للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تمارين (1-1)

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

$i^{5}$

$i^{5} = i^{4} \cdot i = (1) . i = i = 0 + i$

$i^{6}$

$i^{6} = i^{4} \cdot i^{2} = (1) \cdot (- 1) = - 1 = - 1 + 0 i$

$i^{124}$

$i^{124} = {(i^{4})}^{31} = (1)^{31} = 1 = 1 + 0 i$

$i^{999}$

$i^{999} = {(i^{4})}^{249} i^{3} = (1) \cdot i^{2} \cdot i = - i = 0 - i$

$i^{4 n + 1}$

$i^{4 n + 1} = i^{4 n} \cdot i = {(i^{4})}^{n} \cdot i = (1) \cdot i = i = 0 + i$

$(2 + 3 i)^{2} + (12 + 2 i)$

$\begin{aligned} (2 + 3 i)^{2} + (12 + 2 i) & = 4 + 12 i + 9 i^{2} + (12 + 2 i) = (- 5 + 12 i) + (12 + 2 i) \\ = 7 + 14 i \end{aligned}$

$(10 + 3 i) (0 + 6 i)$

$(10 + 3 i) (0 + 6 i) = 0 + 60 i + 0 + 18 i^{2} = - 18 + 60 i$

$(1 + i)^{4} - (1 - i)^{4}$

$(1 + i)^{4} - (1 - i)^{4} = {[(1 + i)^{2}]}^{2} - {[(1 - i)^{2}]}^{2} = {[1 + 2 i + i^{2}]}^{2} - {[1 - 2 i + i^{2}]}^{2} = (2 i)^{2} - (- 2 i)^{2} = 4 i^{2} - 4 i^{2} = 0 = 0 + 0 i$

$\frac{12 + i}{i} \times \frac{- i}{- i}$

$\frac{12 + i}{i} \times \frac{- i}{- i} = \frac{- 12 i - i^{2}}{- i^{2}} = \frac{1 - 12 i}{1} = 1 - 12 i$

$\frac{3 + 4 i}{3 - 4 i}$

$\frac{3 + 4 i}{3 - 4 i} = \frac{3 + 4 i}{3 - 4 i} \times \frac{3 + 4 i}{3 + 4 i} = \frac{9 + 12 i + 12 i + 16 i^{2}}{3^{2} + 4^{2}} = \frac{- 7 + 24 i}{9 + 16} = \frac{- 7 + 24 i}{25} = \frac{- 7}{25} + \frac{24}{25} i$

$\frac{i}{2 + 3 i}$

$\frac{i}{2 + 3 i} = \frac{i}{2 + 3 i} \times \frac{2 - 3 i}{2 - 3 i} = \frac{2 i - 3 i^{2}}{2^{2} + 3^{2}} = \frac{3 + 2 i}{4 + 9} = \frac{3 + 2 i}{13} = \frac{3}{13} + \frac{2}{13} i$

${(\frac{3 + i}{1 + i})}^{3}$

${(\frac{3 + i}{1 + i})}^{3} = {(\frac{3 + i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i})}^{3}$

ملاحظة: عدد مركب بصورة كسرية مرفوع لقوة يضرب داخل القوس في المرافق أولاً ثم يبسط وبعدها نتخلص من القوة المرفوع لها.

$\begin{aligned} = {(\frac{3 - 3 i + i - i^{2}}{1^{2} + 1^{2}})}^{3} = {(\frac{4 - 2 i}{2})}^{3} = (2 - i)^{3} = (2 - i)^{2} (2 - i) \\ = (4 - 4 i + i^{2}) (2 - i) = (3 - 4 i) (2 - i) = 6 - 3 i - 8 i + 4 i^{2} \\ = 2 - 11 i \end{aligned}$

$\frac{2 + 3 i}{1 - i} \times \frac{1 + 4 i}{4 + i}$

$\frac{2 + 3 i}{1 - i} \times \frac{1 + 4 i}{4 + i} = \frac{2 + 8 i + 3 i + 12 i^{2}}{4 + i - 4 i - i^{2}} = \frac{- 10 + 11 i}{5 - 3 i} \times \frac{5 + 3 i}{5 + 3 i} = \frac{- 50 - 30 i + 55 i + 33 i^{2}}{5^{2} + 3^{2}} = \frac{- 83 + 25 i}{25 + 9} = \frac{- 83 + 25 i}{34} = \frac{- 83}{34} + \frac{25}{34} i$

