للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (2-1)

(1)- حل المعادلات التربيعية الآتية وبين أي منهما يكون جذران مترافقان:

$z^{2} = 12$

$z^{2} = 12 i^{2} \Rightarrow z = \sqrt{12 i^{2}} \Rightarrow z = \pm 2 \sqrt{3} i$

جذران مترافقان.

$2 z^{2} - 5 z + 13 = 0$

$\begin{aligned} a = 2, b = - 5, c = 13 \\ x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \times 2 \times 13}}{2 \times 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 104}}{4} \\ x = \frac{5 \pm \sqrt{- 79}}{4} \end{aligned}$

إما:

$x = \frac{5}{4} + \frac{\sqrt{79} i}{4}$

أو:

$x = \frac{5}{4} - \frac{\sqrt{79} i}{4}$

جذران مترافقان.

$z^{2} + 2 z + i (2 - i) = 0$

$a = 1, b = 2, c = i (2 - i) = 2 i - i^{2} = 2 i + 1 z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 (1) (2 i + 1)}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 i - 4}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 8 i}}{2}$

نجد قيمة الجذر:

$\begin{aligned} z = \frac{- 2 \pm \sqrt{0 - 8 i}}{2} \dots \dots (1) \\ [\sqrt{0 - 8 i} = a + b i] \end{aligned}$

بتربيع الطرفين:

$(a + b i)^{2} = 0 - 8 i \begin{aligned} [\sqrt{0 - 8 i} = a + b i] \\ (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i = 0 - 8 i \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots (2) \\ - 8 = 2 a b \Rightarrow a = \frac{- 8}{2 b} \Rightarrow a = \frac{- 4}{b} \dots \dots (a) \\ {(\frac{- 4}{b})}^{2} - b^{2} = 0 \Rightarrow [\frac{16}{b^{2}} - b^{2} = 0] \times - b^{2} \\ b^{4} - 16 = 0 \Rightarrow (b^{2} + 4) (b^{2} - 4) = 0 \end{aligned}$

إما:

$b^{2} + 4 = 0 \Rightarrow b^{2} = - 4$ تهمل.

أو:

$b^{2} - 4 = 0 \Rightarrow b^{2} = 4 \Rightarrow b = \pm 2$

نعوض في معادلة (3)

$\begin{array}{ll} a = \frac{- 4}{2} = - 2 & (b = 2) \\ a = \frac{- 4}{- 2} = 2 & (b = - 2) \end{array}$

$- 2 + 2 i, 2 - 2 i$

إما:

$z = \frac{- 2 + 2 - 2 i}{2} = \frac{- 2 i}{2} = - i$

أو:

$z = \frac{- 2 - 2 + 2 i}{2} = \frac{- 4 + 2 i}{2} = \frac{- 4}{2} + \frac{2 i}{2} = - 2 + i$

الجذران غير مترافقان ${- i, - 2 + i}$

$4 z^{2} + 25 = 0$

$4 z^{2} = - 25 \Rightarrow z^{2} = \frac{- 25}{4} \Rightarrow z^{2} = \frac{25 i^{2}}{4} \Rightarrow z = \sqrt{\frac{25 i^{2}}{4}} z = \pm \frac{5 i}{2}$

مجموعة الحل ${- \frac{5 i}{2}, \frac{5 i}{2}}$ والجذران مترافقان.

$z^{2} - 2 z i + 3 = 0$

ط1:

$z^{2} - 2 z i + 3 = 0 \Rightarrow z^{2} - 2 z i - 3 i^{2} = 0 \Rightarrow (z - 3 i) (z + i) = 0$

إما:

$z - 3 i = 0 \Rightarrow z = 3 i$

أو:

$z + i = 0 \Rightarrow z = - i$

مجموعة الحل ${- i, 3 i}$ والجذران غير مترافقان.

