حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

قسمة الأعداد المركبة

عند قسمة عدد مركب آخر نضرب بمرافق المقام $\frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} \times \frac{\bar{C_{2}}}{\bar{C_{2}}}$

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصورة $a + b i$ :

$\frac{1 + i}{1 - i}$

$\frac{1 + i}{1 - i} = \frac{1 + i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{1 + i + i + i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} = \frac{2 i}{2} = i = 0 + i$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i}$

$\frac{1 + 2 i}{- 2 + i} = \frac{1 + 2 i}{- 2 + i} \times \frac{- 2 - i}{- 2 - i} = \frac{- 2 - i - 4 i - 2 i^{2}}{(- 2)^{2} + (1)^{2}} = \frac{0 - 5 i}{5} = \frac{- 5 i}{5} = - i = 0 - i$

(2)- ضع بالصيغة العادية العدد المركب $\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i}$ .

$\frac{(3 - 2 i)^{2}}{1 + 5 i} = \frac{9 - 12 i - 4}{1 + 5 i} = \frac{5 - 12 i}{1 + 5 i} \times \frac{1 - 5 i}{1 - 5 i} = \frac{5 - 25 i - 12 i + 60 i^{2}}{(1)^{2} + (5)^{2}} = \frac{- 55 - 37 i}{26} = \frac{- 55}{26} - \frac{37}{26} i$

ملاحظة: يمكن تحليل $x^{2} + y^{2}$ إلى حاصل ضرب عددين مركبين كل منهما من الصورة $a + b i$

$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2} i^{2} = (x - y i) (x + y i)$

(3)- حلل كلاً مما يأتي إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ أعداد نسبية:

$10$

$10 = 9 + 1 = 9 - i^{2} = (3 - i) (3 + i)$

$39$

$39 = 36 + 3 = 36 - 3 i^{2} = (6 - \sqrt{3} i) (6 + \sqrt{3} i)$

$53$

$53 = 49 + 4 = 49 - 4 i^{2} = (7 - 2 i) (7 + 2 i)$

$x^{2} + 4$

$x^{2} + 4 = x^{2} - 4 i^{2} = (x - 2 i) (x + 2 i)$

(4)- حلل إلى عاملين لعددين مركبين نسبيين:

$x^{2} + 9$

$x^{2} + 9 = x^{2} - 9 i^{2} = (x - 3 i) (x + 3 i)$

$y^{2} + 16 x^{2}$

$y^{2} + 16 x^{2} = y^{2} - 16 x^{2} i^{2} = (y - 4 x i) (y + 4 x i)$

$(x - 1)^{2} + 4$

$(x - 1)^{2} + 4 = (x - 1)^{2} - 4 i^{2} = (x - 1 - 2 i) (x - 1 + 2 i)$

$x^{3} + \frac{1}{125} i$

$\begin{aligned} x^{3} + \frac{1}{125} i & = x^{3} - \frac{1}{125} i \cdot i^{2} = x^{3} - \frac{1}{125} i^{3} \\ = (x - \frac{1}{5} i) (x^{2} + \frac{1}{5} x i + \frac{1}{25} i^{2}) = (x - \frac{1}{5} i) (x^{2} + \frac{1}{5} x i - \frac{1}{25}) \end{aligned}$

$x^{2} + 7 x i - 12$

$x^{2} + 7 x i - 12 = x^{2} + 7 x i + 12 i^{2} = (x + 4 i) (x + 3 i)$

(5)- حلل إلى عاملين أو أكثر لكل مما يأتي:

$4 x^{2} + 1$

$4 x^{2} + 1 = 4 x^{2} - i^{2} = (2 x - i) (2 x + i)$

$x^{4} - 1$

$x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1) = (x - 1) (x + 1) (x^{2} - i^{2}) = (x - 1) (x + 1) (x - i) (x + i)$

