للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الجذور التربيعية للعدد المركب

إذا كان $x^{2} = a$ فإن $x = \pm \sqrt{a}$ وهي الجذور التربيعية للعدد $(a)$ أما إذا كانت $x^{2} = 4$ فإن $x = 2$ هو أحد جذري المعادلة ولإيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب لاحظ الأمثلة التالية:

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $c = 8 + 6 i$

$8 + 6 i = (a + b i)^{2} \Rightarrow a^{2} + 2 a b i - b^{2} = 8 + 6 i \begin{aligned} a^{2} - b^{2} + 2 a b i = 8 + 6 i \\ a^{2} - b^{2} = 8 \dots \dots (1) \\ 2 a b = 6 \dots \dots \dots (2)] \div 2 \\ a b = 3 \Rightarrow b = \frac{3}{a} \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{aligned} a^{2} - \frac{9}{a^{2}} = 8] \times a^{2} \Rightarrow a^{4} - 9 = 8 a^{2} \Rightarrow a^{4} - 8 a^{2} - 9 = 0 \\ (a^{2} - 9) (a^{2} + 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$a^{2} - 9 \Rightarrow a = \pm 3 b = \frac{3}{a} = \frac{3}{\pm 3} \Rightarrow b = \pm 1$

أو:

$a^{2} + 1 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 1$ تهمل.

الجذران هما $3 + i, - 3 - i$

ملاحظة: نلاحظ أن $a, b$ تأخذ قيم حقيقية فقط فلذلك $a^{2} = - 1$ وهي قيمة تخيلية تهمل.

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد $- i$

$\begin{aligned} - i = (a + b i)^{2} \\ 0 - i = a^{2} + 2 a b i - b^{2} \Rightarrow 0 - i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \Rightarrow \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots (1) \\ 2 a b = - 1 \dots \dots \dots (2) \\ b = \frac{- 1}{2 a} \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{aligned} a^{2} - \frac{1}{4 a^{2}} = 0] \times 4 a^{2} \\ 4 a^{4} - 1 = 0 \Rightarrow (2 a^{2} - 1) (2 a^{2} + 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$2 a^{2} - 1 = 0 \Rightarrow 2 a^{2} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} b = \frac{- 1}{2 (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\mp 1}{\sqrt{2}}$

أو:

$2 a^{2} + 1 = 0 \Rightarrow 2 a^{2} = - 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{- 1}{2}$ تهمل.

الجذران هما $\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i$

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$

$\begin{aligned} - 1 + \sqrt{3} i = (x + y i)^{2} \\ - 1 + \sqrt{3} i = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i \\ x^{2} - y^{2} = - 1 \dots \dots (1) \\ 2 x y = \sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2 x} \dots \dots (2) \\ x^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{2 x})}^{2} = - 1 \\ x^{2} - \frac{3}{4 x^{2}} = - 1 \overset{4 x^{2} \times \dot{ٍ}}{=} 4 x^{4} - 3 = - 4 x^{2} \Rightarrow 4 x^{4} + 4 x^{2} - 3 = 0 \\ (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$2 x^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} = - 3$ تهمل حيث $x \in R$

أو:

$2 x^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{\pm \frac{2}{\sqrt{2}}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

الجذران هما $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} i, - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} i$

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد $8 i$

$\begin{aligned} 8 i = (a + b i)^{2} \\ 0 + 8 i = a^{2} + 2 a b i - b^{2} \Rightarrow 0 + 8 i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots \dots (1) \\ 2 a b = 8 \dots \dots \dots \dots (2) \\ b = \frac{8}{2 a} \Rightarrow b = \frac{4}{a} \dots \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$a^{2} - \frac{16}{a^{2}} = 0] \times a^{2} \Rightarrow a^{4} - 16 = 0 \Rightarrow (a^{2} + 4) (a^{2} - 4) = 0$

إما:

$a^{2} + 4 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 4$ تهمل.

أو:

$a^{2} - 4 = 0 \Rightarrow a = \pm 2$

$b = \frac{4}{\pm 2} = \pm 2$

الجذران هما $2 + 2 i, - 2 - 2 i$

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد $- 25$

$c^{2} = - 25 \Rightarrow c = \pm \sqrt{- 25} = \pm \sqrt{25 (- 1)} = \pm \sqrt{25 i^{2}} = \pm 5 i$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الجذور التربيعية للعدد المركب

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $c = 8 + 6 i$

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد $- i$

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد $8 i$

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد $- 25$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الجذور التربيعية للعدد المركب ج1

فيديو شرح درس الجذور التربيعية للعدد المركب ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الجذور التربيعية للعدد المركب

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب c=8+6i

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد -i

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب −1+3i

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد 8i

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد -25

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس الجذور التربيعية للعدد المركب ج1

فيديو شرح درس الجذور التربيعية للعدد المركب ج2

النقاشات

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $c = 8 + 6 i$

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد $- i$

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد $8 i$

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد $- 25$