$(1 + i)^{3} + (1 - i)^{3}$

$\begin{aligned} (1 + i)^{3} + (1 - i)^{3} \\ = (1 + i)^{2} (1 + i) + (1 - i)^{2} (1 - i) \\ = (1 + 2 i + i^{2}) (1 + i) + (1 - 2 i + i^{2}) (1 - i) = (2 i) (1 + i) + (- 2 i) (1 - i) \\ = 2 i + 2 i^{2} - 2 i + 2 i^{2} = - 4 = - 4 + 0 i \end{aligned}$

(2)- جد قيمة كل من $x, y$ الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

$y + 5 i = (2 x + i) (x + 2 i)$

$\begin{aligned} y + 5 i = 2 x^{2} + 4 x i + x i + 2 i^{2} \Rightarrow y + 5 i = (2 x^{2} - 2) + (4 x + x) i \\ y + 5 i = (2 x^{2} - 2) + 5 x i \end{aligned} \begin{aligned} y = (2 x^{2} - 2) \dots \dots (1) \\ 5 = 5 x \dots \dots . (2) \Rightarrow \frac{5}{5} = \frac{5 x}{5} \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$

نعوض في المعادلة (1)

$y = 2 (1)^{2} - 2 = 2 - 2 = 0 \Rightarrow y = 0$

$8 i = (x + 2 i) (y + 2 i) + 1$

$\begin{aligned} 8 i = x y + 2 x i + 2 y i + 4 i^{2} + 1 \\ 8 i = (x y - 3) + (2 x + 2 y) i \\ x y - 3 = 0 \Rightarrow x y = 3 \Rightarrow y = \frac{3}{x} \dots \dots . (1) \\ 2 x + 2 y = 8] \div 2 \Rightarrow x + y = 4 \Rightarrow y = 4 - x \dots \dots . (2) \end{aligned}$

نعوض (1) في (2)

$4 - x = \frac{3}{x} \overset{x \times}{⟹} x (4 - x) = 3 \begin{aligned} 4 x - x^{2} = 3 \Rightarrow x^{2} - 4 x + 3 = 0 \\ (x - 3) (x - 1) = 0 \end{aligned}$

إما: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

نعوض في المعادلة (2)

$y = 1$

أو: $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

نعوض في المعادلة (2)

$y = 3$

$(\frac{1 - i}{1 + i}) + (x + y i) = (1 + 2 i)^{2}$

$\begin{aligned} (x + y i) = (1 + 2 i)^{2} - (\frac{1 - i}{1 + i}) \Rightarrow (x + y i) = (1 + 4 i + 4 i^{2}) - (\frac{1 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i}) \\ (x + y i) = - 3 + 4 i - (\frac{1 - i - i + i^{2}}{1^{2} + 1^{2}}) \\ (x + y i) = - 3 + 4 i - (\frac{- 2 i}{2}) \Rightarrow (x + y i) = - 3 + 4 i + i \\ x + y i = - 3 + 5 i \Rightarrow x = - 3, y = 5 \end{aligned}$

$\frac{2 - i}{1 + i} x + \frac{3 - i}{2 + i} y = \frac{1}{i}$

$\begin{aligned} [\frac{2 - i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i}] x + [\frac{3 - i}{2 + i} \times \frac{2 - i}{2 - i}] y = \frac{i^{4}}{i} \\ [\frac{2 - 2 i - i + i^{2}}{1^{2} + 1^{2}}] x + [\frac{6 - 3 i - 2 i + i^{2}}{2^{2} + 1^{2}}] y = i^{3} \\ [\frac{1 - 3 i}{2}] x + [\frac{5 - 5 i}{5}] y = - i] \times 10 \Rightarrow 5 (1 - 3 i) x + 2 (5 - 5 i) y = - 10 i \\ 5 x - 15 x i + 10 y - 10 y i = 0 - 10 i \\ 5 x + 10 y = 0 . . . (1) \\ - 15 x - 10 y = - 10 . . . (2) \\ - 10 x = - 10 \Rightarrow x = 1 \end{aligned}$

