للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

مبرهنة ديموافر

$Z^{n} = (c o s θ + i s i n θ)^{n} = c o s (n θ) + i s i n (n θ), n \in N, θ \in R Z^{n} = (c o s θ - i s i n θ)^{n} = c o s (n θ) - i s i n (n θ), n \in N, θ \in R \sqrt[n]{Z} = r^{\frac{1}{n}} [c o s (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i s i n (\frac{θ + 2 k π}{n})], k = 0, 1, 2, 3, \dots, n - 1$

(1)- احسب ${(\cos \frac{3}{8} π + i \sin \frac{3}{8} π)}^{4}$ باستخدام مبرهنة ديموافر

${(\cos \frac{3}{8} π + i \sin \frac{3}{8} π)}^{4} = [\cos \frac{12}{8} π + i \sin \frac{12}{8} π] = \cos \frac{3}{2} π + i \sin \frac{3}{2} π = 0 - i$

(2)- بين لكل $θ \in R, n \in N$ فإن $(\cos θ - i \sin θ)^{n} = \cos (n θ) - i \sin (n θ)$

$\begin{aligned} LHS & = (\cos θ - i \sin θ)^{n} = (\cos θ + (- i \sin θ))^{n} = (\cos θ + i \sin (- θ))^{n} \\ = [\cos (- θ) + i \sin (- θ)]^{n} (\emptyset = - θ) \\ = [\cos (\emptyset) + i \sin (\emptyset)]^{n} = \cos (n \emptyset) + i \sin (n \emptyset) \\ = \cos (- n θ) + i \sin (- n θ) = \cos (n θ) - i \sin (n θ) = RHS \end{aligned}$

ملاحظة: قوانين مهمة في عمليات التبسيط:

$\begin{aligned} \sin (a + b) = \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \sin (b) \\ \sin (a - b) = \sin (a) \cos (b) - \cos (a) \sin (b) \\ \cos (a + b) = \cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) \\ \cos (a - b) = \cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b) \end{aligned}$

(3)- احسب باستخدام ديموافر $(1 + i)^{11}$

التحويل للصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = 1 + i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{4}$ تقع في الربع الأول.

$Z = \sqrt{2} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4})$

الصيغة القطبية عندما ترفع إلى n:

$Z^{n} = r^{n} (\cos θ + i \sin θ)^{n} \Rightarrow Z^{n} = r^{n} (\cos n θ + i \sin n θ)$

نطبق مبرهنة ديموافر:

$\begin{aligned} Z^{11} = (\sqrt{2})^{11} (\cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) \\ Z^{11} = (\sqrt{2})^{11} (\cos 11 \cdot \frac{π}{4} + i \sin 11 \cdot \frac{π}{4}) = (\sqrt{2})^{10} \cdot \sqrt{2} (\cos 11 \cdot \frac{π}{4} + i \sin 11 \cdot \frac{π}{4}) \\ Z^{11} = {[2^{(\frac{1}{2})}]}^{10} \cdot \sqrt{2} (\cos 11 \cdot \frac{π}{4} + i \sin 11 \cdot \frac{π}{4}) = 2^{5} \cdot \sqrt{2} (\cos \frac{11 π}{4} + i \sin \frac{11 π}{4}) \end{aligned}$

$\frac{11}{4} = 2$ زوجي دائماً والباقي 3 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي $\frac{π}{4}$ وهي $\frac{3 π}{4}$

$3 \times 45 = 135$ تقع في الربع الثاني، وتكون الزاوية كما يلي نقوم بحذف الباقي وأخذ $\frac{π}{4}$ أو نحسبها كالآتي: $π - \frac{3 π}{4} = \frac{π}{4}$

$\begin{aligned} - \cos \frac{π}{4} = - \frac{1}{\sqrt{2}}, \sin \frac{π}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \\ Z^{11} = 32 \sqrt{2} (- \cos \frac{π}{4} + i \sin \frac{π}{4}) \\ Z^{11} = 32 \sqrt{2} (- \frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}}) \\ Z^{11} = \frac{- 32 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} + i \frac{32 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\ Z^{11} = (- 32 + 32 i) = 32 (- 1 + i) \end{aligned}$

ملاحظة: لا يمكن التعامل مع أي زاوية إلا إذا كانت بالقياس الرئيسي أي أنها تقع في الفترة $0 \leq θ \leq 2 π$ إذا كانت الزاوية أكبر من $2 π$ نطرح منها دورة كاملة وهي $2 π$ وأحياناً نطرح دورتين يعني $4 π$ أو ثلاث دورات يعني $6 π$ حتى نصل إلى زاوية ذات قياس رئيسي أي زاوية تقع في الفترة $0 \leq θ \leq 2 π$ .