$x^{3} - i^{3}$

$x^{3} - i^{3} = (x - i) (x^{2} + x i + i^{2}) = (x - i) (x^{2} + x i - 1)$

$x^{2} - 2 x i + 3$

$x^{2} - 2 x i + 3 = x^{2} - 2 x i - 3 i^{2} = (x - 3 i) (x + i)$

$x^{2} + y^{2}$

$x^{2} + y^{2} = x^{2} - y^{2} (i^{2}) = x^{2} - y^{2} i^{2} = (x - y i) (x + y i)$

$26$

$26 = 25 + 1 = 25 - i^{2} = (5 - i) (5 + i)$

(6)- اكتب بالصيغة الجبرية بدون الضرب بالعامل المنسب:

$\frac{5}{1 - 2 i}$

$\frac{5}{1 - 2 i} = \frac{1 + 4}{1 - 2 i} = \frac{1 - 4 i^{2}}{1 - 2 i} = \frac{(1 - 2 i) (1 + 2 i)}{1 - 2 i} = 1 + 2 i$

$\frac{10}{1 + 2 i}$

$\frac{10}{1 + 2 i} = \frac{2 \times 5}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 + 4)}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 - 4 i^{2})}{1 + 2 i} = \frac{2 (1 - 2 i) (1 + 2 i)}{1 + 2 i} = 2 (1 - 2 i) = 2 - 4 i$

(7)- جد $x, y$ التي تحقق $(x + y i) (2 - i) = 8 + i$

$\begin{aligned} x + y i = \frac{8 + i}{2 - i} \cdot \frac{2 + i}{2 + i} \\ x + y i = \frac{16 + 8 i + 2 i - 1}{4 + 1} = \frac{16 + 10 i - 1}{5} = \frac{15 + 10 i}{5} = \frac{15}{5} + \frac{10 i}{5} \end{aligned}$

خاصية التساوي:

$\begin{aligned} x + y i = 3 + 2 i \\ x = 3, y = 2 \end{aligned}$

(8)- جد $x, y$ التي تحقق $x (x + i) + y (y - i) = 13 - i$

نفتح الأقواس:

$x^{2} + x i + y^{2} - y i = 13 - i$

خاصية التساوي:

$\begin{aligned} (x^{2} + y^{2}) + (x - y) i = 13 - i \\ x^{2} + y^{2} = 13 \dots \dots \dots (1) \\ x - y = - 1 \dots \dots \dots \dots (2) \\ \Rightarrow [- y = - 1 - x] \cdot (- 1) \\ \Rightarrow y = x + 1 \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في معادلة (1)

$\begin{aligned} x^{2} + (x + 1)^{2} = 13 \\ x^{2} + x^{2} + 2 x + 1 = 13 \Rightarrow 2 x^{2} + 2 x + 1 - 13 = 0 \\ 2 x^{2} + 2 x - 12 = 0 \div 2 \\ x^{2} + x - 6 = 0 \\ (x + 3) (x - 2) = 0 \end{aligned}$

إما: $x = - 3$

أو: $x = 2$

$\begin{aligned} y = x + 1 \Rightarrow y = - 3 + 1 \Rightarrow y = - 2 (x = - 3) \\ y = x + 1 \Rightarrow y = 2 + 1 \Rightarrow y = 3 (x = 2) \end{aligned}$

(9)- جد $x, y$ التي تحقق المعادلة $(2 + x i) (- x + i) = \frac{9 y^{2} + 49}{3 y + 7 i}$

$\underset{⏟}{- 2 x} + 2 i - x^{2} i + \underset{- x}{\underset{⏟}{x i^{2}}} = \frac{(9 y^{2} - 49 i^{2})}{3 y + 7 i} \underset{⏟}{- 3 x} + (2 - x^{2}) i = \frac{(3 y - 7 i) (3 y + 7 i)}{3 y + 7 i} - 3 x + (2 - x^{2}) i = 3 y - 7 i$

خاصية التساوي:

$- 3 x = 3 y \Rightarrow - x = y 2 - x^{2} = - 7 \Rightarrow 2 + 7 = x^{2} \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = \mp 3 \begin{array}{ll} - (- 3) = y \Rightarrow y = 3 & (x = - 3) \\ - (3) = y \Rightarrow y = - 3 & (x = 3) \end{array} y = \mp 3$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

قسمة الأعداد المركبة