للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (5-1)

(1)- احسب ما يلي:

${[\cos \frac{5}{24} π + i \sin \frac{5}{24} π]}^{4}$

${[\cos \frac{5}{24} π + i \sin \frac{5}{24} π]}^{4} = [\cos 4 \frac{5}{24} π + i \sin 4 \frac{5}{24} π] = [\cos \frac{5 π}{6} + i \sin \frac{5 π}{6}]$

تقع في الربع الثاني $\frac{π}{6} = 30, 5 \times 30 = 150$

$= - \cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6} = [- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i]$

${[\cos 3 \frac{7}{12} π + i \sin \frac{7}{12} π]}^{- 3}$

$[\cos (- 3 \frac{7}{12} π) + i \sin (- 3 \frac{7}{12} π)] = [\cos \frac{- 7 π}{4} + i \sin \frac{- 7 π}{4}] = [\cos \frac{7 π}{4} - i \sin \frac{7 π}{4}]$

تقع في الربع الرابع $7 \times 45 = 315, \frac{π}{4} = 45$

$= \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4} = [\frac{1}{\sqrt{2}} + i (\frac{1}{\sqrt{2}})] = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i$

(2)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر (أو التعميم) ما يأتي:

$(1 - i)^{7}$

$\begin{aligned} z = 1 - i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $\frac{π}{4}$ تقع في الربع الرابع $θ = 2 π - \frac{π}{4} = \frac{8 π - π}{4} = \frac{7 π}{4}$

الصيغة القطبية:

$Z = \sqrt{2} (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})$

نبدأ بتطبيق مبرهنة ديموافر:

$\begin{aligned} Z^{7} = (\sqrt{2})^{7} (\cos θ + i \sin θ)^{7} = (\sqrt{2})^{7} {(\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4})}^{7} \\ Z^{7} = (\sqrt{2})^{7} (\cos 7 \frac{7 π}{4} + i \sin 7 \frac{7 π}{4}) = (\sqrt{2})^{6} \sqrt{2} (\cos \frac{49 π}{4} + i \sin \frac{49 π}{4}) \end{aligned}$

$\frac{49}{4} = 12$ زوجي دائماً والباقي 1 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي $\frac{π}{4}$ وهي $\frac{π}{4}$ تقع في الربع الرابع.

$\begin{aligned} = (2^{3}) \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) \\ = 8 \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + i \frac{8 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8 + 8 i \end{aligned}$

$(\sqrt{3} + i)^{- 9}$

$\begin{aligned} Z = \sqrt{3} + i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{6}$ تقع في الربع الأول.

الصيغة القطبية:

$Z = 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})$

نبدأ بتطبيق مبرهنة ديموافر:

$\begin{aligned} Z^{- 9} = (\sqrt{3} + 1)^{- 9} = r^{- 9} (\cos θ + i \sin θ)^{- 9} = (2)^{- 9} {(\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})}^{- 9} \\ Z^{- 9} = \frac{1}{(2)^{9}} {(\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})}^{- 9} = \frac{1}{512} (\cos (\frac{- 9 π}{6}) + i \sin (\frac{- 9 π}{6})) \end{aligned} \begin{aligned} Z^{- 9} = \frac{1}{512} (\cos (\frac{- 3 π}{2}) + i \sin (\frac{- 3 π}{2})) = \frac{1}{512} (\cos \frac{3 π}{2} - i \sin \frac{3 π}{2}) \\ Z^{- 9} = \frac{1}{512} (0 - i (- 1)) = \frac{i}{512} \end{aligned}$

(3)- بسط ما يأتي:

$\frac{[\cos 2 θ + i \sin 2 θ]^{5}}{[\cos 3 θ + i \sin 3 θ]^{3}}$

$\frac{[\cos 2 θ + i \sin 2 θ]^{5}}{[\cos 3 θ + i \sin 3 θ]^{3}} = \frac{{[(\cos θ + i \sin θ)^{2}]}^{5}}{{[(\cos θ + i \sin θ)^{3}]}^{3}} = \frac{(\cos θ + i \sin θ)^{10}}{(\cos θ + i \sin θ)^{9}} = \cos θ + i \sin θ$

$(\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos θ - i \sin θ)^{4}$

$\begin{aligned} (\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos θ - i \sin θ)^{4} \\ = (\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos (- θ) + i \sin (- θ))^{4} \\ = (\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos θ + i \sin θ)^{- 4} = (\cos θ + i \sin θ)^{4} \\ = \cos 4 θ + i \sin 4 θ \end{aligned}$

(4)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

$\begin{aligned} Z = - 1 + \sqrt{3} i \Rightarrow r = \sqrt{(- 1)^{2} + (\sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{3}$ تقع في الربع الثاني $θ = π - \frac{π}{3} = \frac{2 π}{3}$