نعوض في المعادلة (1)

$5 (1) + 10 y = 0 \Rightarrow 10 y = - 5 \Rightarrow y = \frac{- 5}{10} \Rightarrow y = \frac{- 1}{2}$

(3)- أثبت أن:

$\frac{1}{(2 - i)^{2}} - \frac{1}{(2 + i)^{2}} = \frac{8}{25} i$

$\begin{aligned} LHS \frac{1}{(2 - i)^{2}} - \frac{1}{(2 + i)^{2}} = \frac{1}{4 - 4 i + i^{2}} - \frac{1}{4 + 4 i + i^{2}} \\ = \frac{1}{4 - 4 i - 1} - \frac{1}{4 + 4 i - 1} = \frac{1}{3 - 4 i} \times \frac{3 + 4 i}{3 + 4 i} - \frac{1}{3 + 4 i} \times \frac{3 - 4 i}{3 - 4 i} \\ = \frac{3 + 4 i}{9 + 16} - \frac{3 - 4 i}{9 + 16} = \frac{3 + 4 i}{25} - \frac{3 - 4 i}{25} = \frac{3 + 4 i - 3 + 4 i}{25} = \frac{8}{25} i RHS \end{aligned}$

$\frac{(1 - i)^{2}}{1 + i} + \frac{(1 + i)^{2}}{1 - i} = - 2$

$LHS \frac{(1 - i)^{2}}{1 + i} + \frac{(1 + i)^{2}}{1 - i} = \frac{1 - 2 i + i^{2}}{1 + i} + \frac{1 + 2 i + i^{2}}{1 - i} = \frac{- 2 i}{1 + i} + \frac{2 i}{1 - i} \begin{aligned} = \frac{- 2 i}{1 + i} \times \frac{1 - i}{1 - i} + \frac{2 i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{- 2 i + 2 i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} + \frac{2 i + 2 i^{2}}{1^{2} + 1^{2}} \\ = \frac{- 2 i - 2}{2} + \frac{2 i - 2}{2} = \frac{- 2 i}{2} - \frac{2}{2} + \frac{2 i}{2} - \frac{2}{2} = - i - 1 + i - 1 = - 2 RHS \end{aligned}$

(4)- حلل كلاً من الأعداد $29 ، 125 ، 41 ، 85$ إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ عددان نسبيان.

$\begin{aligned} 85 = 81 + 4 = 81 - 4 i^{2} = (9 - 2 i) (9 + 2 i) \\ 41 = 25 + 16 = 25 - 16 i^{2} = (5 - 4 i) (5 + 4 i) \\ 125 = 121 + 4 = 121 - 4 i^{2} = (11 - 2 i) (11 + 2 i) \\ 29 = 25 + 4 = 25 - 4 i^{2} = (5 - 2 i) (5 + 2 i) \end{aligned}$

(5)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين إذا علمت أن $\frac{3 + i}{2 - i}, \frac{6}{x + y i}$ مترافقان.

$\begin{aligned} \frac{6}{x + y i} = \frac{3 - i}{2 + i} \Rightarrow (x + y i) (3 - i) = 12 + 6 i \Rightarrow x + y i = \frac{12 + 6 i}{3 - i} \\ x + y i = \frac{12 + 6 i}{3 - i} \times \frac{3 + i}{3 + i} = \frac{36 + 12 i + 18 i + 6 i^{2}}{3^{2} + 1^{2}} = \frac{36 - 6 + 30 i}{9 + 1} \\ x + y i = \frac{30 + 30 i}{10} \Rightarrow x + y i = 3 + 3 i \\ x = 3, y = 3 \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-1)

تمارين (1-1)

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

$i^{5}$

$i^{6}$

$i^{124}$

$i^{999}$

$i^{4 n + 1}$

$(2 + 3 i)^{2} + (12 + 2 i)$

$(10 + 3 i) (0 + 6 i)$

$(1 + i)^{4} - (1 - i)^{4}$

$\frac{12 + i}{i} \times \frac{- i}{- i}$

$\frac{3 + 4 i}{3 - 4 i}$

$\frac{i}{2 + 3 i}$

${(\frac{3 + i}{1 + i})}^{3}$

$\frac{2 + 3 i}{1 - i} \times \frac{1 + 4 i}{4 + i}$

$(1 + i)^{3} + (1 - i)^{3}$

(2)- جد قيمة كل من $x, y$ الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