ملاحظة: إذا كان الأس سالب فإن:

$∵ Z^{- n} = (\cos θ + i \sin θ)^{- n} = \cos (- n θ) + i \sin (- n θ) = \cos n θ - i \sin n θ ∴ Z^{- n} = \cos n θ - i \sin n θ$

(4)- احسب باستخدام مبرهنة ديموافر $\frac{1}{(1 - \sqrt{3} i)^{4}}$

$\frac{1}{(1 - \sqrt{3} i)^{4}} = (1 - \sqrt{3} i)^{- 4}$

نستخرج الصيغة القطبية:

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{(1)^{2} + (- \sqrt{3})^{2}} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

تقع في الربع الرابع:

$\begin{aligned} \cos = \frac{1}{2}, \sin = \frac{- \sqrt{3}}{2} \\ 2 π - \frac{π}{3} = \frac{6 π - π}{3} = \frac{5 π}{3} \end{aligned}$

الصيغة القطبية:

$Z = 2 (\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3})$

نطبق قانون مبرهنة ديموافر:

$\begin{aligned} Z^{- 4} = {[2 (\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3})]}^{- 4} \\ Z^{- 4} = (2)^{- 4} {(\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3})}^{- 4} \\ Z^{- 4} = (2)^{- 4} (\cos 4 \cdot \frac{5 π}{3} - i \sin 4 \cdot \frac{5 π}{3}) \\ Z^{- 4} = (2)^{- 4} (\cos \frac{20 π}{3} - i \sin \frac{20 π}{3}) \end{aligned}$

$\frac{11}{4} = 2$ زوجي دائماً والباقي 2 لذلك تكون الزاوية الجديدة باقي $\frac{π}{3}$ وهي $\frac{2 π}{3}$

$2 \times 60 = 120$ تقع في الربع الثاني، وتكون الزاوية كما يلي نقوم بحذف الباقي وأخذ $\frac{π}{2}$ أو نحسبها كالآتي: $π - \frac{2 π}{3} = \frac{π}{3}$

$\begin{aligned} Z^{- 4} = (2)^{- 4} (\cos \frac{2 π}{3} - i \sin \frac{2 π}{3}) \\ - \cos \frac{π}{3} = - \frac{1}{2}, \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ Z^{- 4} = \frac{1}{2^{4}} (\cos \frac{2 π}{3} - i \sin \frac{2 π}{3}) \\ Z^{- 4} = \frac{1}{16} (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) \Rightarrow Z^{- 4} = \frac{1}{16} (- \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i) = - \frac{1}{32} - \frac{\sqrt{3}}{32} i \end{aligned}$

ملاحظة: إذا $Z_{1}, Z_{2}$ بالصيغة القطبية فإن حاصل ضربهما يساوي حاصل ضرب مقياسهما في حاصل جمع سعيتهما.

(5)- احسب $Z_{1}, Z_{2}$ إذا كان:

$\begin{aligned} Z_{1} = 2 (\cos \frac{2 π}{3} + i \sin \frac{2 π}{3}) \\ Z_{2} = 3 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) \end{aligned}$

$Z_{1} \cdot Z_{2} = 3 \times 2 [\cos (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3} + \frac{π}{3})] Z_{1} \cdot Z_{2} = 6 (\cos π + i \sin π) = 6 (- 1 + 0) = - 6$

ملاحظة: حاصل قسمة عددين مركبين:

$\begin{aligned} Z_{1} & = r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1}) \\ Z_{2} & = r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{1}) \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1} (\cos θ_{1} + i \sin θ_{1})}{r_{2} (\cos θ_{2} + i \sin θ_{2})} \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} & = \frac{r_{1}}{r_{2}} [\cos (θ_{1} - θ_{2}) + i \sin (θ_{1} - θ_{2})] \end{aligned}$

حيث أن حاصل قسمة عددين مركبين = حاصل قسمة المقياس الأول على المقياس الثاني مضروب بحاصل طرح سعتيهما (سعة الأول - سعة الثاني).

(6)- إذا كان:

$\begin{aligned} Z_{1} = 4 (\cos \frac{5 π}{2} + i \sin \frac{5 π}{2}) \\ Z_{2} = (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4}) \end{aligned}$

فجد $\frac{z_{1}}{z_{2}}$

$\begin{aligned} \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{4 (\cos \frac{5 π}{4} + i \sin \frac{5 π}{4})}{(\cos \frac{5 π}{2} + i \sin \frac{5 π}{2})} \\ \frac{z_{1}}{z_{2}} = 4 [\cos (\frac{5 π}{4} - \frac{5 π}{2}) + i \sin (\frac{5 π}{4} - \frac{5 π}{2})] \\ \frac{Z_{1}}{Z_{2}} = 4 [\cos (\frac{- 5 π}{4}) + i \sin (\frac{- 5 π}{4})] \\ \frac{Z_{1}}{Z_{2}} = 4 (\cos \frac{5 π}{4} - i \sin \frac{5 π}{4}) \end{aligned}$

(7)- جد ما يأتي: $\frac{(\cos 2 θ + i \sin 2 θ)}{(\cos 3 θ + i \sin 3 θ)}$

$\begin{aligned} \frac{(\cos 2 θ + i \sin 2 θ)}{(\cos 3 θ + i \sin 3 θ)} & = \cos (2 θ - 3 θ) + i \sin (2 θ - 3 θ) \\ = \cos (- θ) + i \sin (- θ) = \cos θ - i \sin θ \end{aligned}$

