للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل والبؤرتان على محور الصادات وطول المحور الحقيقي له $16$ والنسبة بين المسافة بين بؤرتيه وطول محوره الحقيقي $\frac{5}{4}$

$\begin{aligned} ∵ 2 a = 16 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ ∵ \frac{2 c}{2 a} = \frac{5}{4} \Rightarrow \frac{c}{8} = \frac{5}{4} \Rightarrow c = \frac{40}{4} = 10 \Rightarrow c^{2} = 100 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 100 - 64 \Rightarrow b^{2} = 36 \\ \frac{y^{2}}{64} - \frac{x^{2}}{36} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(2)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $x^{2} = 20 y$ وطول محوره المرافق يساوي البعد بين بؤرتي القطع الناقص $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

من القطع المكافئ: $\begin{aligned} x^{2} = 4 p y \\ x^{2} = 20 y \\ 4 p = 20 \Rightarrow p = 5 \Rightarrow (0, 5) (البؤرة) \end{aligned}$

من القطع الناقص: $a^{2} = 16, b^{2} = 9 \Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow c^{2} = 7 \Rightarrow c = \sqrt{7} \Rightarrow 2 c = 2 \sqrt{7}$

من القطع الزائد: $∵ 2 b = 2 \sqrt{7} (المرافق المحور طول) b = \sqrt{7} \Rightarrow b^{2} = 7 \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1, c = 5, (0, - 5), (0, 5) (الزائد القطع بؤرتا) c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow a^{2} = 25 - 7 \Rightarrow a^{2} = 18 \frac{y^{2}}{18} - \frac{x^{2}}{7} = 1 (الزائد القطع معادلة)$

(3)- جد معادلة القطع الزائد الذي يمر بالنقطتين $(0, 3 \sqrt{2}), (3, - 6)$

القطع الزائد يمر بالنقطة $(0, 3 \sqrt{2})$ لذا فالنقطة تمثل رأس القطع الزائد وقيمة $a = 3 \sqrt{2}$ فإن:

$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$(3, - 6)$ تنتمي للقطع الزائد لذا فهي تحقق معادلته

$\frac{(- 6)^{2}}{(3 \sqrt{2})^{2}} - \frac{(3)^{2}}{b^{2}} = 1 \Rightarrow \frac{36}{18} - \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow 2 - \frac{9}{b^{2}} = 1 \Rightarrow b^{2} = 9 \Rightarrow \frac{y^{2}}{18} - \frac{x^{2}}{9} = 1$

(4)- جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه رأسا القطع الناقص $\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$ وطول محوره الحقيقي $(12)$ وحدة.

من القطع الناقص: $a^{2} = 100, b^{2} = 64 \Rightarrow a = \pm 10 \Rightarrow (- 10, 0), (10, 0) (الناقص القطع رأسا)$

من القطع الزائد: $\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ⟸ c = 10 ⟸ (- 10, 0), (10, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \\ ∵ 2 a = 12 \Rightarrow a = 6 \Rightarrow a^{2} = 36 \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 100 - 36 \Rightarrow b^{2} = 64 \\ \frac{x^{2}}{36} - \frac{y^{2}}{64} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(5)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبعده البؤري مساوياً لبعد بؤرة القطع المكافئ عن دليله $y^{2} + 24 x = 0$ ، إذا علمت أن مساحة القطع الناقص $80 π {cm}^{2}$

في القطع المكافئ: $y^{2} = - 4 p x \begin{aligned} y^{2} + 24 x = 0 \Rightarrow y^{2} = - 24 x \\ - 24 x = - 4 p x \overset{(\div - 4)}{⟹} p = 6 \Rightarrow 2 p = 12 (ودليله المكافئ القطع بؤرة بين البعد) \end{aligned}$

في القطع الناقص: $\begin{aligned} 2 c = 12 \Rightarrow c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36 \\ a^{2} = c^{2} + b^{2} \Rightarrow a^{2} - b^{2} = 36 . . . . (1) \\ A = a b π \Rightarrow 80 π = a b π \Rightarrow b = \frac{80}{a} . . . . (2) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (2) في المعادلة (1) فينتج:

$\begin{aligned} a^{2} - {(\frac{80}{a})}^{2} = 36 \overset{(\times a^{2})}{⟹} a^{4} - 6400 = 36 a^{2} \Rightarrow a^{4} - 36 a^{2} - 6400 = 0 \\ (a^{2} - 100) (a^{2} + 64) = 0 \\ (إما) a^{2} = 100 \Rightarrow b^{2} = \frac{6400}{a^{2}} = \frac{6400}{100} = 64 \\ (أو) a^{2} = - 64 (يهمل) \end{aligned}$

هناك معادلتان للقطع الناقص لأن موقع البؤرتين غير محدد هما:

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1 or \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1$

(6)- جد معادلة القطع الزائد والناقص إذا كان كل منهما يمر ببؤرتي الآخر وكلاهما يقعان على محور السينات وطول المحور الكبير $6 \sqrt{2}$ وحدة طول وطول المحور الحقيق يساوي $6$ وحدة طول.

كل من القطعتين يمر ببؤرة الآخر.

رأسا القطع الناقص يمثلان بؤرتا القطع الزائد وبؤرتا القطع الناقص تمثلان رأسا القطع الزائد للناقص $c$ = للزائد $a$

للزائد $c$ = للناقص $a$

$\begin{aligned} 2 a = 6 \sqrt{2} \Rightarrow a = 3 \sqrt{2} \Rightarrow a^{2} = 18 (الناقص القطع) \\ 2 a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 (الزائد القطع) \\ (\pm 3 \sqrt{2}, 0) (الناقص القطع رأسا) \\ (\pm 3, 0) (الناقص القطع بؤرتي) \Rightarrow c = 3 \Rightarrow c^{2} = 9 \end{aligned} \begin{aligned} ∵ a^{2} = b^{2} + c^{2} \\ ∴ b^{2} = 18 - 9 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ (\pm 3 \sqrt{2}, 0) (الزائد القطع بؤرتي) \\ (\pm 3, 0) (الزائد القطع رأسي) \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \end{aligned} \begin{aligned} ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ b^{2} = 18 - 9 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ \frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (الناقص القطع معادلة) \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة