للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

القطع الزائد

القطع الزائد: هي مجموعة النقط في المستوي التي تكون القيمة المطلقة لفرق بعدي أي منها عن نقطتين ثابتتين (البؤرتان) يساوي عدداً ثابتاً $(2 a)$

حسب التعريف $| P F_{1} - P F_{2} | = 2 a$

الشكل

معادلة قطع زائد بؤرتاه سينيتان والمركز نقطة الأصل $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

معادلة قطع زائد بؤرتاه صاديتان والمركز نقطة الأصل

جدول يبين مفردات القطع الزائد في الحالتين:

القطع الزائد	البؤرتان	الرأسان	القطبان	المعادلة
	$\begin{matrix} F_{1} (c, 0) \\ F_{2} (- c, 0) \end{matrix}$	$\begin{matrix} V_{1} (a, 0) \\ V_{2} (- a, 0) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (0, b) \\ (0, - b) \end{matrix}$	$\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$
	$\begin{matrix} F_{1} (0, c) \\ F_{2} (0, - c) \end{matrix}$	$\begin{matrix} V_{1} (0, a) \\ V_{2} (0, - a) \end{matrix}$	$\begin{matrix} (b, 0) \\ (- b, 0) \end{matrix}$	$\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

ملاحظات:

دائماً $a, b, c > 0, c > a, b$
طول المحور الحقيقي $2 a =$ (العدد الثابت).
طول المحور التخيلي $2 b =$ (المحور المرافق).
المسافة بين البؤرتين $2 c =$ (البعد البؤري).
الاختلاف المركزي $e = \frac{c}{a} > 1$
$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
إذا كانت إشارة الـ $(x^{2})$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه سينيتان.
إذا كانت إشارة الـ $(y^{2})$ موجبة فالقطع الزائد بؤرتاه صاديتان.

(1)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

$\begin{aligned} ∵ a^{2} = 64 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow 2 a = 16 (وحدة) . . . . (الحقيقي المحور طول) \\ ∵ b^{2} = 36 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 2 b = 12 (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} = 64 + 36 \Rightarrow c^{2} = 100 \Rightarrow c = 10 \\ V_{1} (8, 0), V_{2} (- 8, 0) (الزائد القطع رأسا) \\ P_{1} (0, 6), P_{2} (0, - 6) (الزائد القطع قطبا) \\ F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \end{aligned}$

الشكل

(2)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وطول محوره المرافق $(4)$ وحدات وبؤرتاه هما النقطتان. $F_{1} (0, \sqrt{8}), F_{2} (0, - \sqrt{8})$

البؤرتان تنتمي لمحور الصادات

المعادلة القياسية للقطع الزائد $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} ∵ 2 b = 4 \Rightarrow b = 2 \Rightarrow b^{2} = 4 \\ c = \sqrt{8} \Rightarrow c^{2} = 8 \\ ∵ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow a^{2} = c^{2} - b^{2} \Rightarrow a^{2} = 8 - 4 \Rightarrow a^{2} = 4 \\ \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

في هذا المثال يكون المحور الحقيقي مساوٍ للمحور المرافق ويسمى القطع الزائد القائم واختلافه المركزي ثابت هو $\sqrt{2}$ لأن النقاط الأربعة تشكل رؤوس مربع.

(3)- جد معادلة القطع الزائد اختلافه المركزي $(2)$ والمسافة بين بؤرتيه $(12)$ وبؤرتاه على محور الصادات.

البؤرتان صاديتان فمعادلة القطع:

$\begin{aligned} \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ 2 c = 12 \Rightarrow c = 6 \\ e = \frac{c}{a} \Rightarrow a = \frac{c}{e} \Rightarrow a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = c^{2} - a^{2} \Rightarrow b^{2} = 36 - 9 \Rightarrow b^{2} = 27 \\ \frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{27} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(4)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتاه $(10, 0)$ والفرق بين طول محوره الحقيقي والتخيلي يساوي $4$

$\begin{aligned} c = 10 \Rightarrow c^{2} = 100 \\ 2 a - 2 b = 4 \Rightarrow a - b = 2 \\ a = 2 + b \dots \dots (1) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 100 = (2 + b)^{2} + b^{2} \\ 100 = 4 + 4 b + b^{2} + b^{2} \\ 100 = 4 + 4 b + 2 b^{2} \\ [2 b^{2} + 4 b - 96 = 0] \div 2 \\ b^{2} + 2 b - 48 = 0 \\ (b + 8) (b - 6) = 0 \\ b = - 8 (تهمل) \\ b = 6 \Rightarrow b^{2} = 36 \\ a = 2 + 6 = 8 \Rightarrow a^{2} = 64 \\ \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(5)- جد معادلة القطع المخروطي الذي مركزه نقطة الأصل وأحد بؤرتيه $(0, - 6)$ وأحد رأسيه $(0, 4)$

القطع المخروطي إذا لم يذكر نوعه ولكن من علاقة $c > a$ نحصل على أنه قطع زائد.

$\begin{aligned} c = 6 \Rightarrow c^{2} = 36 \\ a = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 ∴ c > a (زائد قطع لأنه) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 36 = 16 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 36 - 16 \Rightarrow b^{2} = 20 \\ \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{20} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(6)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وأحد رأسيه بؤرة القطع المكافئ $y^{2} - 32 x = 0$ والنسبة بين البعد بين بؤرتيه إلى طول محوره المرافق كنسبة $\frac{5}{3}$

$\begin{aligned} y^{2} - 32 x = 0 (المكافئ القطع) \\ y^{2} = 32 x \\ y^{2} = 4 p x \Rightarrow 4 p = 32 \Rightarrow p = 8 \\ F_{1} (8, 0) (المكافئ القطع بؤرة) \\ V_{1}, V_{2} (الزائد للقطع) \end{aligned} \begin{aligned} \frac{2 c}{2 b} = \frac{5}{3} \Rightarrow 3 c = 5 b \Rightarrow c = \frac{5 b}{3} \dots \dots \dots (1) \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ {(\frac{5 b}{3})}^{2} = 64 + b^{2} \\ [\frac{25 b^{2}}{9} = 64 + b^{2}] \times 9 \\ 25 b^{2} = 576 + 9 b^{2} \Rightarrow 25 b^{2} - 9 b^{2} = 576 \\ 16 b^{2} = 576 \Rightarrow b^{2} = \frac{576}{16} = 36 \Rightarrow b = 6 \\ \frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(7)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل وبؤرتاه تنتميان إلى محور السينات ويمر بالنقطتين. $(- 5, \frac{9}{4}), (4 \sqrt{2}, 3)$

نعوض النقطة $(4 \sqrt{2}, 3)$ في معادلة القطع الزائد $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} \frac{(4 \sqrt{2})^{2}}{a^{2}} - \frac{(3)^{2}}{b^{2}} = 1 \\ (\frac{32}{a^{2}} - \frac{9}{b^{2}} = 1) a^{2} b^{2} \\ 32 b^{2} - 9 a^{2} = a^{2} b^{2} . . . . . . . . (1) \end{aligned}$

