للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

النظير الضربي للعدد المركب

ملاحظات:

عند ظهور (i) في المقام نضرب المقام والبسط بمرافق المقام لتبسيط الحل.
يمكن استخدام التعبير (مقلوب العدد المركب) بدل (النظير الضربي) ويرمز له بالرمز $c^{- 1} = \frac{1}{c}$ .

(1)- جد النظير الضربي لكل مما يأتي:

$c = 3 + 4 i$

$c^{- 1} = \frac{1}{c} = \frac{1}{3 + 4 i} \cdot \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i} = \frac{3 - 4 i}{9 + 16} = \frac{3}{25} - \frac{4}{25} i$

$c = (3 - 2 i)^{2} - 4 i (1 - 2 i)$

$\begin{aligned} (3 - 2 i)^{2} - 4 i (1 - 2 i) & = (9 - 12 i + 4 i^{2}) + (- 4 i + 8 i^{2}) \\ = (5 - 12 i) + (- 8 - 4 i) = - 3 - 16 i \end{aligned} c^{- 1} = \frac{1}{c} = \frac{1}{- 3 - 16 i} = \frac{1}{- 3 - 16 i} \cdot \frac{- 3 + 16 i}{- 3 + 16 i} = \frac{- 3 + 16 i}{9 + 256} = \frac{- 3}{265} + \frac{16}{265} i$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعيهما (6) وحاصل ضربهما (25).

لتكن x=a+bi , y=a-bi

$\begin{aligned} (a + b i) + (a - b i) = 6 \Rightarrow 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \\ (a + b i) \cdot (a - b i) = 25 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 25 \Rightarrow 9 + b^{2} = 25 \Rightarrow b^{2} = 25 - 9 \Rightarrow b^{2} = 16 \\ b = \mp 4 \end{aligned}$

العددان هما $(3 + 4 i), (3 - 4 i)$

(3)- إذا كان $(c_{2} = 3 - 2 i), (c_{1} = 1 + i)$ فتحقق من الآتي:

$\bar{c_{1} + c_{2}} = \bar{c_{1}} + \bar{c_{2}}$

$LHS \bar{c_{1} + c_{2}} = \bar{(1 + ı) + (3 - 2 l)} = \bar{(1 + 3) + (1 - 2) ı} = \bar{4 - ı} = 4 + i RHS \bar{c_{1}} + \bar{c_{2}} = (1 - i) + (3 + 2 i) = (1 + 3) + (- 1 + 2) i = 4 + i LHS = RHS$

$\bar{c_{1} \cdot c_{2}} = \bar{c_{1}} \cdot \bar{c_{2}}$

$LHS \bar{c_{1} \cdot c_{2}} = \bar{(1 + ı) \cdot (3 - 2 l)} = \bar{(3 - 2 l) + (3 l - 2 ι^{2})} = \bar{5 + ı} = 5 - i RHS \bar{c_{1}} \cdot \bar{c_{2}} = \bar{(1 + i)} \cdot \bar{(3 - 2 i)} = (1 - i) (3 + 2 i) = 3 + 2 i - 3 i + 2 = 5 - i LHS = RHS$

$\bar{(\frac{c_{1}}{c_{2}})} = \frac{\bar{c_{1}}}{\bar{c_{2}}}$

$LHS \bar{(\frac{c_{1}}{c_{2}})} = \bar{(\frac{1 + l}{3 - 2 l} \times \frac{3 + 2 l}{3 + 2 l})} = \bar{\frac{3 + 2 l + 3 l + 2 l^{2}}{9 + 4}} = \bar{\frac{\bar{1 + 5 l}}{13}} = \frac{1 - 5 i}{13} = \frac{1}{13} - \frac{5 i}{13} RHS \frac{\bar{c_{1}}}{\bar{c_{2}}} = \frac{\bar{1 + i}}{\bar{3 - 2 i}} = \frac{1 - i}{3 + 2 i} = \frac{1 - i}{3 + 2 i} \times \frac{3 - 2 i}{3 - 2 i} = \frac{3 - 2 i - 3 i + 2 i^{2}}{9 + 4} = \frac{1 - 5 i}{13} = \frac{1}{13} - \frac{5 i}{13} LHS = RHS$

$\bar{\bar{c_{1}}} = c_{1}$

$\bar{\bar{c_{1}}} = c_{1} \Rightarrow \bar{\bar{c_{1}}} = \bar{\bar{1 + i}} = \bar{1 - ı} = 1 + i = c_{1}$

(4)- إذا كان $\frac{x - y i}{1 + 5 i}, \frac{3 - 2 i}{i}$ مترافقان فجد قيمة كل $x, y \in R$

لأن العددان مترافقان $\frac{x - y i}{1 + 5 i} = \frac{3 - 2 i}{i}$

$\begin{aligned} \frac{x - y i}{1 + 5 i} = \frac{3 + 2 i}{- i} \\ - i (x - y i) = (3 + 2 i) (1 + 5 i) \\ - i x + y i^{2} = 3 + 15 i + 2 i + 10 i^{2} \\ - x i - y = - 7 + 17 i \end{aligned}$

باستخدام خاصية التساوي:

$\begin{aligned} - x i = 17 i \Rightarrow x = - 17 \\ - y = - 7 \Rightarrow y = 7 \end{aligned}$

(5)- أثبت أن العددين مترافقين $2 + 3 i, 2 - 3 i$

جمع العددان = 2a

$(2 + 3 i) + (2 - 3 i) = (2 + 2) + (3 + (- 3)) i = 4 + 0 i = 4 = 2 a$

حاصل ضربهما = a²+b²

^{$(2 + 3 i) (2 - 3 i) = 4 - 6 i + 6 i - 9 i^{2} = 4 + 9 = 13$}

العددان مترافقان.

