للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

أمثلة إضافية محلولة

(1)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان لمحور السينات ومساحته $24 π$ والنسبة بين طول محوريه $\frac{3}{8}$

$\begin{aligned} A = a b π \Rightarrow 24 π = a b π \Rightarrow a = \frac{24}{b} \\ \frac{2 a}{2 b} = \frac{3}{8} \Rightarrow 3 a = 8 b \Rightarrow a = \frac{8 b}{3} \Rightarrow \frac{24}{b} = \frac{8 b}{3} \Rightarrow 8 b^{2} = 72 \Rightarrow b^{2} = 9 \\ ∴ b = 3 \Rightarrow a = \frac{24}{b} = \frac{24}{3} = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(2)- جد معادلة القطع الناقص الذي مركزه نقطة الأصل ومحوراه ينطبقان على المحورين الإحداثيين وإحدى بؤرتيه هي بؤرة القطع المكافئ الذي معادلته $(x^{2} - 12 y = 0)$ وطول محوره الكبير ضعف طول محوره الصغير.

من القطع المكافئ:

$\begin{aligned} x^{2} = 4 a y \\ x^{2} = 12 y \Rightarrow 4 p = 12 \Rightarrow p = 3 \Rightarrow (0, 3) (البؤرة) \end{aligned}$

من القطع الناقص:

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1 ⟸ c = 3 ⟸ (0, 3), (0, - 3) (البؤرتان) \\ ∵ 2 a = 2 (2 b) \Rightarrow a = 2 b \Rightarrow a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow (2 b)^{2} = b^{2} + 9 \Rightarrow 4 b^{2} = b^{2} + 9 \Rightarrow 3 b^{2} \\ = 9 \Rightarrow b^{2} = 3 \\ ∴ a^{2} = 4 b^{2} = 4 (3) = 12 \\ \frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{12} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(3)- جد معادلة القطع الناقص الذي يمر بالنقطة $(0, 3)$ والمسافة بين بؤرتيه $6$ وحدات.

$\begin{aligned} ∵ 2 c = 6 \Rightarrow c = 3 \\ ∵ a > c \Rightarrow b = 3 \\ ∵ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = 9 + 9 \Rightarrow a^{2} = 18 \\ ∴ \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{18} = 1 (الأولى الناقص القطع معادلة) \\ o r \frac{x^{2}}{18} + \frac{y^{2}}{9} = 1 (الثانية الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(4)- لتكن $M x^{2} + N y^{2} = 400$ معادلة قطع ناقص إحدى بؤرتيه $(3, 0)$ والنسبة بين طول محوره الكبير ومحوره الصغر $\frac{4}{5} =$ فجد قيم كل من $M, N \in R$

$M x^{2} + N y^{2} = 400] \div 400 \Rightarrow \frac{M x^{2}}{400} + \frac{N y^{2}}{400} = 1 \Rightarrow \frac{x^{2}}{\frac{400}{M}} + \frac{y^{2}}{\frac{400}{N}} = 1$

البؤرة تنتمي لمحور السينات فإن $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} a^{2} = \frac{400}{M}, b^{2} = \frac{400}{N}, c = 3 \\ ∵ \frac{2 b}{2 a} = \frac{4}{5} \Rightarrow b = \frac{4}{5} a \Rightarrow b^{2} = \frac{16}{25} a^{2} \\ ∵ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow [a^{2} = \frac{16}{25} a^{2} + 9] \times 25 \end{aligned} \begin{aligned} 25 a^{2} = 16 a^{2} + 225 \Rightarrow 9 a^{2} = 225 \Rightarrow a^{2} = 25, b^{2} = \frac{16}{25} .25 = 16 \\ a^{2} = \frac{400}{M} \Rightarrow M = \frac{400}{a^{2}} = \frac{400}{25} = 16 \\ b^{2} = \frac{400}{N} \Rightarrow N = \frac{400}{b^{2}} = \frac{400}{16} = 25 \\ \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(5)- جد معادلة القطع الناقص الذي مساحته $80 π$ والذي يكون البعد بين بؤرتيه مساوياً للبعد بين بؤرة القطع المكافئ $(y^{2} + 24 x = 0)$ ودليله.

القطع المكافئ:

$\begin{aligned} y^{2} = 4 p x \\ y^{2} = - 24 x \\ ∴ 4 p = - 24 \Rightarrow p = - 6 \Rightarrow | 2 p | = 12 \\ 2 c = 12 \Rightarrow c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36 \end{aligned}$

القطع الناقص:

$\begin{aligned} A = a b π \Rightarrow 80 π = a b π \Rightarrow a b = 80 \Rightarrow b = \frac{80}{a} \Rightarrow b^{2} = \frac{6400}{a^{2}} \\ ∵ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{6400}{a^{2}} + 36 \overset{(\times a^{2})}{⟹} a^{4} = 6400 + 36 a^{2} \\ a^{4} - 36 a^{2} - 6400 = 0 \Rightarrow (a^{2} - 100) (a^{2} + 64) = 0 \\ either a^{2} = 100 \Rightarrow b^{2} = \frac{6400}{100} = 64 \\ or b^{2} = - 64 (يهمل) \\ \frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1 (الأول الناقص القطع معادلة) \\ \frac{x^{2}}{64} + \frac{y^{2}}{100} = 1 (الثاني الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

(6)- إذا كانت $\frac{y^{2}}{3 M - 2} - x = 0$ معادلة قطع مكافئ دليله يمر بالنقطة $(- 1, 2)$ جد معادلة القطع الناقص الذي أحد بؤرتيه $(0, M)$ ومربع طول النسبة بين محوريه $\frac{3}{4} =$

من القطع المكافئ:

نلاحظ أن القطع المكافئ من النوع السيني لذا فإن معادلة الدليل له

$\begin{aligned} x = - p = - (- 1) \Rightarrow x = 1 (السيني المحور على يقع لأنه) \\ y^{2} = (3 M - 2) x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 3 M - 2 = 4 p \Rightarrow 3 M - 2 = 4 \Rightarrow M = 2 \end{aligned}$

من القطع الناقص:

بؤرتاه $(0, - 2), (0, 2)$ والقانون $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$

$\begin{aligned} ∵ \frac{4 b^{2}}{4 a^{2}} = \frac{3}{4} \Rightarrow b^{2} = \frac{3}{4} a^{2}, c^{2} = 4 \\ ∵ a^{2} = b^{2} + c^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{3}{4} a^{2} + 4 \overset{\times 4}{⟹} 4 a^{2} = 3 a^{2} + 16 \Rightarrow a^{2} = 16, b^{2} = 12 \\ \frac{x^{2}}{12} + \frac{y^{2}}{16} = 1 (الناقص القطع معادلة) \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

أمثلة إضافية محلولة