(8)- حل المعادلة $x^{3} + 1 = 0$ حيث $x \in ℂ$

$\begin{aligned} ∵ x^{3} + 1 = 0 \Rightarrow x^{3} = - 1 \\ x^{3} = - 1 + 0 i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{1 + 0} = 1 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{- 1}{1} = - 1, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{0}{1} = 0 \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = π$

بالجذر التكعيبي:

$\begin{aligned} x^{3} = \cos π + i \sin π \\ ∴ x = (\cos π + i \sin π)^{\frac{1}{3}} \end{aligned}$

$\begin{array}{ll} \sqrt[n]{x} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})] \\ x = [\cos (\frac{π + 2 k π}{3}) + i \sin (\frac{π + 2 k π}{3})] k = 0, 1, 2 & (k = 0) \\ x_{1} = (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i & (k = 1) \\ x_{2} = (\cos \frac{π + 2 π}{3} + i \sin \frac{π + 2 π}{3}) = (\cos \frac{3 π}{3} + i \sin \frac{3 π}{3}) = (\cos π + i \sin π) & (k = 2) \\ x_{2} = - 1 + (0) i = - 1 \\ x_{3} = (\cos \frac{π + 4 π}{3} + i \sin \frac{π + 4 π}{3}) = (\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3}) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i & (k = 2) \end{array}$

مجموعة الحل ${\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i, - 1, \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i}$

(9)- أوجد الصيغة القطبية للمقدار $(\sqrt{3} + i)^{2}$ ثم جد الجذور الخمسة له:

$\begin{aligned} Z = \sqrt{3} + i \Rightarrow r = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2 \\ \cos θ = \frac{x}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \sin θ = \frac{y}{r} = \frac{1}{2} \end{aligned}$

زاوية الإسناد $θ = \frac{π}{6}$ تقع في الربع الأول.

الصيغة القطبية:

$\begin{aligned} Z = 2 (\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6}) \\ Z^{2} = (2)^{2} {(\cos \frac{π}{6} + i \sin \frac{π}{6})}^{2} \\ Z^{2} = 4 (\cos 2 \frac{π}{6} + i \sin 2 \frac{π}{6} = 4 (\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) = 4 (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i) = 2 + 2 \sqrt{3} i \\ {(Z^{2})}^{\frac{1}{5}} = 4^{\frac{1}{5}} {(\cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3})}^{\frac{1}{5}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sqrt[n]{Z} = r^{\frac{1}{n}} [\cos (\frac{θ + 2 k π}{n}) + i \sin (\frac{θ + 2 k π}{n})] \\ \sqrt[5]{z^{2}} = \sqrt[5]{4} (\frac{\cos \frac{π + 6 k π}{3}}{5} + i \frac{\sin \frac{π + 6 k π}{3}}{5}) \\ \sqrt[5]{z^{2}} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{π + 6 k π}{15} + i \sin \frac{π + 6 k π}{15}), k = 0, 1, 2, 3, 4 \\ Z_{1} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{π}{15} + i \sin \frac{π}{15}) \end{aligned} \begin{array}{ll} Z_{2} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{7 π}{15} + i \sin \frac{7 π}{15}) & (k = 1) \\ Z_{3} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{13 π}{15} + i \sin \frac{13 π}{15}) & (k = 2) \\ Z_{4} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{19 π}{15} + i \sin \frac{19 π}{15}) & (k = 3) \\ Z_{5} = \sqrt[5]{4} (\cos \frac{5 π}{3} + i \sin \frac{5 π}{3}) & (k = 4) \end{array}$

(10)- جد باستخدام مبرهنة ديموافر ${(\sin \frac{π}{3} + i \cos \frac{π}{3})}^{10}$

$\begin{aligned} {(\sin \frac{π}{3} + i \cos \frac{π}{3})}^{10} = {(- i^{2} \sin \frac{π}{3} + i \cos \frac{π}{3})}^{10} = {(i (- i \sin \frac{π}{3} + \cos \frac{π}{3}))}^{10} \\ (i^{10}) {(\cos \frac{π}{3} - i \sin \frac{π}{3})}^{10} = - (\cos \frac{10 π}{3} - i \sin \frac{10 π}{3}) \\ = - (\cos \frac{4 π}{3} - i \sin \frac{4 π}{3}) = - (- \cos \frac{π}{3} + i \sin \frac{π}{3}) = - (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

ملاحظة:

يمكن حلها بتحويل داخل القوس إلى عدد مركب (صيغة جبرية) ثم تحويلها إلى الصيغة القطبية ثم تطبيق مبرهنة ديموافر.
ويمكن استخدام القانون الذي يمكن تحويل الـ $\cos θ = \sin (\frac{π}{2} - θ), \sin θ = \cos (\frac{π}{2} - θ)$ لتتحول إلى الصيغة القطبية.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مبرهنة ديموافر