للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

حل المعادلات التربيعية في C

كل معادلة تربيعية لا يمكن حلها بطريقة التجربة فهي تحل بطريقة الدستور فمثلاً:

$a x^{2} + b x + c = 0$

حيث $a, b, c \in R, a \neq 0$ فإن $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ ونلاحظ أنه إذا كان مقدار المميز $(b^{2} - 4 a c)$ سالباً فإن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلة تنتمي إلى مجموعة الأعداد المركبة ويوجد نوعان من حل المعادلات التربيعية.

النوع الأول: المميز لا يحتوي على (i)

(1)- حل المعادلة التربيعية $x^{2} + 4 x + 5 = 0$ في مجموعة الأعداد المركبة.

حسب قانون الدستور فإن $a = 1, b = 4, c = 5$

$\begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 (1) (5)}}{2 (1)} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (- 1)}}{2} \\ x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 i^{2}}}{2} = \frac{- 4 \pm 2 i}{2} \Rightarrow x = - 2 \pm i \end{aligned}$

مجموعة الحل ${- 2 - i, - 2 + i}$

ملاحظة: من قانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربيعية $a x^{2} + b x + c = 0$ التي معاملاتها الحقيقية هي:

$x_{1} = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

مجموع الجذرين:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- 2 b}{2 a} \Rightarrow x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a}$

حاصل ضرب الجذرين:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a} \Rightarrow x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

ويمكن الاستفادة من الخاصية أعلاه في إيجاد الجذور التربيعية وكما يلي:

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين) -x²

(2)- جد المعادلة التربيعية التي جذراها $\pm (2 + 2 i)$

^{نتبع صيغة المعادلة أعلاه في التطبيق.}

^{مجموع الجذرين:}

^{$(2 + 2 i) + (- 2 - 2 i) = (2 - 2) + (2 - 2) i = 0 + 0 i$}

^{ضرب الجذرين:}

$(2 + 2 i) (- 2 - 2 i) = - 4 - 4 i - 4 i - 4 i^{2} = - 4 - 8 i + 4 = - 8 i$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين) -x²

$x^{2} - (0) x + (- 8 i) = 0 \Rightarrow x^{2} - 8 i = 0$

ملاحظة: عندما يعطى في السؤال كوّن المعادلة التربيعية التي (معاملاتها حقيقية) وأحد جذريها مثلاً $a - b i$ فسيكون الجذر الثاني مرافق الجذر الأول $a + b i$ .

(3)- كون المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية أو أحد جذريها $3 - 4 i$

بما أن معاملات المعادلة حقيقة وأحد الجذرين $3 - 4 i$ فإن الجذر الآخر هو المرافق ويساوي $3 + 4 i$ .

مجموع الجذرين:

$(3 - 4 i) + (3 + 4 i) = (3 + 3) + (- 4 + 4) i = 6$

ضرب الجذرين:

$(3 + 4 i) (3 - 4 i) = 9 - 12 i + 12 i - 16 i^{2} = 9 + 16 = 25$

طريقة أخرى في الحل:

في مثل هذه الأسئلة نعتمد على قواعد المرافق للعدد المركب وكما يأتي:

$C. \bar{C} = a^{2} + b^{2}, C + \bar{C} = 2 a$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين) -x²

$x^{2} - 6 x + 25 = 0$

(4)- جد مجموعة الحل للمعادلة $x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$

ملاحظة: لا يحل السؤال التالي $x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0$ بالتجربة إذا أصبح بهذه الصورة $x^{4} + 10 x^{2} - 9 i^{2} = 0$ لأن الحد الوسط لا يحتوي على (i)، لذلك نقوم بحله مباشرة بطريقة التجربة.

والناتج من عملية التجربة نستخدم معه الطريقة السابقة وهي إضافة i² لغرض تحليل الأقواس الناتجة من التجربة.

$\begin{aligned} x^{4} + 10 x^{2} + 9 = 0 \\ (x^{2} + 9) (x^{2} + 1) = 0 \\ (x^{2} - 9 i^{2}) (x^{2} - i^{2}) = 0 \\ (x + 3 i) (x - 3 i) (x + i) (x - i) = 0 \end{aligned}$

إما:

$x + 3 i = 0 \Rightarrow x = - 3 i$

أو:

$x - 3 i = 0 \Rightarrow x = 3 i$

$\begin{aligned} x + i = 0 \Rightarrow x = - i \\ x - i = 0 \Rightarrow x = i \end{aligned}$

مجموعة الحل ${3 i, - 3 i, i, - i}$

(5)- جد مجموعة الحل للمعادلة $x^{2} - 6 x + 13 = 0$

في مثل هذه الأنواع من المعادلات التي لا تتحلل بأي نوع من التحاليل لذا نستخدم (طريقة الدستور).

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

حيث $a = 1, b = - 6, c = 13$ تعوض في قانون الدستور.

$\begin{aligned} x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - (4) (1) (13)}}{2 (1)} \\ x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2} \Rightarrow x = \frac{6}{2} \pm \frac{4 i}{2} \Rightarrow x = 3 \pm 2 i \end{aligned}$

مجموعة الحل للمعادلة في C جذران مترافقان ${3 + 2 i, 3 - 2 i}$

(6)- جد مجموعة حل المعادلة $x^{2} + 4 x + 5 = 0$

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

حيث $a = 1, b = 4, c = 5$ تعوض في قانون الدستور.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - (4) (1) (5)}}{2 (1)} = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2} = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 4}}{2} = \frac{- 4 \pm 2 i}{2} = - 2 \pm i x = - 2 - i, x = - 2 + i$

مجموعة الحل ${- 2 - i, - 2 + i}$

(7)- جد مجموعة حل المعادلة $x^{3} - 8 i = 0$

$∵ - i = i^{3}$

$\begin{aligned} x^{3} + 8 i^{3} = 0 \\ (x + 2 i) (x^{2} - 2 i x - 4) = 0 \end{aligned}$

إما:

$(x + 2 i) = 0 \Rightarrow x = - 2 i$

أو:

$(x^{2} - 2 i x - 4) = 0 \Rightarrow a = 1, b = - 2 i, c = - 4$

$\begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ x = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 - (4) (- 4)}}{2 (1)} \\ x = \frac{2 i \pm \sqrt{- 4 + 16}}{2} \Rightarrow x = \frac{2 i \pm \sqrt{12}}{2} \\ x = \frac{2 i \pm 2 \sqrt{3}}{2} = \frac{2 i}{2} \pm \frac{2 \sqrt{3}}{2} \end{aligned}$

إما:

$x = i + \sqrt{3}$

أو:

$x = i - \sqrt{3}$

مجموعة الحل ${\sqrt{3} + i, - \sqrt{3} + i, - 2 i}$

ملاحظة: إذا علمت من المعادلة جذراها أي (جد المعادلة التربيعية إذا علم جذراها) هذه الحالة هي عكس الأمثلة السابقة يعني الجذور معطاة والمطلوب حل المعادلة.

(8)- جد المعادلة التربيعية التي معاملاتها حقيقية وأحد جذريها النظير الضربي للعدد المركب $\frac{10 - 5 i}{2 + i}$

نستخرج النظير الضربي للعدد $\frac{10 - 5 i}{2 + i}$ هو $\frac{2 + i}{10 - 5 i}$
ويستخدم في الحل الضرب بالمرافق للمقام $\frac{2 + i}{10 - 5 i} \times \frac{10 + 5 i}{10 + 5 i}$

$\begin{aligned} = \frac{20 + 10 i + 10 i + 5 i^{2}}{(10)^{2} + (10)^{2}} \\ = \frac{(20 - 5) + (10 + 10) i}{100 + 25} \\ = \frac{15 + 20 i}{125} = \frac{15}{125} + \frac{20}{125} i \end{aligned}$

الجذر الأول $(\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i)$
الجذر الثاني (المرافق) $(\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i)$

جمع الجذرين:

$\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i + \frac{3}{25} - \frac{4}{25} i = \frac{6}{25}$

