حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

التكامل

هو عملية معاكسة لعملية الاشتقاق $\int$

قواعد التكامل:

القاعدة الأولى:

$\int d x = x + c$ حيث $\to c$ ثابت التكامل

1- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int 6 d x$

$\int 6 d x = 6 x + C$

- $\int 3 d x$

$\int 3 d x = 3 x + C$

- $\int y 6 d x$

$\int y d x = y x + C$

القاعدة الثانية: تكامل دالة مرفوعة إلى أس $\int x^{n} d x = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$

2- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int x^{2} d x$

$\int x^{2} d x = \frac{x^{3}}{3} + C$

- $\int x^{5} d x$

$\int x^{5} d x = \frac{x^{6}}{6} + C$

- $\int x^{- 4} d x$

$\int x^{- 4} d x = \frac{x^{- 3}}{- 3} + C$

ملاحظة:

إذا كان الأس كسر موجب نطبق القاعدة $\frac{المقام + البسط}{نفسه المقام}$

- $\int x^{\frac{1}{2}} d x$

$\int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{\frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{3}{2}} + C \Rightarrow \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

- $\int x^{\frac{3}{2}} d x$

$\int x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C \Rightarrow \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

ملاحظة:

إذا كان الأس كسر سالب نطبق القاعدة $\frac{المقام - البسط}{نفسه المقام}$

- $\int x^{- \frac{1}{2}} d x$

$\int x^{- \frac{1}{2}} d x = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \Rightarrow 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

- $\int x^{- \frac{3}{5}} d x$

$\int x^{- \frac{3}{5}} d x = \frac{x^{\frac{2}{5}}}{\frac{2}{5}} + C \Rightarrow \frac{5}{2} x^{\frac{2}{5}} + C$

ملاحظة:

كل دالة جذرية يجب أن نحولها إلى دالة أسية حسب القاعدة $\int \sqrt[n]{x} d x = \int x^{\frac{1}{n}} d x$

- $\int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt[3]{x^{2}} d x \\ = & \int x^{\frac{2}{3}} d x = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} + C = \frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C \\ = & \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^{5}} + C \end{aligned}$

- $\int \sqrt{x} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\ = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + C \end{aligned}$

- $\int \sqrt[4]{x} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt[4]{x} d x = \int x^{\frac{1}{4}} d x = \frac{x^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} + C \\ = \frac{4}{5} x^{\frac{5}{4}} + C = \frac{4}{5} \sqrt[4]{x^{5}} + c \end{aligned}$

القاعدة الثالثة: تكامل حاصل ضرب ثابتة × دالة - الثابت × تكامل الدالة

3- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int 6 x^{2} d x$

$\int 6 x^{2} d x = \frac{6 x^{3}}{3} + C = 2 x^{3} + c$

- $\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x$

$\begin{aligned} \int 3 x^{\frac{1}{2}} d x = \frac{3 x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \\ = 3 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + C = 2 x^{\frac{3}{2}} + C \end{aligned}$

ملاحظة:

كل دالة في المقام مرفوعة إلى أس نرفعها إلى البسط مع تغيير إشارة الأس

- $\int \frac{10}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{10}{x^{\frac{1}{2}}} d x \Rightarrow \int 10 x^{- \frac{1}{2}} d x \\ = \frac{10 x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \Rightarrow 20 x^{\frac{1}{2}} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x = \int \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}} d x = \int 3 x^{- \frac{2}{3}} d x \\ = \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 9 x^{\frac{1}{3}} + C = 9 \sqrt[3]{x} + c \end{aligned}$

- $\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x \Rightarrow \int \frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} d x = \int x^{- \frac{1}{2}} d x \\ = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C \Rightarrow 2 x^{\frac{1}{2}} + C = 2 \sqrt{x} + c \end{aligned}$

القاعدة الرابعة: تكامل حاصل جمع أو طرح عدة دوال = حاصل جمع أو طرح تكاملاتها.

أي أن التكامل يتوزع على عمليتي الجمع والطرح ولا يتوزع على الضرب والقسمة.

4- حد تكامل الدوال الآتية :

- $\int (3 x^{2} + 6 x + 8) d x$

$\int (3 x^{2} + 6 x + 8) d x = \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{6 x^{2}}{2} + 8 x + C = x^{3} + 3 x^{2} + 8 x + C$

- $\int (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x)$

$\int (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x) = \int (x^{\frac{1}{2}} - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}) d x = \int (x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{- \frac{2}{3}}) d x = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 9 x^{\frac{1}{3}} + C$

ملاحظة:

لا يوجد حاصل ضرب دالتين في التكامل وإنما تجري عملية ضرب التوزيع

- $\int \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) d x$

$\int \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) d x = \int x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1) d x = \int (x + x^{\frac{1}{2}}) d x = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

- $\int (x^{2} + 1) (2 x - 3) d x$

$\begin{aligned} \int (x^{2} + 1) (2 x - 3) d x \\ = \int (2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 3) d x \\ = \frac{2 x^{4}}{4} - \frac{3 x^{3}}{3} + \frac{2 x^{2}}{2} - 3 x + C = \frac{x^{4}}{2} - x^{3} + x^{2} - 3 x + C \end{aligned}$

- $\int (x^{2} + 3) (x - 2) d x$

$\begin{aligned} \int (x^{2} + 3) (x - 2) d x \\ = \int (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 6) d x \\ = \frac{x^{4}}{4} - \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 6 x + C \end{aligned}$

- $\int (2 x + 5) (x + 1) d x$

$\begin{aligned} \int (2 x + 5) (x + 1) d x \\ = \int (2 x^{2} + 2 x + 5 x + 5) d x \\ = \int (2 x^{2} + 7 x + 5) d x = \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{7 x^{2}}{2} + 5 x + C \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا كانت الدالة كسرية مقامها مرفوع إلى قوة واحد عند الحل تستخدم الطريقة التحليل.

- $\int \frac{x^{3} + 27}{x + 3} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x^{3} + 27}{x + 3} d x & = \int \frac{(x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)}{x + 3} d x \\ = \int (x^{2} - 3 x + 9) d x = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 9 x + C \end{aligned}$

- $\int \frac{x^{4} - 8 x}{x - 2} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x^{4} - 8 x}{x - 2} & d x = \int \frac{x (x^{3} - 8)}{x - 2} d x \\ = \int \frac{x (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x - 2} d x \\ = \int x (x^{2} + 2 x + 4) d x = \int (x^{3} + 2 x^{2} + 4 x) d x \\ = \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{4 x^{2}}{2} + C = \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x^{2} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{2 x^{2} - 8}{x - 2} d x$

$\begin{matrix} \int \frac{2 x^{2} - 8}{x - 2} d x \int \frac{2 (x^{2} - 4)}{x - 2} d x \\ \int \frac{2 (x - 2) (x + 2)}{x - 2} d x = \int (2 x + 4) d x \\ = \frac{2 x^{2}}{2} + 4 x + C = x^{2} + 4 x + C \end{matrix}$

- $\int \frac{{(3 x^{2} - 4)}^{2} - 16}{2} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{{(3 x^{2} - 4)}^{2} - 16}{2} d x \\ \int & \frac{9 x^{4} - 24 x^{2} + 16 - 16}{x^{2}} d x \\ = & \int \frac{9 x^{4} - 24 x^{2}}{x^{2}} d x = \int x^{- 2} (9 x^{4} - 24 x^{2}) d x = \int (9 x^{2} - 24) d x \\ = & \frac{9 x^{3}}{3} - 24 x + C 3 x^{3} - 24 x + C \end{aligned}$

القاعدة الخامسة: تكامل قوس مرفوع إلى أس يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة خارج القوس

$\int [F (x)]^{n} \bar{f} (x) d x = \frac{[F (x)]^{n + 1}}{n + 1} + C$

5- جد تكامل الدوال الآتية:

- $\int {(3 x^{2} + 6)}^{5}$

$6 x d x$ تهمل

مشتقة داخل القوس $\bar{f} (x) = 6 x$ موجودة خارج القوس

$\frac{{(3 x^{2} + 6)}^{6}}{6} + C$

- $\int {(x^{3} + 7)}^{5} x^{2} d x$

$\bar{f} (x) = 3 x^{2}$

مشتقة داخل القوس لا تشبه خارج القوس نضرب 3 ونقسم 3

$\begin{aligned} \frac{1}{3} \int {(x^{3} + 7)}^{5} (3 x^{2}) d x \\ \frac{1}{3} \frac{{(x^{3} + 7)}^{5}}{6} + C \Rightarrow \frac{{(x^{3} + 7)}^{6}}{18} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{(x - 2)}{{(x^{2} - 4 x - 5)}^{- 2}} d x$

$\begin{aligned} \int {(x^{2} - 4 x - 5)}^{- 2} (x - 2) d x \\ \frac{1}{2} \int {(x^{2} - 4 x - 5)}^{- 2} (2 x - 4) d x \\ \bar{f} (x) = 2 x - 4 = 2 (x - 2) \\ \frac{1}{2} \frac{{(x^{2} - 4 x - 5)}^{- 1}}{- 1} + C = \frac{- 1}{2 (x^{2} - 4 x - 5)} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{x^{3}}{\sqrt[5]{5 - x^{4}}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x^{3}}{{(5 - x^{4})}^{\frac{1}{5}}} d x = \int {(5 - x^{4})}^{\frac{- 1}{5}} x^{3} d x \\ - \frac{1}{4} \int {(5 - x^{4})}^{\frac{- 1}{5}} (- 4 x^{3}) d x \bar{f} (x) = - 4 x^{2} \\ \frac{- 1}{4} \frac{{(5 - x^{4})}^{\frac{4}{5}}}{\frac{4}{5}} + C \Rightarrow - \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{4} {(5 - x^{4})}^{\frac{4}{5}} + C \\ = \frac{- 5}{16} {(5 - x^{4})}^{\frac{4}{5}} + C = \frac{- 5}{16} \sqrt[5]{{(5 - x^{4})}^{4}} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x^{2} + 6 x + 3}} d x$

$\begin{aligned} \int \frac{x + 1}{{(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{\frac{1}{3}}} d x \\ = \int {(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{- \frac{1}{3}} (x + 1) d x \\ \frac{1}{6} \int {(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{- \frac{1}{3}} (6 x + 6) d x \bar{f} (x) = 6 x + 6 \\ \frac{1}{6} \frac{{(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} + C \\ \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{2} {(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C \\ \frac{1}{4} {(3 x^{2} + 6 x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C \end{aligned}$

ملاحظة:

إذا كانت صيغة السؤال قوس مرفوع إلى أس وكانت مشتقة داخل القوس غير موجود خارج القوس فهناك احتمالات:

الاحتمال الأول: إذا كانت حدودية ثلاثية عند الحل نحولها إلى صورة مربع كامل حسب القانون الآتي:

${(\sqrt{الأول الحد} \pm \sqrt{الثالث الحد})}^{2}$

- $\int \frac{d x}{\sqrt[5]{x^{2} - 14 x + 49}}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt[5]{(x - 7)^{2}}} \Rightarrow \int \frac{d x}{(x - 7)^{\frac{2}{5}}} \Rightarrow \int (x - 7)^{\frac{- 2}{5}} d x \\ = \frac{(x - 7)^{\frac{3}{5}}}{3} + C \Rightarrow \frac{5}{3} (x - 7)^{\frac{3}{5}} + C \\ = \frac{5}{3} \sqrt[5]{(x - 7)^{3}} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 4}}$

$\begin{aligned} \int \frac{d x}{\sqrt[3]{(x - 2)^{2}}} \Rightarrow \int \frac{d x}{(x - 2)^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow \int (x - 2)^{\frac{- 2}{3}} d x \\ = \frac{(x - 2)^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C \Rightarrow 3 (x - 7)^{\frac{1}{3}} + C \\ = 3 \sqrt[5]{(x + 2} + C \end{aligned}$

- $\int \frac{d x}{4 x^{2} - 12 x + 9}$

$\begin{matrix} \int \frac{d x}{(2 x - 3)^{2}} \Rightarrow \int (2 x - 3)^{- 2} d x \\ \frac{1}{2} \int (2 x - 3)^{- 2} d x \bar{f} (x) = 2 \\ \frac{1}{2} = \frac{(2 x - 3)^{- 1}}{- 1} + C \Rightarrow \frac{- 1}{2 (2 x - 3)} + C \end{matrix}$

الاحتمال الثاني: مشتقة داخل القوس غير موجودة خارج القوس نستخرج عامل مشترك بأصغر أس

- $\int_{0}^{3} \sqrt[3]{3 x^{3} - 5 x^{5}} d x$

$\begin{aligned} \int \sqrt[3]{x^{3} (3 - 5 x^{2})} d x \\ \int {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \times d x \end{aligned} \begin{aligned} \frac{- 1}{10} \int {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (- 10 x d x) \bar{f} (x) = - 10 x \\ \frac{- 1}{10} \cdot \frac{{(3 - 5 x^{2})}^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C \Rightarrow \frac{- 1}{10} \cdot \frac{3}{4} {(3 - 5 x^{2})}^{\frac{4}{3}} + C \\ \frac{- 3}{40} \sqrt[3]{{(3 - 5 x^{2})}^{4}} + C \end{aligned}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

التكامل

1- جد تكامل الدوال الآتية:

- ∫6dx

- ∫3dx

- ∫y6dx

2- جد تكامل الدوال الآتية:

- ∫x2dx

- ∫x5dx

- ∫x−4dx

∫x−4dx=x−3−3+C

- ∫x12dx

- ∫x32dx

- ∫x−12dx

- ∫x−35dx

- ∫x23dx

- ∫xdx

- ∫x4dx

3- جد تكامل الدوال الآتية:

- ∫6x2dx

- ∫3x12dx

- ∫10x12dx

- ∫3x23dx

- ∫1xdx

4- حد تكامل الدوال الآتية :

- ∫(3x2+6x+8)dx

- ∫x-3x23dx

- ∫x(x+1)dx

- ∫(x2+1)(2x−3)dx

- ∫(x2+3)(x−2)dx

- ∫(2x+5)(x+1)dx

- ∫x3+27x+3dx

- ∫x4−8xx−2dx

- ∫2x2−8x−2dx

- ∫(3x2−4)2−162dx

القاعدة الخامسة: تكامل قوس مرفوع إلى أس يجب أن تكون مشتقة داخل القوس موجودة خارج القوس

∫[F(x)]nf¯(x)dx=[F(x)]n+1n+1+C

5- جد تكامل الدوال الآتية:

- ∫(3x2+6)5

- ∫(x3+7)5x2dx

- ∫(x−2)(x2−4x−5)−2dx

- ∫x35−x45dx

- ∫x+13x2+6x+33dx

- ∫dxx2−14x+495

- ∫dxx2−4x+43

- ∫dx4x2−12x+9

- ∫033x3−5x53dx

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

مشاركة

شرح فيديو

فيديو شرح درس التكامل

النقاشات

- $\int 6 d x$

- $\int 3 d x$

- $\int y 6 d x$

- $\int x^{2} d x$

- $\int x^{5} d x$

- $\int x^{- 4} d x$

$\int x^{- 4} d x = \frac{x^{- 3}}{- 3} + C$

- $\int x^{\frac{1}{2}} d x$

- $\int x^{\frac{3}{2}} d x$

- $\int x^{- \frac{1}{2}} d x$

- $\int x^{- \frac{3}{5}} d x$

- $\int \sqrt[3]{x^{2}} d x$

- $\int \sqrt{x} d x$

- $\int \sqrt[4]{x} d x$

- $\int 6 x^{2} d x$

- $\int 3 x^{\frac{1}{2}} d x$

- $\int \frac{10}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

- $\int \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x$

- $\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

- $\int (3 x^{2} + 6 x + 8) d x$

- $\int (\sqrt{x} - \frac{3}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x)$

- $\int \sqrt{x} (\sqrt{x} + 1) d x$

- $\int (x^{2} + 1) (2 x - 3) d x$

- $\int (x^{2} + 3) (x - 2) d x$

- $\int (2 x + 5) (x + 1) d x$

- $\int \frac{x^{3} + 27}{x + 3} d x$

- $\int \frac{x^{4} - 8 x}{x - 2} d x$

- $\int \frac{2 x^{2} - 8}{x - 2} d x$

- $\int \frac{{(3 x^{2} - 4)}^{2} - 16}{2} d x$

$\int [F (x)]^{n} \bar{f} (x) d x = \frac{[F (x)]^{n + 1}}{n + 1} + C$

- $\int {(3 x^{2} + 6)}^{5}$

- $\int {(x^{3} + 7)}^{5} x^{2} d x$

- $\int \frac{(x - 2)}{{(x^{2} - 4 x - 5)}^{- 2}} d x$

- $\int \frac{x^{3}}{\sqrt[5]{5 - x^{4}}} d x$

- $\int \frac{x + 1}{\sqrt[3]{3 x^{2} + 6 x + 3}} d x$

- $\int \frac{d x}{\sqrt[5]{x^{2} - 14 x + 49}}$

- $\int \frac{d x}{\sqrt[3]{x^{2} - 4 x + 4}}$

- $\int \frac{d x}{4 x^{2} - 12 x + 9}$

- $\int_{0}^{3} \sqrt[3]{3 x^{3} - 5 x^{5}} d x$