حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة

ثانياً المعادلة التفاضلية المتجانسة:

هي المعادلة التي نستطيع كتابتها بالشكل $\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$ فمثلاً المعادلة $(x^{4} - y^{4}) \frac{d y}{d x} = x^{3} y$ يمكن كتابتها بالصورة $\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{4}}$ (بقسمة طرح المعادلة على $x^{4}$ ).

ملاحظة: لمعرفة المعادلة متجانسة نقوم بوضع $x$ عن كل $y$ في المعادلة فإذا كانت الأسس متساوية فإن المعادلة متجانسة.

(1)- بين أي المعادلات التالية متجانسة:

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} + y^{3}}{3 x^{2} y}$

بقسمة البسط والمقام على $x^{3} \neq 0$

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{x^{3}}}{\frac{3 x^{2} y}{x^{3}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}{3 (\frac{y}{x})}$

المعادلة متجانسة.

$2 x y y^{'} - y^{2} + 2 x^{2} = 0$

بقسمة البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$2 \frac{x y}{x^{2}} y^{'} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + 2 \frac{x^{2}}{x^{2}} = 0 \Rightarrow 2 (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} - {(\frac{y}{x})}^{2} + 2 = 0 2 (\frac{y}{x}) \frac{d y}{d x} = {(\frac{y}{x})}^{2} - 2 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{y}{x})}^{2} - 2}{2 (\frac{y}{x})}$

المعادلة متجانسة.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - y}{x^{3}}$

غير متجانسة لا يمكن كتابتها بالشكل $\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})$

طريقة حل المعادلة التفاضلية المتجانسة:

إذا كانت المعادلة التفاضلية متجانسة فإننا نتبع ما يأتي:

نكتب المعادلة بالصورة $[\frac{d y}{d x} = f (\frac{y}{x})]$ ثم نعوض عن كل $[v = \frac{y}{x}]$ أو $[y = v x]$ حيث $v$ دالة إلى $x$ .
نشتق $y = v x$ بالنسبة إلى $x$ فنحصل على $[\frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x}]$ .
نربط بين الخطوتين (1) و(2) فنحصل على $v + x \frac{d v}{d x} = f (v) \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = f (v) - v$
بعد فصل المتغيرات نحصل $\frac{d v}{f (v) - v} = \frac{d x}{x}$ .
نأخذ التكامل للطرفين لينتج $\int \frac{d v}{f (v) - v} = \int \frac{d x}{x}$ .
نعوض بعد ذلك عن $[\frac{y}{x} = v]$ فنحصل على الحل العام بدلالة المتغيرين $y, x$ .

(2)- حل المعادلة التفاضلية $y^{'} = \frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 x y}$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2} - x^{2}}{2 x y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{3 y^{2}}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x y}{x^{2}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{3 {(\frac{y}{x})}^{2} - 1}{2 (\frac{y}{x})} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{3 v^{2} - 1}{2 v} \dots \dots \dots (2) [v = \frac{y}{x} (وضعنا)] \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v + 1}{v - 1} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v + 1}{v - 1} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v + 1 - v (v - 1)}{v - 1} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{v + 1 - v^{2} + v}{v - 1} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{2 v - v^{2} + 1}{v - 1} \\ ∴ \frac{v - 1}{2 v - v^{2} + 1} d v = \frac{1}{x} d x \Rightarrow \int \frac{1}{x} d x = \int \frac{v - 1}{2 v - v^{2} + 1} d v \end{aligned} \begin{aligned} \int \frac{1}{x} d x = \frac{- 1}{2} \int \frac{- 2 v + 2}{2 v - v^{2} + 1} d v \Rightarrow \frac{- 1}{2} \ln | 2 v - v^{2} + 1 | + \ln | c | = \ln | x | \\ \ln | c {[2 v - v^{2} + 1]}^{\frac{- 1}{2}} | = \ln | x | \Rightarrow \ln | \frac{c}{\sqrt{2 v - v^{2} + 1}} | = \ln | x | \\ \frac{c}{\sqrt{2 v - v^{2} + 1}} = | x | \Rightarrow \frac{c}{\sqrt{2 (\frac{y}{x}) - {(\frac{y}{x})}^{2} + 1}} = | x | \\ | x | = \frac{c}{\sqrt{2 \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1}} \Rightarrow x^{2} = \frac{c^{2}}{2 \frac{y}{x} - \frac{y^{2}}{x^{2}} + 1} \Rightarrow c^{2} = x^{2} + 2 y x - y^{2} \end{aligned}$

