للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية

إن حل المعاملة التفاضلية الاعتيادية هو علاقة بين $y, x$ تحقق المعادلة غير أن الحل العام لأي معادلة تفاضلية هو الحل المشتمل على عدد من الثوابت الاختيارية مساوٍ لرتبة المعادلة فإذا كانت المعادلة من الرتبة الأولى وجب أن يكون حلها مشتملاً على ثابت اختياري واحد (هو ثابت التكامل) الذي يظهر عند إجراء خطوة التكامل الوحيدة لمعادلات الرتبة الأولى، أما إذا كانت المعادلة من الرتبة الثانية وجب أن يكون حلها مشتملاً على (ثابتي التكامل) نظراً لإجراء خطوتي تكامل عند حل معادلة الرتبة الثانية وهكذا بالنسبة للمعادلات التي لها رتبة أعلى.

(1)- أثبت أن $y = x \ln x - x$ أحد حلول المعادلة $x \frac{d y}{d x} = x + y, x > 0$

$y = x \ln x - x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = x (\frac{1}{x}) + \ln x (1) - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 1 + \ln x - 1 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \ln x L.H.S = x \frac{d y}{d x} = x \ln x R.H.S = x + y = x + x \ln x - x = x \ln x L.H.S = R . H . S$

الدالة المعطاة هي أحد الحلول الخاصة للمعادلة التفاضلية أعلاه.

(2)- بين أن $\ln y^{2} = x + a, a \in R$ حلاً للمعادلة $2 y^{'} - y = 0$ .

$\ln y^{2} = x + a \Rightarrow 2 \ln y = x + a \Rightarrow 2 (\frac{y^{'}}{y}) = 1 \Rightarrow 2 y^{'} = y \Rightarrow 2 y^{'} - y = 0$

$\ln y^{2} = x + a$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

(3)- هل $y = x^{3} + x - 2$ حلاً للمعادلة التفاضلية $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

$y = x^{3} + x - 2 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 1 \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = 6 x$

$y = x^{3} + x - 2$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

(4)- هل ان $y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ هو حلاً للمعادلة $y y^{''} + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 5$ ؟

$\begin{aligned} y^{2} = 3 x^{2} + x^{3} \Rightarrow 2 y y^{'} = 6 x + 3 x^{2} \Rightarrow [2 y (y^{''}) + y^{'} (2) y^{'} = 6 + 6 x] \div 2 \\ y (y^{''}) + {(y^{'})}^{2} = 3 + 3 x = L.H.S \Rightarrow y (y^{''}) + {(y^{'})}^{2} - 3 x = 3 \neq R. H.S \end{aligned}$

$y^{2} = 3 x^{2} + x^{3}$ لیست حل للمعادلة أعلاه.

(5)- برهن أن $y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ .

$\begin{aligned} y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x \dots \dots \dots (1) \\ y^{'} = - 3 \sin 2 x (2) + 2 \cos 2 x (2) = - 6 \sin 2 x + 4 \cos 2 x \\ y^{''} = - 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x \dots \dots . (2) \end{aligned}$

بالتعويض عن (1) و (2) في الطرف الأيسر للمعادلة التفاضلية ينتج:

$L . H . S = (- 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x) + 4 (3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x) = - 12 \cos 2 x - 8 \sin 2 x + 12 \cos 2 x + 8 \sin 2 x = 0 = R \cdot H \cdot S$

$y = 3 \cos 2 x + 2 \sin 2 x$ هي حل للمعادلة أعلاه.

(6)- بين أن $y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هو حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} - 6 y = 0$ .

$y = e^{2 x} + e^{- 3 x} \Rightarrow y^{'} = 2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x} \Rightarrow y^{''} = 4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x} L.H.S = y^{''} + y^{'} - 6 y \begin{aligned} = (4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x}) + (2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x}) - 6 (e^{2 x} + e^{- 3 x}) \\ = 4 e^{2 x} + 9 e^{- 3 x} + 2 e^{2 x} - 3 e^{- 3 x} - 6 e^{2 x} - 6 e^{- 3 x} = 0 = R \cdot H \cdot S \end{aligned}$

$y = e^{2 x} + e^{- 3 x}$ هي حل للمعادلة أعلاه.

(7)- هل أن المعادلة $y = 3 e^{- 2 x}$ هي حلاً للمعادلة التفاضلية $y^{''} + y^{'} = 2 y$ ؟

$\begin{aligned} y = 3 e^{- 2 x} \\ y^{'} = 3 e^{- 2 x} (- 2) = - 6 e^{- 2 x} (الأولى المشتقة نجد) \\ y^{''} = 12 e^{- 2 x} (الثانية المشتقة نجد) \\ L. H.S = y^{''} + y^{'} = 12 e^{- 2 x} + (- 6 e^{- 2 x}) = 6 e^{- 2 x} \\ R. H.S = 2 y = 2 (3 e^{- 2 x}) = 6 e^{- 2 x} \\ L. H.S = R.H.S \end{aligned}$

$y = 3 e^{- 2 x}$ هي حل للمعادلة التفاضلية أعلاه.

(8)- هل العلاقة $y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حلا للمعادلة التفاضلية $y^{''} + 4 y = 0$ ؟

لدينا $\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$

$\begin{aligned} y = \cos 2 x \Rightarrow y^{'} = - 2 \sin 2 x \\ y^{''} = - 2 (\cos 2 x (2)) = - 4 \cos 2 x \\ L.H.S. = y^{''} + 4 y = - 4 \cos 2 x + 4 \cos 2 x = 0 \end{aligned}$

$y = \cos^{2} x - \sin^{2} x$ هي حل المعادلة التفاضلية أعلاه.

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

حمل تطبيق دراستي من متجر جوجل

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

للوصول السريع إلى الدروس والاختبارات..

الحل الخاص والعام للمعادلة التفاضلية الاعتيادية