حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب آخر نضرب بمرافق المقام $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \times \frac{\bar{C_{2}}}{\bar{C_{2}}}$

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة $a + b i$ :

$\frac{1 + i}{1 - i}$

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i + i + i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{2 i}{2} = i = 0 + i$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i}$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i} = \frac{1 + 2 i}{- 2 + i} \times \frac{- 2 - i}{- 2 - i} = \frac{- 2 - i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 2)^{2} + (1)^{2}} = \frac{0 - 5 i}{5} = \frac{- 5 i}{5} = - i = 0 - i$

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب $\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i}$ .

$\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i} = \frac{9 - 12 i - 4}{1 + 5 i} = \frac{5 - 12 i}{1 + 5 i} \times \frac{1 - 5 i}{1 - 5 i} = \frac{5 - 25 i - 12 i + 60 i^{2}}{(1)^{2} + (5)^{2}} = \frac{- 55 - 37 i}{26} = \frac{- 55}{26} - \frac{37}{26} i$

ملاحظة: يمكن تحليل $x^{2} + y^{2}$ إلى حاصل ضرب عددين مركبين كل منهما من الصورة $a + b i$

$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2} i^{2} = (x - y i) (x + y i)$

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ أعداد نسبية:

$10$

$10 = 9 + 1 = 9 - i^{2} = (3 - i) (3 + i)$

$39$

$39 = 36 + 3 = 36 - 3 i^{2} = (6 - \sqrt{3} i) (6 + \sqrt{3} i)$

$53$

$53 = 49 + 4 = 49 - 4 i^{2} = (7 - 2 i) (7 + 2 i)$

$x^{2} + 4$

$x^{2} + 4 = x^{2} - 4 i^{2} = (x - 2 i) (x + 2 i)$

(4)- حلل إلى عاملين لعددين مركبين نسبيين:

$x^{2} + 9$

$x^{2} + 9 = x^{2} - 9 i^{2} = (x - 3 i) (x + 3 i)$

$y^{2} + 16 x^{2}$

$y^{2} + 16 x^{2} = y^{2} - 16 x^{2} i^{2} = (y - 4 x i) (y + 4 x i)$

$(x - 1)^{2} + 4$

$(x - 1)^{2} + 4 = (x - 1)^{2} - 4 i^{2} = (x - 1 - 2 i) (x - 1 + 2 i)$

$x^{3} + \frac{1}{125} i$

$\begin{aligned} x^{3} + \frac{1}{125} i & = x^{3} - \frac{1}{125} i \cdot i^{2} = x^{3} - \frac{1}{125} i^{3} \\ = (x - \frac{1}{5} i) (x^{2} + \frac{1}{5} x i + \frac{1}{25} i^{2}) = (x - \frac{1}{5} i) (x^{2} + \frac{1}{5} x i - \frac{1}{25}) \end{aligned}$

$x^{2} + 7 x i - 12$

$x^{2} + 7 x i - 12 = x^{2} + 7 x i + 12 i^{2} = (x + 4 i) (x + 3 i)$

(5)- حلل إلى عاملين أو أكثر لكل مما يأتي:

$4 x^{2} + 1$

$4 x^{2} + 1 = 4 x^{2} - i^{2} = (2 x - i) (2 x + i)$

$x^{4} - 1$

$x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} - i^{2}) = (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)$

$x^{3} - i^{3}$

$x^{3} - i^{3} = (x - i) (x^{2} + x i + i^{2}) = (x - i) (x^{2} + x i - 1)$

$x^{2} - 2 x i + 3$

$x^{2} - 2 x i + 3 = x^{2} - 2 x i - 3 i^{2} = (x - 3 i) (x + i)$

$x^{2} + y^{2}$

$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2} (i^{2}) = x^{2} - y^{2} i^{2} = (x - y i) (x + y i)$

$26$

$26 = 25 + 1 = 25 - i^{2} = (5 - i) (5 + i)$

(6)- أكتب بالصيغة الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب:

$\frac{5}{1 - 2 i}$

$\frac{5}{1 - 2 i} = \frac{1 + 4}{1 - 2 i} = \frac{1 - 4 i^{2}}{1 - 2 i} = \frac{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}{1 - 2 i} = 1 + 2 i$

$\frac{10}{1 + 2 i}$

$\frac{10}{1 + 2 i} = \frac{2 \times 5}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 + 4)}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 - 4 i^{2})}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 - 2 i) (1 + 2 i)}{1 + 2 i} = 2 (1 - 2 i) = 2 - 4 i$

(7)- جد $x, y$ التي تحقق $(x + y i) (2 - i) = 8 + i$

$\begin{aligned} x + y i = \frac{8 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} \\ x + y i = \frac{16 + 8 i + 2 i - 1}{4 + 1} = \frac{16 + 10 i - 1}{5} = \frac{15 + 10 i}{5} = \frac{15}{5} + \frac{10 i}{5} \end{aligned}$

خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x + y i = 3 + 2 i \\ x = 3, y = 2 \end{aligned}$

(8)- جد $x, y$ التي تحقق $x (x + i) + y (y - i) = 13 - i$

نفتح الأقواس:

$x^{2} + x i + y^{2} - y i = 13 - i$

خاصية التساوي:

$\begin{aligned} (x^{2} + y^{2}) + (x - y) i = 13 - i \\ x^{2} + y^{2} = 13 \dots \dots \dots (1) \\ x - y = - 1 \dots \dots \dots \dots (2) \\ \Rightarrow [- y = - 1 - x] \cdot (- 1) \\ \Rightarrow y = x + 1 \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في معادلة (1)

$\begin{aligned} x^{2} + (x + 1)^{2} = 13 \\ x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 13 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 x + 1 - 13 = 0 \\ 2 x^{2} + 2 x - 12 = 0 \div 2 \\ x^{2} + x - 6 = 0 \\ (x + 3) (x - 2) = 0 \end{aligned}$

إما: $x = - 3$

أو: $x = 2$

$\begin{aligned} y = x + 1 \Rightarrow y = - 3 + 1 \Rightarrow y = - 2 (x = - 3) \\ y = x + 1 \Rightarrow y = 2 + 1 \Rightarrow y = 3 (x = 2) \end{aligned}$

(9)- جد $x, y$ التي تحقق المعادلة $(2 + x i) (- x + i) = \frac{9 y^{2} + 49}{3 y + 7 i}$

$\underset{⏟}{- 2 x} + 2 i - x^{2} i + \underset{- x}{\underset{⏟}{x i^{2}}} = \frac{(9 y^{2} - 49 i^{2})}{3 y + 7 i} \underset{⏟}{- 3 x} + (2 - x^{2}) i = \frac{(3 y - 7 i) (3 y + 7 i)}{3 y + 7 i} - 3 x + (2 - x^{2}) i = 3 y - 7 i$

خاصية التساوي:

$- 3 x = 3 y \Rightarrow - x = y 2 - x^{2} = - 7 \Rightarrow 2 + 7 = x^{2} \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \mp 3 \begin{array}{ll} - (- 3) = y \Rightarrow y = 3 & (x = - 3) \\ - (3) = y \Rightarrow y = - 3 & (x = 3) \end{array} y = \mp 3$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

قسمة الأعداد المركبة

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة $a + b i$ :

$\frac{1 + i}{1 - i}$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i}$

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب $\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i}$ .

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ أعداد نسبية:

$10$

$39$

$53$

$x^{2} + 4$

(4)- حلل إلى عاملين لعددين مركبين نسبيين:

$x^{2} + 9$

$y^{2} + 16 x^{2}$

$(x - 1)^{2} + 4$

$x^{3} + \frac{1}{125} i$

$x^{2} + 7 x i - 12$

(5)- حلل إلى عاملين أو أكثر لكل مما يأتي:

$4 x^{2} + 1$

$x^{4} - 1$

$x^{3} - i^{3}$

$x^{2} - 2 x i + 3$

$x^{2} + y^{2}$

$26$

(6)- أكتب بالصيغة الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب:

$\frac{5}{1 - 2 i}$

$\frac{10}{1 + 2 i}$

(7)- جد $x, y$ التي تحقق $(x + y i) (2 - i) = 8 + i$

(8)- جد $x, y$ التي تحقق $x (x + i) + y (y - i) = 13 - i$

(9)- جد $x, y$ التي تحقق المعادلة $(2 + x i) (- x + i) = \frac{9 y^{2} + 49}{3 y + 7 i}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس قسمة الأعداد المركبة ج1

فيديو شرح درس قسمة الأعداد المركبة ج2

النقاشات

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

قسمة الأعداد المركبة

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة a+bi:

1+i1−i

1+2i−2+i

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب (3−2i)21+5i.

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة a+bi حيث a,b أعداد نسبية:

10

39

53

x2+4

(4)- حلل إلى عاملين لعددين مركبين نسبيين:

x2+9

y2+16x2

(x−1)2+4

x3+1125i

x2+7xi−12

(5)- حلل إلى عاملين أو أكثر لكل مما يأتي:

4x2+1

x4−1

x3−i3

x2−2xi+3

x2+y2

26

(6)- أكتب بالصيغة الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب:

51−2i

101+2i

(7)- جد x,y التي تحقق (x+yi)(2−i)=8+i

(8)- جد x,y التي تحقق x(x+i)+y(y−i)=13−i

(9)- جد x,y التي تحقق المعادلة (2+xi)(−x+i)=9y2+493y+7i

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس قسمة الأعداد المركبة ج1

فيديو شرح درس قسمة الأعداد المركبة ج2

النقاشات

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة $a + b i$ :

$\frac{1 + i}{1 - i}$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i}$

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب $\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i}$ .

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ أعداد نسبية:

$10$

$39$

$53$

$x^{2} + 4$

$x^{2} + 9$

$y^{2} + 16 x^{2}$

$(x - 1)^{2} + 4$

$x^{3} + \frac{1}{125} i$

$x^{2} + 7 x i - 12$

$4 x^{2} + 1$

$x^{4} - 1$

$x^{3} - i^{3}$

$x^{2} - 2 x i + 3$

$x^{2} + y^{2}$

$26$

$\frac{5}{1 - 2 i}$

$\frac{10}{1 + 2 i}$

(7)- جد $x, y$ التي تحقق $(x + y i) (2 - i) = 8 + i$

(8)- جد $x, y$ التي تحقق $x (x + i) + y (y - i) = 13 - i$

(9)- جد $x, y$ التي تحقق المعادلة $(2 + x i) (- x + i) = \frac{9 y^{2} + 49}{3 y + 7 i}$