للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

التمارين العامة الخاصة بالفصل الثاني

(1)- قطع ناقص مركزه نقطة الأصل وقطع زائد نقطة تقاطع محوريه نقطة الأصل كل منهما يمر ببؤرة الآخر فإذا كانت $9 x^{2} + 25 y^{2} = 225$ معادلة القطع الناقص فجد:

مساحة القطع الناقص

$\begin{aligned} 9 x^{2} + 25 y^{2} = 225 \overset{\div 225}{⟹} \frac{9 x^{2}}{225} + \frac{25 y^{2}}{225} = \frac{225}{225} \Rightarrow \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1 \\ a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5, b^{2} = 9 \Rightarrow b = 3 \\ ∴ A = a b π = (5) (3) π = 15 π (مربعة وحدة) \end{aligned}$

محيط القطع الناقص

$p = 2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} = 2 π \sqrt{\frac{25 + 9}{2}} = 2 π \sqrt{\frac{34}{2}} = 2 π \sqrt{17} (وحدة)$

معادلة القطع الزائد ثم ارسمه

من القطع الناقص: $\begin{aligned} a^{2} = 25 \Rightarrow a = 5, b^{2} = 9 \Rightarrow b = 3 \\ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow c^{2} = 25 - 9 \Rightarrow c^{2} = 16 \Rightarrow c = 4 \\ ∴ (5, 0), (- 5, 0) (الرأسان) \\ (4, 0), (- 4, 0) (البؤرتان) \end{aligned}$

من القطع الزائد: القطع الزائد يمر ببؤرة القطع الناقص:

$(5, 0), (- 5, 0) (البؤرتان) (4, 0), (- 4, 0) (الرأسان) b^{2} = c^{2} - a^{2} \Rightarrow b^{2} = 25 - 16 \Rightarrow b^{2} = 9 \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (الزائد القطع معادلة)$

الاختلاف المركزي لكل منهما

الاختلاف المركزي للقطع الناقص $e = \frac{c}{a} = \frac{4}{5} < 1$
الاختلاف المركزي للقطع الزائد $e = \frac{c}{a} = \frac{5}{4} > 1$

الشكل

(2)- جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرتاه تنتميان لمحور السينات ومركز نقطة الأصل ومساحة منطقته $7 π$ وحدة مربعة ومحيطه يساوي $10 π$ وحدة.

مساحة منطقة القطع الناقص $7 π =$

$A = a b π = 7 π \Rightarrow a b = 7 \Rightarrow b = \frac{7}{a} \dots \dots \dots (1)$

محيط القطع الناقص $10 π =$

$\begin{aligned} P = 2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \Rightarrow 10 π = 2 π \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} \overset{(+ 2 π)}{⟹} 5 = \sqrt{\frac{a^{2} + b^{2}}{2}} (بالتربيع) \\ \frac{a^{2} + b^{2}}{2} = 25 \Rightarrow a^{2} + b^{2} = 50 \dots \dots \dots (2) \end{aligned}$

بتعويض معادلة (1) في معادلة (2):

$\begin{aligned} [a^{2} + \frac{49}{a^{2}} = 50] \times a^{2} \\ a^{4} - 50 a^{2} + 49 = 0 \\ (a^{2} - 49) (a^{2} - 1) = 0 \\ either a^{2} = 49 \Rightarrow a = 7 \Rightarrow b = \frac{7}{a} = \frac{7}{7} \Rightarrow b = 1 \Rightarrow b^{2} = 1 \\ or a^{2} = 1 \Rightarrow a = 1 \Rightarrow b = \frac{7}{a} = \frac{7}{1} \Rightarrow b = 7 (يهمل) \\ \frac{x^{2}}{49} + \frac{y^{2}}{1} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

لأن قيمة $(a)$ يجب أن تكون أكبر من قيمة $(b)$ في القطع الناقص.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

التمارين العامة الخاصة بالفصل الثاني