للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية كل مما يأتي:

$(5 + 3 i) (1 + i) + (2 - i)^{2}$

$(5 + 5 i + 3 i + 3 i^{2}) + 4 - 4 i + i^{2} = (2 + 8 i) + (3 - 4 i) = 5 + 4 i$

${(\frac{\sqrt{3} - i}{1 + \sqrt{3} i})}^{9}$

${(\frac{\sqrt{3} - i}{1 + \sqrt{3} i})}^{9} = {(\frac{\sqrt{3} - i}{1 + \sqrt{3} i} \times \frac{1 - \sqrt{3} i}{1 - \sqrt{3} i})}^{9} = {(\frac{\sqrt{3} - 3 i - i + \sqrt{3} i^{2}}{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}})}^{9} = {(\frac{\sqrt{3} - 4 i - \sqrt{3}}{1 + 3})}^{9} = {(\frac{- 4 i}{4})}^{9} = (- i)^{9} = (- i) (- i)^{8} = - i = 0 - i$

$(1 - \sqrt{- 3})^{2} + (2 - \sqrt{- 3})^{2}$

$\begin{aligned} (1 - \sqrt{3} i)^{2} + (2 - \sqrt{3} i)^{2} = (1 - 2 \sqrt{3} i + 3 i^{2}) + (4 - 4 \sqrt{3} i + 3 i^{2}) \\ = (- 2 - 2 \sqrt{3} i) + (1 - 4 \sqrt{3} i) = - 1 - 6 \sqrt{3} i \end{aligned}$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعهما $6$ وحاصل ضربهما $10$

نفرض أن العدد هو $c_{1} = a + b i$ عدد مركب مرافقه هو $c_{2} = a - b i$

$\begin{aligned} ∵ c_{1} + c_{2} = 2 a \Rightarrow 6 = 2 a \Rightarrow a = 3 \\ ∵ c_{1} \cdot c_{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow 10 = 3^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 1 \Rightarrow b = \pm 1 \end{aligned}$

العددان هما $(3 + i), (3 - i)$

(3)- أكتب العدد $(3 + 2 i) (- 2 + i)$ بالصيغة العادية ثم جد النظير الضربي له بالصيغة الديكارتية.

الصيغة الجبرية:

$(3 + 2 i) (- 2 + i) = (- 6 + 3 i - 4 i + 2 i^{2}) = - 8 - i$

الصيغة الديكارتية:

$\frac{1}{- 8 - i} = \frac{1}{- 8 - i} \times \frac{- 8 + i}{- 8 + i} = \frac{- 8 + i}{(- 8)^{2} + 1^{2}} = \frac{- 8}{65} + \frac{i}{65} = (\frac{- 8}{65}, \frac{1}{65})$

(4)- إذا كان $x = - 1 + 2 i$ فأوجد قيمة المعادلة $x^{2} + 2 x + 5$

$\begin{aligned} x^{2} + 2 x + 5 & = (- 1 + 2 i)^{2} + 2 (- 1 + 2 i) + 5 \\ = (1 - 4 i + 4 i^{2}) + (- 2 + 4 i) + 5 = (- 3 - 4 i) + (- 2 + 4 i) + 5 = - 5 + 0 i + 5 \\ = 0 + 0 i \end{aligned}$

(5)- إذا كان $x \in ℂ$ و $\bar{x}$ مرافق له جد العدد المركب الذي يحقق $3 x + \bar{x} = 2 i + 3$

$x = a + b i ∴ \bar{x} = a - b i \begin{aligned} 3 (a + b i) + (a - b i) = 2 i + 3 \Rightarrow 3 a + 3 b i + a - b i = 2 i + 3 \\ 3 a + a = 3 \Rightarrow 4 a = 3 \Rightarrow a = \frac{3}{4} \\ 3 b - b = 2 \Rightarrow 2 b = 2 \Rightarrow b = 1 \\ ∴ x = a + b i = \frac{3}{4} + i \end{aligned}$

(6)- إذا كان $L = \frac{7 - i}{2 - i}, K = \frac{13 - i}{4 + i}$ أثبت أن $L, K$ مترافقان $L^{2} K + L K^{2}$

نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي إلى مجموعة الأعداد الحقيقية R

$\begin{aligned} K & = \frac{13 - i}{4 + i} = \frac{13 - i}{4 + i} \times \frac{4 - i}{4 - i} = \frac{52 - 13 i - 4 i + i^{2}}{4^{2} + 1^{2}} = \frac{51 - 17 i}{16 + 1} \\ = \frac{51}{17} - \frac{17 i}{17} = 3 - i \\ L & = \frac{7 - i}{2 - i} = \frac{7 - i}{2 - i} \times \frac{2 + i}{2 + i} = \frac{14 + 7 i - 2 i - i^{2}}{2^{2} + 1^{2}} = \frac{15 + 5 i}{5} = 3 + i \end{aligned} \begin{aligned} (3 + i) + (3 - i) = 6 \in R \\ (3 + i) (3 - i) = 3^{2} + 1^{2} = 9 + 1 = 10 \in R \\ L^{2} K + L K^{2} = L K (L + K) = (10) (6) = 60 \end{aligned}$

مترافقان $∴ L, K$

(7)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافق).

