حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

الجذور التربيعية للعدد المركب

إذا كان $x^{2} = a$ فإن $x = \pm \sqrt{a}$ وهي الجذور التربيعية للعدد $(a)$ أما إذا كانت $x^{2} = 4$ فإن $x = 2$ هو أحد جذري المعادلة ولإيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب لاحظ الأمثلة التالية:

(1)- جد الجذور التربيعية للعدد المركب $c = 8 + 6 i$

$8 + 6 i = (a + b i)^{2} \Rightarrow a^{2} + 2 a b i - b^{2} = 8 + 6 i \begin{aligned} a^{2} - b^{2} + 2 a b i = 8 + 6 i \\ a^{2} - b^{2} = 8 \dots \dots (1) \\ 2 a b = 6 \dots \dots \dots (2)] \div 2 \\ a b = 3 \Rightarrow b = \frac{3}{a} \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{aligned} a^{2} - \frac{9}{a^{2}} = 8] \times a^{2} \Rightarrow a^{4} - 9 = 8 a^{2} \Rightarrow a^{4} - 8 a^{2} - 9 = 0 \\ (a^{2} - 9) (a^{2} + 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$a^{2} - 9 \Rightarrow a = \pm 3 b = \frac{3}{a} = \frac{3}{\pm 3} \Rightarrow b = \pm 1$

أو:

$a^{2} + 1 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 1$ تهمل.

الجذران هما $3 + i, - 3 - i$

ملاحظة: نلاحظ أن $a, b$ تأخذ قيم حقيقية فقط فلذلك $a^{2} = - 1$ وهي قيمة تخيلية تهمل.

(2)- جد الجذور التربيعية للعدد $- i$

$\begin{aligned} - i = (a + b i)^{2} \\ 0 - i = a^{2} + 2 a b i - b^{2} \Rightarrow 0 - i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \Rightarrow \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots (1) \\ 2 a b = - 1 \dots \dots \dots (2) \\ b = \frac{- 1}{2 a} \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$\begin{aligned} a^{2} - \frac{1}{4 a^{2}} = 0] \times 4 a^{2} \\ 4 a^{4} - 1 = 0 \Rightarrow (2 a^{2} - 1) (2 a^{2} + 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$2 a^{2} - 1 = 0 \Rightarrow 2 a^{2} = 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} b = \frac{- 1}{2 (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{- 1}{\sqrt{2} \sqrt{2} (\pm \frac{1}{\sqrt{2}})} = \frac{\mp 1}{\sqrt{2}}$

أو:

$2 a^{2} + 1 = 0 \Rightarrow 2 a^{2} = - 1 \Rightarrow a^{2} = \frac{- 1}{2}$ تهمل.

الجذران هما $\frac{- 1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} i, \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} i$

(3)- جد الجذر التربيعي للعدد المركب $- 1 + \sqrt{3} i$

$\begin{aligned} - 1 + \sqrt{3} i = (x + y i)^{2} \\ - 1 + \sqrt{3} i = (x^{2} - y^{2}) + 2 x y i \\ x^{2} - y^{2} = - 1 \dots \dots (1) \\ 2 x y = \sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{3}}{2 x} \dots \dots (2) \\ x^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{2 x})}^{2} = - 1 \\ x^{2} - \frac{3}{4 x^{2}} = - 1 \overset{4 x^{2} \times \dot{ٍ}}{=} 4 x^{4} - 3 = - 4 x^{2} \Rightarrow 4 x^{4} + 4 x^{2} - 3 = 0 \\ (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$2 x^{2} + 3 = 0 \Rightarrow 2 x^{2} = - 3$ تهمل حيث $x \in R$

أو:

$2 x^{2} = 1 \Rightarrow x^{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{\sqrt{3}}{\pm \frac{2}{\sqrt{2}}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

الجذران هما $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} i, - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} i$

(4)- جد الجذر التربيعي للعدد $8 i$

$\begin{aligned} 8 i = (a + b i)^{2} \\ 0 + 8 i = a^{2} + 2 a b i - b^{2} \Rightarrow 0 + 8 i = a^{2} - b^{2} + 2 a b i \\ a^{2} - b^{2} = 0 \dots \dots \dots (1) \\ 2 a b = 8 \dots \dots \dots \dots (2) \\ b = \frac{8}{2 a} \Rightarrow b = \frac{4}{a} \dots \dots \dots \dots (*) \end{aligned}$

نعوض معادلة (*) في (1)

$a^{2} - \frac{16}{a^{2}} = 0] \times a^{2} \Rightarrow a^{4} - 16 = 0 \Rightarrow (a^{2} + 4) (a^{2} - 4) = 0$

إما:

$a^{2} + 4 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 4$ تهمل.

أو:

$a^{2} - 4 = 0 \Rightarrow a = \pm 2$

$b = \frac{4}{\pm 2} = \pm 2$

الجذران هما $2 + 2 i, - 2 - 2 i$

(5)- جد الجذر التربيعي للعدد $- 25$

$c^{2} = - 25 \Rightarrow c = \pm \sqrt{- 25} = \pm \sqrt{25 (- 1)} = \pm \sqrt{25 i^{2}} = \pm 5 i$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

الجذور التربيعية للعدد المركب