نعوض النقطة $(- 5, \frac{9}{4})$ في معادلة القطع الزائد

$\frac{(- 5)^{2}}{a^{2}} - \frac{{(\frac{9}{4})}^{2}}{b^{2}} = 1 \begin{aligned} (\frac{25}{a^{2}} - \frac{\frac{81}{16}}{b^{2}} = 1) a^{2} b^{2} \\ 25 b^{2} - \frac{81}{16} a^{2} = a^{2} b^{2} \dots \dots \dots \dots (2) \\ 32 b^{2} - 9 a^{2} = a^{2} b^{2} \dots \dots \dots \dots (1) \end{aligned} \begin{aligned} \mp 25 b^{2} + \frac{81}{16} a^{2} = \mp a^{2} b^{2} \dots \dots . . (2) \\ [7 b^{2} - \frac{63}{16} a^{2} = 0] \times 16 \\ 112 b^{2} - 63 a^{2} = 0 \\ 63 a^{2} = 112 b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{112}{63} b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{16}{9} b^{2} \\ 32 b^{2} - 9 . \frac{16}{9} b^{2} = \frac{16}{9} b^{2} b^{2} \\ 32 b^{2} - 16 b^{2} = \frac{16}{9} b^{4} \Rightarrow 16 b^{2} = \frac{16}{9} b^{4} \Rightarrow 16 = \frac{16}{9} b^{2} \Rightarrow b^{2} = 9 \\ a^{2} = \frac{16}{9} b^{2} \Rightarrow a^{2} = \frac{16}{9} \times 9 = 16 \\ \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(8)- جد معادلة القطع الزائد الذي مركزه نقطة الأصل ويمر بالنقطة $(3, 0)$ والبعد بين بؤرتيه $10$ وحدات.

$\begin{aligned} a = 3 \Rightarrow a^{2} = 9 \\ 2 c = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^{2} = 25 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 25 = 9 + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 16 \Rightarrow b = 4 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \\ \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(9)- جد معادلة القطع الزائد أحد بؤرتيه بؤرة القطع المكافئ $y^{2} = - 40 x$ والذي يمس دليل القطع المكافئ $y^{2} + 16 x = 0$

$y^{2} = - 40 x, y^{2} = - 16 x y^{2} = - 40 x, y^{2} = - 40 x 4 p = 40 \Rightarrow p = \frac{40}{4} = 10, 4 p = 16 \Rightarrow p = \frac{10}{4} = 4 F (- 10, 0) (المكافئ القطع), x = 4, a = 4 (الدليل معادلة)$

نقطة التماس $a^{2} = 16$ للقطع الزائد $(4, 0)$

$c = 10 \Rightarrow c^{2} = 100 c = 10, F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتي) \begin{aligned} c^{2} = a^{2} + b^{2} \\ 100 = 16 + b^{2} \\ b^{2} = 100 - 16 \\ b^{2} = 84 \\ \frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{84} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

(10)- عين البؤرتين والرأسين وطول كل من المحورين الحقيقي والمرافق للقطع الزائد $\frac{x^{2}}{64} - \frac{y^{2}}{36} = 1$

$\begin{aligned} ∵ a^{2} = 64 \Rightarrow a = 8 \Rightarrow 2 a = 2 \times 8 = 16 (وحدة) . . . . (الحقيق المحور طول) \\ ∵ b^{2} = 36 \Rightarrow b = 6 \Rightarrow 2 b = 2 \times 6 = 12 (وحدة) . . . . (المرافق المحور طول) \end{aligned} \begin{aligned} c^{2} = a^{2} + b^{2} = 64 + 36 = 100 \Rightarrow c^{2} = 100 \Rightarrow c = 10 \\ V_{1} (8, 0), V_{2} (- 8, 0) (الزائد القطع رأسا) \\ P_{1} (0, 6), P_{2} (0, - 6) (الزائد القطع قطبا) \\ F_{1} (10, 0), F_{2} (- 10, 0) (الزائد القطع بؤرتا) \end{aligned}$

(11)- جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه $(0, - 2 \sqrt{5})$ وطول محوره الحقيق $(8)$ وحدات.

البؤرة صادية ومعادلة القطع $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1$

$\begin{aligned} c = 2 \sqrt{5} \Rightarrow c^{2} = 20 \\ 2 a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^{2} = 16 \\ c^{2} = a^{2} + b^{2} \Rightarrow b^{2} = 20 - 16 \Rightarrow b^{2} = 4 \\ \frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1 (الزائد القطع معادلة) \end{aligned}$

ملاحظة: إذا مر القطع الزائد بنقطة إحدى إحداثياتها (صفر)، فالنقطة تمثل إحدى رؤوسه.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

القطع الزائد