$\frac{5}{2 - i}$

$\frac{5}{2 - i} = \frac{4 + 1}{2 - i} = \frac{4 - i^{2}}{2 - i} = \frac{(2 - i) (2 + i)}{2 - i} = 2 + i$

$\frac{13}{2 + 3 i}$

$\frac{13}{2 + 3 i} = \frac{4 + 9}{2 + 3 i} = \frac{4 - 9 i^{2}}{2 + 3 i} = \frac{(2 + 3 i) (2 - 3 i)}{2 + 3 i} = 2 - 3 i$

$\frac{10}{2 + i}$

$\frac{10}{2 + i} = \frac{2 (5)}{2 + i} = \frac{2 (4 + 1)}{2 + i} = \frac{2 (4 - i^{2})}{2 + i} = \frac{2 (2 + i) (2 - i)}{2 + i} = 2 (2 - i) = 4 - 2 i$

(8)- أوجد قيمة $x, y$ الحقيقيتين والتي تحقق المعادلة في ما يأتي:

$(x + y i) (a + b i) = 1$

$\begin{aligned} (x + y i) = \frac{1}{a + b i} \Rightarrow (x + y i) = \frac{1}{a + b i} \times \frac{a - b i}{a - b i} \Rightarrow (x + y i) = \frac{a - b i}{a^{2} + b^{2}} \\ (x + y i) = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} - \frac{b i}{a^{2} + b^{2}} \\ x = \frac{a}{a^{2} + b^{2}}, y = \frac{- b}{a^{2} + b^{2}} \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية كل مما يأتي:

$(5 + 3 i) (1 + i) + (2 - i)^{2}$

${(\frac{\sqrt{3} - i}{1 + \sqrt{3} i})}^{9}$

$(1 - \sqrt{- 3})^{2} + (2 - \sqrt{- 3})^{2}$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعهما $6$ وحاصل ضربهما $10$

(3)- أكتب العدد $(3 + 2 i) (- 2 + i)$ بالصيغة العادية ثم جد النظير الضربي له بالصيغة الديكارتية.

(4)- إذا كان $x = - 1 + 2 i$ فأوجد قيمة المعادلة $x^{2} + 2 x + 5$

(5)- إذا كان $x \in ℂ$ و $\bar{x}$ مرافق له جد العدد المركب الذي يحقق $3 x + \bar{x} = 2 i + 3$

(6)- إذا كان $L = \frac{7 - i}{2 - i}, K = \frac{13 - i}{4 + i}$ أثبت أن $L, K$ مترافقان $L^{2} K + L K^{2}$

(7)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافق).

$\frac{5}{2 - i}$

$\frac{13}{2 + 3 i}$

$\frac{10}{2 + i}$

(8)- أوجد قيمة $x, y$ الحقيقيتين والتي تحقق المعادلة في ما يأتي:

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة

(1)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية كل مما يأتي:

(5+3i)(1+i)+(2−i)2

(3−i1+3i)9

(1−−3)2+(2−−3)2

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعهما 6 وحاصل ضربهما 10

(3)- أكتب العدد (3+2i)(−2+i) بالصيغة العادية ثم جد النظير الضربي له بالصيغة الديكارتية.

(4)- إذا كان x=−1+2i فأوجد قيمة المعادلة x2+2x+5

(5)- إذا كان x∈ℂ و x¯ مرافق له جد العدد المركب الذي يحقق 3x+x¯=2i+3

(6)- إذا كان L=7−i2−i , K=13−i4+i أثبت أن L,K مترافقان L2K+LK2

(7)- أكتب بالصيغة العادية أو الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافق).

52−i

132+3i

102+i

(8)- أوجد قيمة x,y الحقيقيتين والتي تحقق المعادلة في ما يأتي:

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

النقاشات

$(5 + 3 i) (1 + i) + (2 - i)^{2}$

${(\frac{\sqrt{3} - i}{1 + \sqrt{3} i})}^{9}$

$(1 - \sqrt{- 3})^{2} + (2 - \sqrt{- 3})^{2}$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعهما $6$ وحاصل ضربهما $10$

(3)- أكتب العدد $(3 + 2 i) (- 2 + i)$ بالصيغة العادية ثم جد النظير الضربي له بالصيغة الديكارتية.

(4)- إذا كان $x = - 1 + 2 i$ فأوجد قيمة المعادلة $x^{2} + 2 x + 5$

(5)- إذا كان $x \in ℂ$ و $\bar{x}$ مرافق له جد العدد المركب الذي يحقق $3 x + \bar{x} = 2 i + 3$

(6)- إذا كان $L = \frac{7 - i}{2 - i}, K = \frac{13 - i}{4 + i}$ أثبت أن $L, K$ مترافقان $L^{2} K + L K^{2}$

$\frac{5}{2 - i}$

$\frac{13}{2 + 3 i}$

$\frac{10}{2 + i}$

(8)- أوجد قيمة $x, y$ الحقيقيتين والتي تحقق المعادلة في ما يأتي: