للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

تطبيقات على التكامل المحدد

المساحة المحددة بمنحني الدالة ومحور السينات:

خطوات الحل:

إذا أعطى المستقيمين x=a وx=b نكتب على شكل فترة [a,b].
نجد التقاطع مع محور السينات (أي مساواة الدالة بالصفر) 0=f(x)
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} f (x) d x |$

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

$\begin{aligned} x^{2} - 2 x - 3 = 0 \\ (x - 3) (x + 1) \\ إما x = 3 \in [- 1, 3] \\ أو x = - 1 \in [- 1, 3] \end{aligned}$

$\begin{aligned} A & = | \int_{- 1}^{3} (x^{2} - 2 x - 3) d x | \\ = | {[\frac{x^{3}}{3} - \frac{2 x^{2}}{2} - {{3 x |}_{- 1}^{3} |}_{- 1} | | \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 3 x]}_{- 1}^{3} | \\ A & = | (9 - 9 - 9) - (- \frac{1}{3} - 1 + 3) | \\ A & = | (- 9) - (- \frac{1}{3} + 2) | \\ = | (- 9) - (\frac{- 1 + 6}{3}) | = | (- 9) - (\frac{5}{3}) | \\ A & = | - 9 - \frac{5}{3} | = | \frac{- 27 - 5}{3} | = | \frac{- 32}{3} | \\ = \frac{32}{3} u n i t^{2} \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا لم يعطي فترة في السؤال فإن قيم x تعتبر حدود التكامل.

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

$\begin{aligned} x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = |\int_{- 1}^{0} (x^{3} - x) d x| + |\int_{0}^{1} (x^{3} - x) d x| \\ |{[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{- 1}^{0}| + |{[\frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{2}}{2}]}_{0}^{1}| \\ A = |(0) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})| + |(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (0)| \\ A = |(0) - (\frac{1}{4} - \frac{1}{2})| + |(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) - (0)| \\ A = |\frac{- 1 + 2}{4}| + |\frac{1 - 2}{4}| = |\frac{1}{4}| + |- \frac{1}{4}| \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} u n i t^{2} \end{aligned}$

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

$\begin{aligned} \sqrt{x + 1} = 0 الطرفين بتربيع \\ x + 1 = 0 \\ x = - 1 \notin [0, 3] تهمل \end{aligned}$

$\begin{aligned} A & = | \int_{0}^{3} (x + 1)^{\frac{1}{2}} d x | = | {[\frac{(x + 1)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]}_{0}^{3} | \\ =∣ [{\frac{2}{3} (x + 1)^{\frac{3}{2}} |}_{0}^{3} ∣ \\ A & = \frac{2}{3} | (3 + 1)^{\frac{3}{2}} - (0 + 1)^{\frac{3}{2}} | \\ = \frac{2}{3} | (2)^{3} - (1)^{3} | = \frac{2}{3} | 8 - 1 | \\ A & = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3} u n i t^{2} \end{aligned}$

المساحة بين منحني دالتين:

خطوات الحل:

نساوي الدالتين $f (x) = g (x)$
التخلص من الجذور إن وجدت
نصفر الدالة $f (x) - g (x) = 0$
نستخرج قيم x ثم نلاحظ الانتماء.
نطبق القانون الآتي:

$A = | \int_{a}^{b} (f (x) - g (x)) d x |$

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \Rightarrow x = x^{3} \\ x - x^{3} = 0 \Rightarrow x (1 - x^{2}) = 0 \\ إما x = 0 \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x - x^{3}) d x | + | \int_{0}^{1} (x - x^{3}) d x | = | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{4}}{4}]}_{0}^{1} | \\ A = | (0) - (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) | + | (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) - (0) | \\ A = | \frac{- 2 + 1}{4} | + | \frac{2 - 1}{4} | = | \frac{- 1}{4} | + | - \frac{1}{4} | \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

$\begin{aligned} f (x) = g (x) \\ x = \sqrt[3]{x} الطرفين بتكعيب \Rightarrow x^{3} = x \Rightarrow x^{3} - x = 0 \Rightarrow x (x^{2} - 1) = 0 \\ إما x = 0 \in [- 1 .1] \\ أو (x - 1) (x + 1) = 0 \\ x = - 1 \in [- 1, 1] \\ x = - 1 \in [- 1, 1] \end{aligned}$

$\begin{aligned} [- 1, 0], [0, 1] \\ A = | \int_{- 1}^{0} (x - x^{\frac{1}{3}}) d x | + | \int_{0}^{1} (x - x^{\frac{1}{3}}) d x | = | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{- 1}^{0} | + | {[\frac{x^{2}}{2} - \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]}_{0}^{1} | \\ A = | (0) - (\frac{1}{2} - \frac{3}{4}) | + | (\frac{1}{2} - \frac{4}{4}) | \\ A = | \frac{- 2 + 3}{4} | + | \frac{2 - 3}{4} | = | \frac{1}{4} | + | \frac{- 1}{4} | \\ A = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} {unit}^{2} \end{aligned}$

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تطبيقات على التكامل المحدد

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تطبيقات على التكامل المحدد ج1

فيديو شرح درس تطبيقات على التكامل المحدد ج2

النقاشات

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

تطبيقات على التكامل المحدد

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=f(x)=x2−2x−3 ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x3−x ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة y=f(x)=x+1 ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين y=9(x)=x3y=f(x)=x

5- لتكن y=f(x)=x وعلى الفترة [1,1-] y=g(x)=x3 وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس تطبيقات على التكامل المحدد ج1

فيديو شرح درس تطبيقات على التكامل المحدد ج2

النقاشات

1- جد المساحة المحددة بمنحني الدالة $y = f (x) = x^{2} - 2 x - 3$ ومحور السينات وعلى الفترة [1,3-]?

2- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = x^{3} - x$ ومحور السينات؟

3- جد المساحة المحددة بالدالة $y = f (x) = \sqrt{x + 1}$ ومحور السينات والمستقيمين x=0,x=3

4- جد المساحة المحددة بين منحني الدالتين $y = 9 (x) = x^{3} y = f (x) = x$

5- لتكن $y = f (x) = x$ وعلى الفترة [1,1-] $y = g (x) = \sqrt[3]{x}$ وعلى الفترة [1,1-] جد المساحة المحددة بمنحني الدالة؟