ضرب الجذرين:

$(\frac{3}{25} + \frac{4}{25} i) (\frac{3}{25} - \frac{4}{25} i) = {(\frac{3}{25})}^{2} + {(\frac{4}{25})}^{2} = \frac{9}{625} + \frac{16}{625} = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$

$x^{2} - \frac{6}{25} x + \frac{1}{25} = 0 \Rightarrow 25 x^{2} - 6 x + 1 = 0$

ملاحظة: سنضرب الكسر في المرافق لنتخلص من المقام وبعدها يكون لدينا عدد مركب نفتح التربيع ويبسط ونجعله عدد مركب واحد، فمثلاً إذا كان لدينا الكسر الآتي: ${(\frac{2 + 5 i}{3 + 2 i})}^{2}$ .

(9)- $2 x^{2} + a x + b = 0$ هي المعادلة التربيعية التي أحد جذريها $3 + i$ جد قيمة $a, b$ التي تنتمي إلى $R$

لم يذكر معاملات حقيقية هنا وعوض عنها بأنها تنتمي إلى R لذلك أحد جذريها $3 + i$ إذن الجذر الآخر $3 - i$ أي (المرافق).

$x^{2} - a x + b = 0$

0= (حاصل ضرب الجذرين) +x (مجموع الجذرين) -x²

جمع الجذرين:

$3 + i + 3 - i = 6$

ضرب الجذرين:

$(3 + i) (3 - i) = 9 + 1 = 10$

المعادلة الأصلية فيها 2 معامل x² لذلك نضرب كل من مجموع الجذرين وحاصل ضربهما في 2 لأن المعادلة الأصلية هي: $2 x^{2} + a x + b = 0$

$\begin{aligned} 2 \times 6 = 12 \\ 2 \times 10 = 20 \\ 2 x^{2} - 12 x + 20 = 0 \\ a = - 12, b = 20 \end{aligned}$

النوع الثاني: المميز يحتوي على (i)

(10)- جد مجموعة حل المعادلة $z^{2} - 3 z + 3 + i = 0$

$a = 1, b = - 3, c = (3 + i)$ $\begin{aligned} x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \\ z = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 (1) (3 + i)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12 - 4 i}}{2} \\ z = \frac{3 \pm \sqrt{- 3 - 4 i}}{2} \dots \dots (1) \end{aligned}$

بتربيع الطرفين:

$\begin{aligned} [\sqrt{- 3 - 4 i} = a + b i] \\ - 3 - 4 i = (a + b i)^{2} \\ - 3 - 4 i = (a^{2} - b^{2}) + 2 a b i \\ a^{2} - b^{2} = - 3 \dots \dots . . (2) \\ 2 a b = - 4 \Rightarrow b = \frac{- 4}{2 a} \Rightarrow b = \frac{- 2}{a} \dots \dots . (3) \end{aligned}$

نعوض في معادلة (2)

$\begin{aligned} a^{2} - \frac{4}{a^{2}} = - 3] \times a^{2} \\ a^{4} - 4 = - 3 a^{2} \Rightarrow a^{4} + 3 a^{2} - 4 = 0 \\ (a^{2} + 4) (a^{2} - 1) = 0 \end{aligned}$

إما:

$a^{2} + 4 = 0 \Rightarrow a^{2} = - 4$ تهمل.

أو:

$a^{2} - 1 = 0 \Rightarrow a^{2} = 1 \Rightarrow a = \pm 1$

نعوض في معادلة (3)

$\begin{array}{ll} b = \frac{- 2}{1} = - 2 & (a = 1) \\ b = \frac{- 2}{- 1} = 2 & (a = - 1) \end{array}$

$1 - 2 i, - 1 + 2 i$

إما:

$z = \frac{3 + 1 - 2 i}{2} = \frac{4 - 2 i}{2} = 2 - i$

أو:

$z = \frac{3 - 1 + 2 i}{2} = \frac{2 + 2 i}{2} = 1 + i$

مجموعة الحل ${2 - i, 1 + i}$ والجذران غير مترافقان.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حل المعادلات التربيعية في C