$\begin{aligned} \sqrt{Z} = \sqrt{- 1 + \sqrt{3 i}} \Rightarrow (- 1 + \sqrt{3 i})^{\frac{1}{2}} = (r)^{\frac{1}{2}} (\cos θ + i \sin θ)^{\frac{1}{2}} \\ Z^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} [\cos \frac{\frac{2 π}{3} + 2 k π}{2} + i \sin \frac{\frac{2 π}{3} + 2 k π}{2}] \\ Z^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2} (\cos \frac{\frac{2 π + 6 k π}{3}}{2} + i \sin \frac{\frac{2 π + 6 k π}{3}}{2}) = \sqrt{2} (\cos \frac{2 π + 6 k π}{6} + i \sin \frac{2 π + 6 k π}{6}) \end{aligned} \begin{array}{ll} Z_{1} = \sqrt{2} (\cos \frac{2 π}{6} + i \sin \frac{2 π}{6}) = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) & (k = 0) \\ Z_{1} = \sqrt{2} (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \\ Z_{2} = \sqrt{2} (\cos \frac{8 π}{6} + i \sin \frac{8 π}{6}) = \sqrt{2} (\cos \frac{4 π}{3} + i \sin \frac{4 π}{3}) & (k = 1) \end{array}$

زاوية الإسناد $\frac{4 π}{3}$ تقع في الربع الثالث $θ = π - \frac{4 π}{3} = \frac{4 π - 3 π}{3} = \frac{π}{3}$

$Z_{2} = \sqrt{2} (- \cos \frac{π}{3} - i \sin \frac{π}{3}) = \sqrt{2} (- \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} i$

(5)- باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد $27 i$ .

$\begin{aligned} Z = 27 i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(27)^{2}} = 27 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{0}{27} = 0, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{27}{27} = 1 \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{2}$ تقع في الربع الأول.

$\begin{aligned} \sqrt[3]{Z} = \sqrt[3]{27 i} \Rightarrow Z^{\frac{1}{3}} = r^{\frac{1}{3}} (\cos θ + i \sin θ)^{\frac{1}{3}} = (27)^{\frac{1}{3}} {(\cos \frac{π}{2} + i \sin \frac{π}{2})}^{\frac{1}{3}} \\ Z^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} (\cos (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3}) + i \sin (\frac{\frac{π}{2} + 2 k π}{3})) k = 0, 1, 2 \\ Z^{\frac{1}{3}} = 3 (\cos (\frac{π + 4 k π}{6}) + i \sin (\frac{π + 4 k π}{6})) \\ k = 0 \Rightarrow Z_{1} = 3 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})) = 3 [\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i] = [\frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i] \\ k = 1 \Rightarrow Z_{2} = 3 (\cos (\frac{5 π}{6}) + i \sin (\frac{5 π}{6})) \end{aligned}$

زاوية الإسناد $\frac{5 π}{6}$ تقع في الربع الثاني $θ = π - \frac{5 π}{6} = \frac{π}{6}$

$Z_{2} = 3 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6})) = 3 [\frac{- \sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i] = [\frac{- 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i] k = 2 \Rightarrow Z_{3} = 3 (\cos (\frac{9 π}{6}) + i \sin (\frac{9 π}{6})) = 3 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})) Z_{3} = 3 (0 + (- 1) i) = 0 - 3 i = - 3 i$

(6)- جد الجذور الأربع للعدد $(- 16)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

الصيغة الوزارية:

جد حل المعادلة حيث $x \in ℂ$ وباستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر $x^{4} + 16 = 0$

$\begin{aligned} Z = - 16 \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(16)^{2}} = 16 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 16}{16} = - 1, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{0}{16} = 0 \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = π$

$\begin{aligned} \sqrt[4]{Z} & = \sqrt[4]{- 16} \Rightarrow Z^{\frac{1}{4}} = r^{\frac{1}{4}} (\cos θ + i \sin θ)^{\frac{1}{4}} = (16)^{\frac{1}{4}} (\cos π + i \sin π)^{\frac{1}{4}} \\ \sqrt[n]{Z} & = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})] \\ Z^{\frac{1}{4}} & = \sqrt[4]{16} (\cos (\frac{π + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{π + 2 k π}{n})) n = 4, k = 0, 1, 2, 3 \end{aligned} \begin{aligned} k = 0 \Rightarrow Z_{1} & = 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) = 2 [\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i] = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \\ k = 1 \Rightarrow Z_{2} & = 2 (\cos \frac{3 π}{4} + i \sin \frac{3 π}{4}) = 2 (- \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) \\ Z_{2} & = 2 (\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i) = - \sqrt{2} + \sqrt{2} i \\ k = 2 \Rightarrow Z_{3} & = 2 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4}) = 2 (- \cos \frac{π}{4} - i \sin \frac{5 π}{4}) \\ Z_{3} & = 2 (\frac{- 1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i) = - \sqrt{2} - \sqrt{2} i \\ k = 3 \Rightarrow & Z_{4} = 2 (\cos \frac{7 π}{4} + i \sin \frac{7 π}{4}) = 2 (\cos \frac{π}{4} - i \sin \frac{π}{4}) \\ Z_{4} & = 2 (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i) = \sqrt{2} - \sqrt{2} i \end{aligned}$

