lesson دراستي - الجذور التكعيبية للواحد صحيح

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الجذور التكعيبية للواحد صحيح

Z3=1Z31=0(Z1)(Z2+z+1)=0either Z=1 الأول الجذرorz2+z+1=0 بالدستور a=1,b=1,c=1 Z=b±b24ac2a=(1)±(1)2(4)(1)(1)2(1)Z=1±142=1±32Z=1±3i2=12±32ieither z=12+32i=ω الثاني الجذرor z=1232i=ω2 الثالث الجذر

هناك ثلاثة جذور للواحد الصحيح وهي (1,ω,ω2) حيث أن الرمز (w) يقرأ أوميكا "Omega"

خواص الجذور التكعيبية للواحد الصحيح:

  1. الجذران ω,ω2 جذران تخيليان مترافقان.
  2. مجموع الجذور الثلاثة يساوي صفر أي 1+ω+ω2=0
  3. حاصل ضرب الجذور الثلاثة يساوي واحد أي ωω2=1

استنتاجات لخواص الجذور:

  1. مجموع أي جذرين = سالب الجذر الآخر مثلاً 1+ω2=ω,ω+1=ω2,ω+ω2=1
  2. أي جذر = سالب (مجموع الجذرين الآخرين) مثلاً 1=ωω2,ω2=1ω,ω=1ω2
  3. ω3=1ω=1ω2ω2=1ω
  4. كل ω هي مرافق ω2 وبالعكس يمكن استبدال أحدهما بالآخر كما في المثالين التالين: 2ω+5ω2=3ω2+5ω و4ω+2ω2=4ω2+2ω
  5. ωω2=ω2ω=±3i لاحظ: (12+32i)(1232i)=23i2=+3i و(1232i)(12+32i)=23i2=3i
  6. ω.ω2=ω3=1 لاحظ: (12+32i)(1232i)=(12)2+(32)2=14+34=44=1
  7. نستخدم (r=0,1,2,3,)،ω3n+r=ωr حيث (r) عدد صحيح.
  8. نستخدم ω3 في عمليات التبسيط.

ومن هذه الاستنتاجات نتوصل إلى أن ناتج ω مرفوعة إلى قوة معينة هو أحد جذور الوا(1,ω,ω2) لاحظ الأمثلة التالية:

1) ω4=ω3ω=(1)ω=ω2) ω5=ω3ω2=(1)ω2=ω23) ω6=(ω3)2=ω3ω3=(1)(1)=14) ω81=(ω3)27=(1)27=15) ω58=ω58ω60=ω58+60=ω26) ω4=1ω4=1ω3ω=1ω=ω3ω=ω27) ω22=1ω22=1(ω3)7ω=1(1)7ω=ω3ω=ω28) ω6n+5=ω6nω5=(ω3)2nω5=(1)2nω5=ω5=ω3ω2=ω29) ω7+ω5+1=0LHS:ω7+ω5+1=(ω3)2ω+ω3ω2+1=ω+ω2+1=0:RHS10) ω6n5=ω(1)(6n+5)=ω1ω6n+5=ω6n+5ω=(ω3)2nω5ω1ω3ω2ω=ω2ω=ω11) 12+2ω+2ω2=2(1+ω+ω2)=2(0)=012) (2+5ω+5ω2)3=[2+5(ω+ω2)]3=[25]3=(3)3=2713) 4(2+ω+2ω2)9=4[ω+2(1+ω2)]9=4[ω2ω]94[(ω)9]=4(ωω9)=414) (32ω)2+(32ω2)2=912ω+4ω2+912ω2+4ω4=912ω+4ω2+912ω2+4ω=188ω8ω2=188(ω+ω2)=18+8=26

(1)- أثبت أن:

(11+ω211+ω)2=3

LHS: (11+ω211+ω)2=(1ω1ω2)2=(ω3ωω3ω2)2=(ω2+ω)2=ω42ω3+ω2=ω2+ω2=12=3 :RHS

(12ω12ω2)2=349

LHS:(12ω12ω2)2=((2ω2)(2ω)(2ω2)(2ω))2=(2ω22+ω42ω2ω2+ω3)2=(ω2+ω42(ω+ω2)+1)2=(ω2+ω5+2)2=(ω2+ω)2(7)2=ω42ω3+ω249=ω2+ω249=1249=349:RHS

(1ω1ω2)2(2+2ω)(11+ω2)=6

LHS:(1ω1ω2)2(2+2ω)(11+ω2)=(ω3ωω3ω2)2(2+2ω3ω)(ω3ω)=(ω2ω)2(2+2ω2)(ω2)=(ω42ω3+ω2)(2)(1+ω2)(ω2)=(ω2+ω2)(2)(ω)(ω2)=(12)(2ω3)=(3)(2)=6:RHS