(6)- $x \in C$ وكان $\bar{x}$ مرافق له، جد العدد المركب $x$ إذا كان $2 x + \bar{x} = 5 i - 4$

$x = a + b i, \bar{x} = a - b i$

نعوض في المعادلة:

$\begin{aligned} 2 (a + b i) + a - b i = 5 i - 4 \Rightarrow 2 a + 2 b i + a - b i = 5 i - 4 \\ 3 a + b i = 5 i - 4 \end{aligned}$

باستخدام خاصية التساوي:

$3 a + b i = - 4 + 5 i 3 a = - 4 \Rightarrow a = \frac{- 4}{3}, b = 5$

(7)- إذا كان $x = \frac{4 + 2 i}{1 + i}, y = \frac{1 - i}{i}$ أثبت أن $x + y = 2 - 2 i$

$LHS : x + y = \frac{4 + 2 i}{1 + i} + \frac{1 - i}{i} \begin{aligned} = \frac{4 + 2 i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{1 - i}{i} \cdot \frac{- i}{- i} \\ = \frac{4 - 4 i + 2 i - 2 i^{2}}{1 + 1} + \frac{(- i - 1)}{- i^{2}} = \frac{6 - 2 i}{2} + \frac{(- i - 1)}{1} = \frac{6}{2} - \frac{2 i}{2} + (- i - 1) \\ = 3 - i + (- 1 - i) = 2 - 2 i : RHS \end{aligned} LHS = RHS$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

النظير الضربي للعدد المركب

(1)- جد النظير الضربي لكل مما يأتي:

$c = 3 + 4 i$

$c = (3 - 2 i)^{2} - 4 i (1 - 2 i)$

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعيهما (6) وحاصل ضربهما (25).

(3)- إذا كان $(c_{2} = 3 - 2 i), (c_{1} = 1 + i)$ فتحقق من الآتي:

$\bar{c_{1} + c_{2}} = \bar{c_{1}} + \bar{c_{2}}$

$\bar{c_{1} \cdot c_{2}} = \bar{c_{1}} \cdot \bar{c_{2}}$

$\bar{(\frac{c_{1}}{c_{2}})} = \frac{\bar{c_{1}}}{\bar{c_{2}}}$

$\bar{\bar{c_{1}}} = c_{1}$

(4)- إذا كان $\frac{x - y i}{1 + 5 i}, \frac{3 - 2 i}{i}$ مترافقان فجد قيمة كل $x, y \in R$

(5)- أثبت أن العددين مترافقين $2 + 3 i, 2 - 3 i$

(6)- $x \in C$ وكان $\bar{x}$ مرافق له، جد العدد المركب $x$ إذا كان $2 x + \bar{x} = 5 i - 4$

(7)- إذا كان $x = \frac{4 + 2 i}{1 + i}, y = \frac{1 - i}{i}$ أثبت أن $x + y = 2 - 2 i$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس النظير الضربي للعدد المركب

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

النظير الضربي للعدد المركب

(1)- جد النظير الضربي لكل مما يأتي:

c=3+4i

c=(3−2i)2−4i(1−2i)

(2)- جد عددين مركبين مترافقين مجموعيهما (6) وحاصل ضربهما (25).

(3)- إذا كان (c2=3−2i) , (c1=1+i) فتحقق من الآتي:

c1+c2¯=c1¯+c2¯

c1⋅c2¯=c1¯⋅c2¯

(c1c2)¯=c1¯c2¯

c1¯¯=c1

(4)- إذا كان x−yi1+5i , 3−2ii مترافقان فجد قيمة كل x,y∈R

(5)- أثبت أن العددين مترافقين 2+3i , 2−3i

(6)- x∈C وكان x¯ مرافق له، جد العدد المركب x إذا كان 2x+x¯=5i−4

(7)- إذا كان x=4+2i1+i , y=1−ii أثبت أن x+y=2−2i

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس النظير الضربي للعدد المركب

النقاشات

$c = 3 + 4 i$

$c = (3 - 2 i)^{2} - 4 i (1 - 2 i)$

(3)- إذا كان $(c_{2} = 3 - 2 i), (c_{1} = 1 + i)$ فتحقق من الآتي:

$\bar{c_{1} + c_{2}} = \bar{c_{1}} + \bar{c_{2}}$

$\bar{c_{1} \cdot c_{2}} = \bar{c_{1}} \cdot \bar{c_{2}}$

$\bar{(\frac{c_{1}}{c_{2}})} = \frac{\bar{c_{1}}}{\bar{c_{2}}}$

$\bar{\bar{c_{1}}} = c_{1}$

(4)- إذا كان $\frac{x - y i}{1 + 5 i}, \frac{3 - 2 i}{i}$ مترافقان فجد قيمة كل $x, y \in R$

(5)- أثبت أن العددين مترافقين $2 + 3 i, 2 - 3 i$

(6)- $x \in C$ وكان $\bar{x}$ مرافق له، جد العدد المركب $x$ إذا كان $2 x + \bar{x} = 5 i - 4$

(7)- إذا كان $x = \frac{4 + 2 i}{1 + i}, y = \frac{1 - i}{i}$ أثبت أن $x + y = 2 - 2 i$