9)=0

إما:

b2=64⟹b=±8

نعوض في معادلة (2)

a=−24b⇒a=−24±8⇒a=∓3

أو:

b2+9=0⇒b2=−9 تهمل.

الجذران هما 3−8i , −3+8i

الآن نحل المعادلة x2+(1+2i)x+13(1+i)=0 باستخدام قانون الدستور حيث:

a=1 , b=(1+2i) , c=13(1+i)

x=−b±b2−4ac2a⇒x=−(1+2i)±(1+2i)2−(4)(1)(13+13i)2(1)x=−(1+2i)±1+4i+4i2−(52+52i)2(1)x=−(1+2i)±1+4i−4−(52+52i)2=−(1+2i)±−55−48i2

إما:

x1=−1−2i+3−8i2=2−10i2=1−5i

أو:

x2=−1−2i−3+8i2=−4+6i2=−2+3i

مجموعة الحل {−2+3i,1−5i}

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها 103−i , 3−i

x1=3−ix2=103−i=103−i×3+i3+i=10(3+i)32+12=10(3+i)10=3+i

مجموع الجذرين:

(3−i)+(3+i)=(3+3)+(−1+1)i=6

ضرب الجذرين:

(3−i)(3+i)=9+3i−3i−i2=9+1=10

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

∴x2−6x+10=0

(3)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب -8i

x3=−8i⇒x3+8i=0⇒x3−8i(i2)=0⇒x3−8i3=0x3−8i3=0⇒(x−2i)(x2+2xi+4i2)=0⇒(x−2i)(x2+2xi−4)=0

إما:

x−2i=0⇒x=2i

أو:

x2+2ix−4=0⟹a=1 , b=2i , c=−4x=−b±b2−4ac2a=−2i±4i2−4(1)(−4)2(1)=−2i±−4+162x=−2i±122⇒x=−2i±232⇒x=−i±3

مجموعة الحل {2i,−i+3,−i−3}

(4)- جد الجذور التكعيبية للعدد المركب 8

x3=8⇒x3−8=(x−2)(x2+2x+4)=0

إما:

(x−2)=0⇒x=2

أو:

x2+2x+4=0⟹a=1 , b=2 , c=4x=−b±b2−4ac2a=−2±4−4(1)(4)2(1)=−2±4−162x=−2±−122⇒x=−2±12i22=−2±23i2=−1±3i

مجموعة الحل {2,−1+3i,−1−3i}

(5)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة الآتية ix2−2x−2i=0

نقسم المعادلة على i

ix2−2x−2i=0ix2i−2xi−2ii=0⇒x2−2i4ix−2=0⇒x2−2i3x−2=0x2+2ix−2=0⟹a=1 , b=2i , c=−2x=−b±b2−4ac2a=−2i±(2i)2−4(1)(−2)2(1)x=−2i±−4+82=−2i±42=−2i±22=−i±1

مجموعة الحل {−i+1,−i−1}

(6)- أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالية x2−4sin⁡θx+4=0

x2−4sin⁡θx+4=0⇒a=1 , b=−4sin⁡θ , c=4x=−b±b2−4ac2a=−(−4sin⁡θ)±(−4sin⁡θ)2−4(1)(4)2(1)x=4sin⁡θ±16(sin⁡θ)2−162=4sin⁡θ±16[(sin⁡θ)2−1]2x=4sin⁡θ±16[−(cos⁡θ)2]2=4sin⁡θ±16[(cos⁡θ)2i2]2x=4sin⁡θ±4cos⁡θi2=2sin⁡θ±2cos⁡θi

مجموعة الحل {2sin⁡θ+2cos⁡θi,2sin⁡θ−2cos⁡θi}

(7)- أوجد قيمة كل من x,y من المعادلة التالية (x+yi)2−8−8i1+i+15=0

(x+yi)2−8−8i1+i+15=0⇒x2+2xyi+y2i2=8−8i1+i−15(x2−y2)+2xyi=(8−8i1+i×1−i1−i)−15(x2−y2)+2xyi=(8−8i−8i+8i212+12)−15(x2−y2)+2xyi=(−16i2)−15⇒(x2−y2)+2xyi=−8i−15x2−y2=−15………(1)2xy=−8⇒x=−82y⇒x=−4y……..(2)(−4y)2−y2=−15⇒16y2−y2=−15⟹y2×16−y4=−15y2y4−15y2−16=0⇒(y2−16)(y2+1)=0

إما:

y2−16=0⇒y2=16⇒y=±4x=−4y=−4±4⇒x=∓1

أو:

y2+1=0⇒y2=−1 تهمل.

(8)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذراها (2−i)2

الجذر الأول (2−i)2=(2)2−22i+i2=1−22i

المعاملات حقيقية لذا فإن الجذر الآخر هو المرافق 1+22i

المجموع:

(1−22i)+(1+22i)=(1+1)+(−22i+22i)=2

الضرب:

(1−22i)(1+22i)=1+22i−22i−(22i)2=1+8=9

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x2

∴x2−2x+9=0

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

مشاركة

فايسبوك
واتساب
تيليجرام
طباعة
النقاشات
الرئيسية
عن دراستي
ساهم معنا
سياسة الخصوصية
شروط الاستخدام
الإتصال بنا

© 2024 موقع دراستي - المنهاج العراقي