ط2:

$a = 1, b = - 2 i, c = 3 \begin{aligned} z = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \Rightarrow z = \frac{- (- 2 i) \pm \sqrt{- 4 - (4) (1) (3)}}{2 (1)} \\ z = \frac{2 i \pm \sqrt{- 16}}{2} = \frac{2 i \pm 4 i}{2} = i \pm 2 i \\ z = i + 2 i = 3 i, z = i - 2 i = - i \end{aligned}$

مجموعة الحل ${- i, 3 i}$ والجذران غير مترافقان.

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $M, L$ حيث:

$M = 1 + 2 i, L = 1 - i$

مجموع الجذرين:

$(1 + 2 i) + (1 - i) = (1 + 1) + (2 - 1) i = 2 + i$

ضرب الجذرين:

$(1 + 2 i) (1 - i) = 1 - i + 2 i - 2 i^{2} = 3 + i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - (2 + i) x + (3 + i) = 0$}

^{$M = \frac{3 - i}{1 + i}, L = (3 - 2 i)^{2}$}

^{$\begin{aligned} M = \frac{3 - i}{1 + i} = \frac{3 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{3 - 3 i - i + i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{2 - 4 i}{2} \Rightarrow M = 1 - 2 i \\ L = (3 - 2 i)^{2} = 9 - 12 i + 4 i^{2} = 5 - 12 i \Rightarrow L = 5 - 12 i \end{aligned}$}

مجموع الجذرين:

$(1 - 2 i) + (5 - 12 i) = (1 + 5) + (- 2 - 12) i = 6 - 14 i$

ضرب الجذرين:

$(1 - 2 i) (5 - 12 i) = 5 - 12 i - 10 i + 24 i^{2} = - 19 - 22 i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين)-x²

^{$∴ x^{2} - (6 - 14 i) x + (- 19 - 22 i) = 0$}

(3)- جد الجذور التربيعية للأعداد المركبة الآتية:

$- 6 i$

$a + b i = \sqrt{- 6 i}$

بتربيع الطرفين:

$(a + b i)^{2} = - 6 i \begin{aligned} a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} = - 6 i \Rightarrow (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i = 0 - 6 i \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots (1) \\ 2 a b = - 6 \Rightarrow b = \frac{- 6}{2 a} \Rightarrow b = \frac{- 3}{a} \dots \dots (2) \\ a^{2} - {(\frac{- 3}{a})}^{2} = 0 \Rightarrow a^{2} - \frac{9}{a^{2}} = 0 \overset{(a^{2} \times)}{⟹} a^{4} - 9 = 0 \\ a^{4} - 9 = 0 \Rightarrow (a^{2} - 3) (a^{2} + 3) = 0 \end{aligned}$

إما:

$a^{2} - 3 = 0 \Rightarrow a^{2} = 3 \Rightarrow a = \pm \sqrt{3} b = \frac{- 3}{a} \Rightarrow b = \frac{- 3}{\pm \sqrt{3}} \Rightarrow b = \mp \sqrt{3}$

أو:

$a^{2} + 3 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 3$ تهمل.

الجذران هما $- \sqrt{3} + \sqrt{3} i, \sqrt{3} - \sqrt{3} i$

$7 + 24 i$

$a + b i = \sqrt{7 + 24 i}$

بتربيع الطرفين:

$(a + b i)^{2} = 7 + 24 i \begin{aligned} a^{2} + 2 a b i + b^{2} i^{2} = 7 + 24 i \Rightarrow (a^{2} - b^{2}) + (2 a b) i = 7 + 24 i \\ a^{2} - b^{2} = 7 \dots \dots (1) \\ 2 a b = 24 \Rightarrow b = \frac{24}{2 a} \Rightarrow b = \frac{12}{a} \dots \dots (2) \\ a^{2} - {(\frac{12}{a})}^{2} = 7 \Rightarrow a^{2} - \frac{144}{a^{2}} = 7 \overset{(a^{2} \times)}{⟹} a^{4} - 144 = 7 a^{2} \\ a^{4} - 7 a^{2} - 144 = 0 \Rightarrow (a^{2} - 16) (a^{2} + 9) = 0 \end{aligned}$

إما:

$a^{2} - 16 = 0 \Rightarrow (a + 4) (a - 4) = 0 \Rightarrow a = \pm 4 b = \frac{12}{a} \Rightarrow b = \frac{12}{4} = 3 b = \frac{12}{a} \Rightarrow b = \frac{12}{- 4} = - 3$

أو:

$a^{2} + 9 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 9$ تهمل.