(7)- جد الجذور الستة للعدد $(- 64 i)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

$\begin{aligned} Z = - 64 i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(- 64)^{2}} = \sqrt{(64)^{2}} = 64 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{0}{64} = 0, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{- 64}{64} = - 1 \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{3 π}{2}$

$\begin{aligned} \sqrt[6]{Z} = \sqrt[6]{- 64 i} \Rightarrow Z^{\frac{1}{6}} = r^{\frac{1}{6}} (\cos θ + i \sin θ)^{\frac{1}{6}} = (64)^{\frac{1}{6}} {(\cos \frac{3 π}{2} + i \sin \frac{3 π}{2})}^{\frac{1}{6}} \\ \sqrt[n]{Z} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})] \\ Z^{\frac{1}{6}} = \sqrt[6]{64} = [\cos (\frac{\frac{3 π}{2} + 2 k π}{6}) + i \sin (\frac{\frac{3 π}{2} + 2 k π}{6})] \\ Z^{\frac{1}{6}} = 2 [\cos (\frac{3 π + 4 k π}{12}) + i \sin (\frac{3 π + 4 k π}{12})], k = 0, 1, 2, \dots 5 \\ k = 0 \Rightarrow Z_{1} = 2 (\cos \frac{3 π}{12} + i \sin \frac{3 π}{12}) = 2 (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) = 2 (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i) = \sqrt{2} + \sqrt{2} i \end{aligned} \begin{aligned} k = 1 \Rightarrow Z_{2} = 2 (\cos \frac{7 π}{12} + i \sin \frac{7 π}{12}) \\ k = 2 \Rightarrow Z_{3} = 2 (\cos \frac{11 π}{12} + i \sin \frac{11 π}{12}) \\ k = 3 \Rightarrow Z_{4} = 2 (\cos \frac{15 π}{12} + i \sin \frac{15 π}{12}) = 2 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4}) = 2 (- \cos \frac{π}{4} - i \sin \frac{π}{4}) \\ k = 4 \Rightarrow Z_{4} = 2 (\frac{- 1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i) = - \sqrt{2} - \sqrt{2} 1 \\ k = 5 \Rightarrow Z_{6} = 2 (\cos \frac{23 π}{12} + i \sin \frac{23 π}{12}) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-1)

(1)- احسب ما يلي:

${[\cos \frac{5}{24} π + i \sin \frac{5}{24} π]}^{4}$

${[\cos 3 \frac{7}{12} π + i \sin \frac{7}{12} π]}^{- 3}$

(2)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر (أو التعميم) ما يأتي:

$(1 - i)^{7}$

$(\sqrt{3} + i)^{- 9}$

(3)- بسط ما يأتي:

$\frac{[\cos 2 θ + i \sin 2 θ]^{5}}{[\cos 3 θ + i \sin 3 θ]^{3}}$

$(\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos θ - i \sin θ)^{4}$

(4)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(5)- باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد $27 i$ .

(6)- جد الجذور الأربع للعدد $(- 16)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(7)- جد الجذور الستة للعدد $(- 64 i)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (5-1)

(1)- احسب ما يلي:

[cos⁡524π+isin⁡524π]4

[cos⁡3712π+isin⁡712π]−3

(2)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر (أو التعميم) ما يأتي:

(1−i)7

(3+i)−9

(3)- بسط ما يأتي:

[cos⁡2θ+isin⁡2θ]5[cos⁡3θ+isin⁡3θ]3

(cos⁡θ+isin⁡θ)8(cos⁡θ−isin⁡θ)4

(4)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب −1+3i باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(5)- باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد 27i.

(6)- جد الجذور الأربع للعدد (-16) باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(7)- جد الجذور الستة للعدد (-64i) باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

فيديو شرح درس تمارين (5-1)

النقاشات

${[\cos \frac{5}{24} π + i \sin \frac{5}{24} π]}^{4}$

${[\cos 3 \frac{7}{12} π + i \sin \frac{7}{12} π]}^{- 3}$

$(1 - i)^{7}$

$(\sqrt{3} + i)^{- 9}$

$\frac{[\cos 2 θ + i \sin 2 θ]^{5}}{[\cos 3 θ + i \sin 3 θ]^{3}}$

$(\cos θ + i \sin θ)^{8} (\cos θ - i \sin θ)^{4}$

(4)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(5)- باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر جد الجذور التكعيبية للعدد $27 i$ .

(6)- جد الجذور الأربع للعدد $(- 16)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.

(7)- جد الجذور الستة للعدد $(- 64 i)$ باستخدام نتيجة مبرهنة ديموافر.