ω14+ω71ω10+ω52=23

LHS:ω14+ω71ω10+ω52=(ω3)4ω2+(ω3)2ω1(ω3)3ω+ω3ω22=ω2+ω1ω+ω22=1112=23=23:RHS

(12ω2+ω2)(1+ω5ω)=18

LHS:(12ω2+ω2)(1+ω5ω)=(12ω3ω2+ω2)(1+ω5ω3ω)=(12ω+ω2)(1+ω5ω2)=(1+ω22ω)(1+ω5ω2)=(ω2ω)(ω25ω2)=(3ω)(6ω2)=18ω3=18:RHS

(1+ω2)3+(1+ω)3=2

LHS:(1+ω2)3+(1+ω)3=(ω)3+(ω2)3=(ω)3+(ω3)2=ω3(ω3)2=11=2:RHS

ω(2+5ω+2ω2)2+ω2(2+2ω+5ω2)2=19

LHS:ω[2(1+ω2)+5ω]2+ω2[2(1+ω)+5ω2]2=ω[2ω+5ω]2+ω2[2ω2+5ω2]2=ω[3ω]2+ω2[3ω2]2=ω9ω2+ω29ω4=ω9ω2+19ω2=ω+19ω2=ω29ω2=19:RHS

(2)- إذا كان (x+yi)=(1+2ω+1ω)2 أثبت أن x2+y2=1

(1+2ω+1ω)2=(1+2ω+ω3ω)2=(1+2ω+ω2)2=(ω+2ω)2=ω2=1232ix2+y2=(12)2+(32)2=14+34=44=1

(3)- جد بأبسط صورة:

ω(1+i)4(5+3ω+5ω2)2

ω(1+i)4(5+3ω+5ω2)2=ω[(1+i)2]2[3ω+5(1+ω2)]2=ω(1+2i+i2)2(3ω5ω)2=ω(2i)2(2ω)2=4ω4ω2=4(ω+ω2)=4(1)=4

5ω+33ω2+5

5ω+33ω2+5=(5ω+3ω33ω2+5)3=(ω(5+3ω2)3ω2+5)3=ω3=1

(4)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها: (4+5ω+5ω2)2,(3+5ω+4ω2)6

h=(4+5ω+5ω2)2=[4+5(ω+ω2)]2=(45)2=(1)2=1k=(3+5ω+4ω2)6=[3+5ω+4(1ω)]6=[3+5ω44ω]6=[1+ω]6k=[(1+ω)2]3=(12ω+ω2)3=(1+ω22ω)3=(ω2ω)3=(3ω)3=27(h+k)=(1)+(27)=26(h.k)=(1)(27)=27x2(26)x27=0x2+26x27=0 التربيعية المعادلة

(5)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها: (2ω+3ωi),(2ω2+3ω2i)

h=(2ω+3ωi)=(2ω3ω+3ωi)=(2ω2+3ωi)k=(2ω2+3ω2i)=(2ω3ω2+3ω2i)=(2ω+3ω2i)(h+k)=(2ω2+3ωi)+(2ω+3ω2i)=2(ω2+ω)+3(ω+ω2)i=23ihk=(2ω2+3ωi)(2ω+3ω2i)=(4ω39ω3)+(6ω4+6ω2)ihk=(49)+6(ω+ω2)i=56ix2(23i)x+(56i)=0 التربيعية المعادلة

(6)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها: h=1ω2i,k=1ωi

h+k=(1ω2i)+(1ωi)=(1+1)+(ω2ω)i=2+ihk=(1ω2i)(1ωi)=(1ω3)+(ω2ω)i=ix2(2+i)x+i=0 التربيعية المعادلة

(7)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها: (3iω2ωi),(3iω22ω2i)

h=(3iω2ωi)=(3ω3iω2ωiii)=(3ω2i+2ωi)=(3ω2+2ω)ik=(3iω22ω2i)=(3ω3iω22ω2iii)=(3ωi+2ω2i)=(3ω+2ω2)ih+k=(3ω2+2ω)i+(3ω+2ω2)i=(5ω2+5ω)i=5(ω2+ω)i=5ihk=(3ω2+2ω)i(3ω+2ω2)i=(9ω3+6ω4+6ω2+4ω3)hk=[(13)+6(ω+ω2)]=(136)=7x2(5i)x+(7)=0 التربيعية المعادلة