الجذران هما $4 + 3 i, - 4 - 3 i$

$\frac{4}{1 - \sqrt{3} i}$

يجب تحويله إلى الصيغة $a + b i$ عن طريق الضرب بمرافق المقام.

$\begin{aligned} \frac{4}{1 - \sqrt{3} i} = \frac{4}{1 - \sqrt{3} i} \times \frac{1 + \sqrt{3} i}{1 + \sqrt{3} i} = \frac{4 (1 + \sqrt{3} i)}{1^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \frac{4 (1 + \sqrt{3} i)}{1 + 3} \\ \frac{4 (1 + \sqrt{3} i)}{4} = 1 + \sqrt{3} i \\ a + b i = \sqrt{1 + \sqrt{3} i} \end{aligned}$

بتربيع الطرفين:

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-1)

(1)- حل المعادلات التربيعية الآتية وبين أي منهما يكون جذران مترافقان:

$z^{2} = 12$

$2 z^{2} - 5 z + 13 = 0$

$z^{2} + 2 z + i (2 - i) = 0$

$4 z^{2} + 25 = 0$

$z^{2} - 2 z i + 3 = 0$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $M, L$ حيث:

$M = 1 + 2 i, L = 1 - i$

^{$M = \frac{3 - i}{1 + i}, L = (3 - 2 i)^{2}$}

(3)- جد الجذور التربيعية للأعداد المركبة الآتية:

$- 6 i$

$7 + 24 i$

$\frac{4}{1 - \sqrt{3} i}$

(4)- ما المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية وأحد جذريها هو:

$i$

^{$5 - i$}

^{$\frac{\sqrt{2} + 3 i}{4}$}

(5)- إذا كان $3 + i$ هو أحد جذري المعادلة $x^{2} - a x + (5 + 5 i) = 0$ فما قيمة $a \in ℂ$ ؟ وما قيمة الجذر الآخر؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-1) ج1

فيديو شرح درس تمارين (2-1) ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (2-1)

(1)- حل المعادلات التربيعية الآتية وبين أي منهما يكون جذران مترافقان:

z2=12

2z2−5z+13=0

z2+2z+i(2−i)=0

4z2+25=0

z2−2zi+3=0

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها M,L حيث:

M=1+2i , L=1−i

M=3−i1+i , L=(3−2i)2

(3)- جد الجذور التربيعية للأعداد المركبة الآتية:

−6i

7+24i

41−3i

(4)- ما المعادلة التربيعية ذات المعاملات الحقيقية وأحد جذريها هو:

i

5−i

2+3i4

(5)- إذا كان 3+i هو أحد جذري المعادلة x2−ax+(5+5i)=0 فما قيمة a∈ℂ؟ وما قيمة الجذر الآخر؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (2-1) ج1

فيديو شرح درس تمارين (2-1) ج2

النقاشات

$z^{2} = 12$

$2 z^{2} - 5 z + 13 = 0$

$z^{2} + 2 z + i (2 - i) = 0$

$4 z^{2} + 25 = 0$

$z^{2} - 2 z i + 3 = 0$

(2)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها $M, L$ حيث:

$M = 1 + 2 i, L = 1 - i$

^{$M = \frac{3 - i}{1 + i}, L = (3 - 2 i)^{2}$}

$- 6 i$

$7 + 24 i$

$\frac{4}{1 - \sqrt{3} i}$

$i$

^{$5 - i$}

^{$\frac{\sqrt{2} + 3 i}{4}$}

(5)- إذا كان $3 + i$ هو أحد جذري المعادلة $x^{2} - a x + (5 + 5 i) = 0$ فما قيمة $a \in ℂ$ ؟ وما قيمة الجذر الآخر؟