$y + 5 i = (2 x + i) (x + 2 i)$

$8 i = (x + 2 i) (y + 2 i) + 1$

$(\frac{1 - i}{1 + i}) + (x + y i) = (1 + 2 i)^{2}$

$\frac{2 - i}{1 + i} x + \frac{3 - i}{2 + i} y = \frac{1}{i}$

(3)- أثبت أن:

$\frac{1}{(2 - i)^{2}} - \frac{1}{(2 + i)^{2}} = \frac{8}{25} i$

$\frac{(1 - i)^{2}}{1 + i} + \frac{(1 + i)^{2}}{1 - i} = - 2$

(4)- حلل كلاً من الأعداد $29 ، 125 ، 41 ، 85$ إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ عددان نسبيان.

(5)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين إذا علمت أن $\frac{3 + i}{2 - i}, \frac{6}{x + y i}$ مترافقان.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج1

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج2

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج3

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج4

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تمارين (1-1)

تمارين (1-1)

(1)- ضع كلاً مما يأتي بالصيغة العادية للعدد المركب:

i5

i6

i124

i999

i4n+1

(2+3i)2+(12+2i)

(10+3i)(0+6i)

(1+i)4−(1−i)4

12+ii×−i−i

3+4i3−4i

i2+3i

(3+i1+i)3

2+3i1−i×1+4i4+i

(1+i)3+(1−i)3

(2)- جد قيمة كل من x,y الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

y+5i=(2x+i)(x+2i)

8i=(x+2i)(y+2i)+1

(1−i1+i)+(x+yi)=(1+2i)2

2−i1+ix+3−i2+iy=1i

(3)- أثبت أن:

1(2−i)2−1(2+i)2=825i

(1−i)21+i+(1+i)21−i=−2

(4)- حلل كلاً من الأعداد 29 ، 125 ، 41 ، 85 إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة a+bi حيث a,b عددان نسبيان.

(5)- جد قيمة x,y الحقيقيتين إذا علمت أن 3+i2−i , 6x+yi مترافقان.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج1

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج2

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج3

فيديو شرح درس تمارين (1-1) ج4

النقاشات

$i^{5}$

$i^{6}$

$i^{124}$

$i^{999}$

$i^{4 n + 1}$

$(2 + 3 i)^{2} + (12 + 2 i)$

$(10 + 3 i) (0 + 6 i)$

$(1 + i)^{4} - (1 - i)^{4}$

$\frac{12 + i}{i} \times \frac{- i}{- i}$

$\frac{3 + 4 i}{3 - 4 i}$

$\frac{i}{2 + 3 i}$

${(\frac{3 + i}{1 + i})}^{3}$

$\frac{2 + 3 i}{1 - i} \times \frac{1 + 4 i}{4 + i}$

$(1 + i)^{3} + (1 - i)^{3}$

(2)- جد قيمة كل من $x, y$ الحقيقيتين اللتين تحققان المعادلة الآتية:

$y + 5 i = (2 x + i) (x + 2 i)$

$8 i = (x + 2 i) (y + 2 i) + 1$

$(\frac{1 - i}{1 + i}) + (x + y i) = (1 + 2 i)^{2}$

$\frac{2 - i}{1 + i} x + \frac{3 - i}{2 + i} y = \frac{1}{i}$

$\frac{1}{(2 - i)^{2}} - \frac{1}{(2 + i)^{2}} = \frac{8}{25} i$

$\frac{(1 - i)^{2}}{1 + i} + \frac{(1 + i)^{2}}{1 - i} = - 2$

(4)- حلل كلاً من الأعداد $29 ، 125 ، 41 ، 85$ إلى حاصل ضرب عاملين من الصورة $a + b i$ حيث $a, b$ عددان نسبيان.

(5)- جد قيمة $x, y$ الحقيقيتين إذا علمت أن $\frac{3 + i}{2 - i}, \frac{6}{x + y i}$ مترافقان.