(8)- كون المعادلة التربيعية التي جذراها: 21ω2,21ω

h=21ω2,k=21ωh+k=21ω2+21ω=2(1ω)+2(1ω2)(1ω2)(1ω)h+k=22ω+22ω21ωω2+ω3=42(ω+ω2)2ωω2=4+22+1=63=2hk=(21ω2)(21ω)=41ωω2+ω3=43x22x+43=0 التربيعة المعادلة

(9)- أوجد قيمة كل مما يأتي:

(13+4ω+5ω213+5ω+4ω2)2

(13+4ω+5ω213+5ω+4ω2)2=(13+4(1ω2)+5ω213+5(1ω2)+4ω2)2=(1344ω2+5ω21355ω2+4ω2)2=(11+ω212ω2)2=(2ω2(1+ω2)(1+ω2)(2ω2))2=(2+1ω2ω22+ω22ω2ω4)2=(12ω22+(ω2ω))2=(12ω22+1)2=(12ω23)2=1+4ω2+4ω49=1+4ω2(1+ω2)9=1+4ω2(ω)9=14ω39=149=39=13

(1+ω13+1+ω14)2

(1+ω13+1+ω14)2=(1+ω+1+ω2)2=(ω2+ω)2=(ω2i+ωi)2=(ωi+ω2i)2=(i(ω+ω2))2=(i)2=i2=1

1ω2+ω1+i+ω+ωi

1ω2+ω1+i+ω+ωi=1+ωω21+i+ω(1+i)=ω2ω2(1+i)(ω2)=2ω2(1+i)(ω2)=21+i1i1i=2(1i)2=1i

(2ω+32ω+2)2(1ω+4ω+1)

(2ω+32ω+2)2(1ω+4ω+1)=(2ω3ω+32ω+2)2(ω3ω+4ω+1)=(2ω2+32ω+2)2(ω2+4ω+1)=[2(ω2+3ω+1)]2(ω2+4ω+1)=(2[(ω2+1)+3ω])2(ω2+1+4ω)=(2[(ω)+3ω])2(ω+4ω)=(2(2ω))2(3ω)=(8ω2)(3ω)=24ω3=24

(10)- إذا كان a=(12+32) فأثبت (a12+a22+a23=0) وكذلك (a9a16a32=1)

(12+32)=12+3i2=ωa12+a22+a23=ω12+ω22+ω23=(ω3)4+(ω3)7ω+(ω3)7ω2=1+ω+ω2=0a9a16a32=ω9ω16ω32=1ωω2=ω3=1

(11)- برهن أن 11+ω2+2+ω2ω4=i

11+ω2+2+ω2ω4=1ω+2+ω2ω=1(2+ω2)ω=1ω2ω=ωω=1=i

(12)- برهن أن (ωω2)8=81

(ωω2)8=[(ωω2)2]4=[ω22ωω2+ω4]4=[ω2+ω42]4=[12]4=[3]4=[(3)2]2=[9]2=81

(13)- برهن أن (1+ω4)3+(1ω7ω8)3=7

(1+ω4)3+(1ω7ω8)3=(1+ω)3+(1ωω2)3=(ω2)3+(1(ω+ω2))3=(ω6)+(1(1))3=1+(2)3=1+8=7

(14)- أوجد الناتج (1ω41ω2)(2ω6+2ω)(ω61+ω5)

(1ω41ω2)(2ω6+2ω)(ω61+ω5)=(1ω1ω2)(2+2ω)(11+ω2)=(ω3ωω3ω2)(2+2ω3ω)(1ω)=(ω2ω)(2+2ω2)(ω3ω)=(ω2ω)(2+2ω2)(ω2)=(ω2ω)[2(ω2)+2ω2(ω2)]=(ω2ω)[2ω2+2ω]=(ω2ω)[2(ω2+ω)]=(ω2ω)[2(1)]=2(±3i)=23i

(15)- جد ناتج x,y والتي تحقق المعادلة التالية: x+yi=8ω2

يحل بطريقتين:

الطريقة الأولى:

x+yi=8ω2=8ω=8(12+3i2)=443ix+yi=443ix=4,y=43

الطريقة الثانية:

x+yi=8ω2=8123i2=8123i2×12+3i212+3i2=443i(12)2+(32)2x+yi=443i14+34=443i1=443ix+yi=443ix=4,y=43

طريقة حل المسائل التي تحتوي على w فهناك بعض الطرق الأساسية التي تستخدم في تبسيط حل المسائل وهي كالآتي:

الطريقة الأولى: إيجاد العامل المشترك

(16)- جد قيمة ما يأتي:

2+11ω+11ω225ω5ω2

2+11ω+11ω225ω5ω2=2+11(ω+ω2)25(ω+ω2)=2112+5=97=3i7

1+10ω+10ω213ω3ω2

1+10ω+10ω213ω3ω2=1+10(ω+ω2)13(ω+ω2)=1101+3=94=3i2

(17)- جد قيم x,y التي تحقق المعادلة: x+yi=(1+ω32+1+ω61)23+i1+i

x+yi=(1+ω32+1+ω61)23+i1+i=(1+ω2+1+ω)23+i1+i×1i1ix+yi=(ω+ω2)233i+ii212+12=(ωω3+iω)242i2x+yi=(ω4+iω)2422i2=(iω2+iω)242i2=[i(ω2+ω)]2(2i)x+yi=[i(1)]2(2i)=1(2i)=3+ix=3,y=1

(18)- جد قيم x,y التي تحقق المعادلة: xω+yωi=(iω2+iω2)12

xω+yωi=(iω2+iω2)12ω(x+yi)=(i(ω2+1)ω2)12ω(x+yi)=(i(ω)ω2)12=(iω)12ω(x+yi)=(i(ω3)ω)12ω(x+yi)=(iω2)12=iω2ω(x+yi)=ωi(x+yi)=iبلتربيع(x+yi)2=ix2+2xyiy2=0ix2y2+2xyi=0ix2y2=0(1)2xy=1(2)y=12x.() (1) في (*) معادلة نعوضx214x2=04x2×نضرب4x21=0(2x21)(2x2+1)=0either 2x21=0x2=12x=±12y=12(±12)=122(±12)=12or2x2+1=02x2=1 يهمل12+12i,1212i هما الجذران

(19)- جد قيمة الآتي: (1i)4(5+3ω+5ω2)3

(1i)4(5+3ω+5ω2)3=[(1i)2]2(5+3ω+5(1ω))3[12i+i2]2(5+3ω55ω)3=[2i]2(2ω)3=4i2+8ω3=4+8=4

(20)- كون المعادلة التربيعية التي جدراها (2ω+2ω21)2,(22ω2ω2)2

(2ω+2ω21)2=(2ω+2(1ω)1)2=(2ω22ω1)2=(3)2=9 الأول الجذر(22ω2ω2)2=(22ω2(1ω))2=(22ω+2+2ω)2=(4)2=16 الثاني الجذر9+16=25 الجذرين مجموع(9)(16)=144 الجذرين ضربx2(الجذرين مجموع)x+الجرين ضرب حاصل=0x225x+144=0 التربيعة المعادلة

الطريقة الثانية: طريقة الاستبدال

(21)- جد ناتج (3+2ω+4ω2)2

(3+2ω+4ω2)2=[3+2ω+4(1ω)]2=(3+2ω44ω)2=(12ω)2=1+4ω+4ω2=1+4(ω+ω2)=14=3

الطريقة الثالثة: معاملات البسط والمقام متساوية

(22)- جد ناتج 10ω+33ω2+10

10ω+33ω2+10=10ω+3ω33ω2+10=ω(10+3ω2)3ω2+10=ω

(23)- أثبت أن (abω2aωbdcωdω2c)4=9

(abω2aωbdcωdω2c)4=(abω2aωbω3dω3cωdω2c)4=(abω2ω(abω2)ω(dω2c)dω2c)4=(1ωω)4=(ω2ω)4=(±3i)4=[(±3i)2]2=(3i2)2=(3)2=9

الطريقة الرابعة: إيجاد المضاعف المشترك

(24)- أثبت أن (53ω53ω2)2=75169

(53ω53ω2)2=25(13ω13ω2)2=(25)((3ω2)(3ω)(3ω)(3ω2))2=(25)(3ω23+ω93ω23ω+ω3)2=(25)(ω2+ω103ω23ω)2=(25)(ω2+ω10+3(ω2ω))2=(25)(ω2+ω10+3(1))2=(25)(ω2+ω13)2=(25)(ω42ω3+ω2169)=(25)(ω4+ω22169)=(25)((ω4+ω2)2169)=(25)((ω+ω2)2169)=(25)((1)2169)=(25)(3169)=75169

(25)- جد قيمة x 4x2x12+32i2x1232i+12=0

4x2x+ω2x+ω2+21=0([2]2)x2x+ω2x+ω2+2ω+ω2=0 الأسس نجزأ22x2x2ω2x2ω2+2ω2ω2=02x(2x2ω)2ω2(2x2ω)=0(2x2ω)(2x2ω2)=0either (2x2ω)=02x=2ωx=ωor(2x2ω2)=02x=2ω2x=ω2

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

النقاشات