حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس

(1)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $y^{'} = \frac{\cos^{2} y}{x}, y = \frac{π}{4}, x = 1$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\cos^{2} y}{x} \Rightarrow x d y = \cos^{2} y d x \overset{(\div x \cos^{2} y)}{⟹} = \frac{d y}{\cos^{2} y} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{d y}{\cos^{2} y} = \int \frac{d x}{x} \\ \int \sec^{2} y d y = \int \frac{d x}{x} (\frac{1}{\cos^{2} y} = \sec^{2} y) \\ \tan y = \ln | x | + c (\tan \frac{π}{4} = 1, \ln 1 = 0) \\ \tan \frac{π}{4} = \ln | 1 | + c \Rightarrow 1 = 0 + c \Rightarrow c = 1 \\ ∴ \tan y = \ln | x | + 1 \end{aligned}$

(2)- حل المعادلة التفاضلية $\frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y$ حيث $x = 0$ عندما $y = \frac{π}{2}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = - 2 x \tan y \Rightarrow [d y = - 2 x \tan y d x] \div \tan y \\ \frac{d y}{\tan y} = - 2 x d x \Rightarrow \int \frac{d y}{\frac{\sin y}{\cos y}} = \int - 2 x d x \Rightarrow \int \frac{\cos y}{\sin y} d y = \int - 2 x d x \\ \ln | \sin y | = - 2 \frac{x^{2}}{2} + c \Rightarrow \ln | \sin y | = - x^{2} + c \\ (y = \frac{π}{2}, x = 0) \\ \ln | \sin \frac{π}{2} | = 0 + c \Rightarrow \ln (1) = c \Rightarrow c = 0 \\ (\sin \frac{π}{2} = 1) \\ ∴ \ln | \sin y | = - x^{2} \overset{(للطرفين e بأخذ)}{⟹} \sin y = e^{- x^{2}} \end{aligned}$

(3)- حل المعادلة التفاضلية $y' = 2 e^{x} y^{3}$ حيث أن $x = 0$ عندما $y = \frac{1}{2}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = 2 e^{x} y^{3} \Rightarrow \frac{d y}{y^{3}} = 2 e^{x} d x \Rightarrow \int y^{- 3} d y = 2 \int e^{x} d x \Rightarrow \frac{y^{- 2}}{- 2} = 2 e^{x} + c \\ \frac{1}{- 2 y^{2}} = 2 e^{x} + c \Rightarrow \frac{1}{- 2 \frac{1}{4}} = 2 e^{0} + c (x = 0, y = \frac{1}{2}) \\ \frac{1}{\frac{- 1}{2}} = 2 (1) + c \Rightarrow - 2 = 2 + c \Rightarrow c = - 4 (e^{0} = 1) \\ \frac{1}{- 2 y^{2}} = 2 e^{x} - 4 \end{aligned}$

(4)- (حسب المنهج الجديد) حل المعادلة التفاضلية $x y' = y - x$ حيث أن $y = 1, x = 1$

$\begin{aligned} x \frac{d y}{d x} = y - x \overset{(\div x)}{⟹} \frac{d y}{d x} = \frac{y - x}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - 1 \\ \frac{d y}{d x} = v - 1 \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = v - 1 \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = - 1 \Rightarrow x d v = - d x \overset{(\div x)}{⟹} d v = - \frac{d x}{x} \\ \int d v = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow v = - \ln | x | + c \Rightarrow \frac{y}{x} = - \ln | x | + c \end{aligned}$

نعوض $y = 1, x = 1$ لإيجاد قيمة الثابت $c$

$\begin{aligned} \frac{y}{x} = - \ln | x | + c \Rightarrow \frac{1}{1} = - \ln | 1 | + c \Rightarrow 1 = 0 + c \Rightarrow c = 1 \\ ∴ \frac{y}{x} = - \ln | x | + 1 \end{aligned}$

(5)- حل المعادلة التفاضلية الآتية: $(x^{2} + 3 y^{2}) d x - 2 x y d y = 0$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + 3 y^{2}}{2 x y} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{3 y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x y}{x^{2}}} = \frac{1 + 3 {(\frac{y}{x})}^{2}}{2 (\frac{y}{x})} \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} \dots \dots \dots (2) (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2}}{2 v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + 3 v^{2} - 2 v^{2}}{2 v} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} + 1}{2 v} \Rightarrow x d v = \frac{v^{2} + 1}{2 v} d x \Rightarrow \frac{d v}{\frac{v^{2} + 1}{2 v}} = \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{2 v d v}{v^{2} + 1} = \frac{d x}{x} \\ \int \frac{2 v d v}{v^{2} + 1} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \ln | v^{2} + 1 | + \ln | c | = \ln | x | \Rightarrow \ln | x | = \ln | c (v^{2} + 1) | \\ x = c \cdot (v^{2} + 1) \Rightarrow x = c (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1) \Rightarrow x = c (\frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2}}) \end{aligned}$

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

التمارين العامة الخاصة بالفصل الخامس