(3)- حل المعادلة $(3 x - y) y^{'} = x + y$

نقسم البسط والمقام على $x \neq 0$

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + y}{3 x - y}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x}{x} + \frac{y}{x}}{3 \frac{x}{x} - \frac{y}{x}} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y}{x}}{3 - \frac{y}{x}} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v}{3 - v} \dots \dots \dots (2) [v = \frac{y}{x} (وضعنا)] \\ v = \frac{y}{x} \Rightarrow y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{d x} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} v + x \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v}{3 - v} \Rightarrow x \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v}{3 - v} - v \Rightarrow x \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v - 3 v + v^{2}}{3 - v} \\ x \frac{d y}{d x} = \frac{v^{2} - 2 v + 1}{3 - v} \Rightarrow x \frac{d y}{d x} = \frac{(v - 1)^{2}}{3 - v} \\ \frac{1}{x} d x = \frac{3 - v}{(v - 1)^{2}} d v \Rightarrow \int \frac{- (v - 3)}{(v - 1)^{2}} d v = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{- [(v - 1) - 2]}{(v - 1)^{2}} d v = \int \frac{d x}{x} \\ \int \frac{- (v - 1)}{(v - 1)^{2}} d v + \int \frac{2}{(v - 1)^{2}} d v = \int \frac{d x}{x} \\ - \int \frac{d v}{v - 1} + (2) \int (v - 1)^{- 2} d v = \int \frac{d x}{x} \end{aligned} \begin{aligned} - \ln | v - 1 | + \frac{2 (v - 1)^{- 1}}{- 1} + c = \ln | x | \Rightarrow - \ln | v - 1 | + \frac{- 2}{(v - 1)} + c = \ln | x | \\ ∵ v = \frac{y}{x} \Rightarrow \ln | x | - \ln | \frac{y}{x} - 1 | - \frac{2}{\frac{y}{x} - 1} + c \\ \ln | x | + \ln | \frac{y}{x} - 1 | = \frac{- 2}{\frac{y - x}{x}} + c \Rightarrow \ln | x (\frac{y}{x} - 1) | = \frac{- 2 x}{y - x} + c \\ \ln | y - x | = \frac{- 2 x}{y - x} + c \end{aligned}$

(4)- حل المعادلة $2 x y y^{'} - y^{2} + x^{2} = 0$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

$\begin{aligned} 2 x y y^{'} = y^{2} - x^{2} \\ \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - x^{2}}{2 x y} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y^{2}}{x^{2}} {\frac{x}{x}}_{x^{2}}^{2 x y}}{x^{2}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{{(\frac{y}{x})}^{2} - 1}{2 (\frac{y}{x})} \dots \dots \dots (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{v^{2} - 1}{2 v} \dots \dots \dots (2) [v = \frac{y}{x} (وضعنا)] \\ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d y}{d x} \dots \dots \dots (2) \\ v + x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} - 1}{2 v} \dots \dots \dots (3) \end{aligned}$

نعوض المعادلة (3) في المعادلة (2) فينتج:

$\begin{aligned} x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} - 1}{2 v} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} - 1 - 2 v^{2}}{2 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- v^{2} - 1}{2 v} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{- (v^{2} + 1)}{2 v} \\ \frac{2 v}{(v^{2} + 1)} d v = - \frac{d x}{x} \Rightarrow \int \frac{2 v}{v^{2} + 1} d v = - \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \ln | v^{2} + 1 | + \ln | c | = - \ln | x | \\ \ln | v^{2} + 1 | + \ln | x | = - \ln | c | \Rightarrow \ln | x (v^{2} + 1) | = \ln | c^{- 1} | \\ \ln | x (v^{2} + 1) | = \ln | \frac{1}{c} | \Rightarrow \pm x (v^{2} + 1) = \frac{1}{c} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{x (v^{2} + 1)} \\ ∵ v = \frac{y}{x} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{x (\frac{y^{2}}{x^{2}} + 1)} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{x (\frac{y^{2} + x^{2}}{x^{2}})} \Rightarrow c = \pm \frac{1}{(\frac{y^{2} + x^{2}}{x})} \\ c = \pm \frac{x}{y^{2} + x^{2}} \end{aligned}$

(5)- جد الحد العام للمعادلة التفاضلية $2 x^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2} + y^{2}$

نقسم البسط والمقام على $x^{2} \neq 0$

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{2 x^{2}}{x^{2}}} \Rightarrow \frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{2} \dots \dots \dots . . (1) \\ \frac{d y}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2} \dots \dots \dots . \dots (2) [v = \frac{y}{x} وضنعا] \\ ∵ y = v x \Rightarrow \frac{d y}{d x} = v + x \frac{d v}{x} \dots \dots \dots (3) \\ v + x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2}}{2} - v \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{1 + v^{2} - 2 v}{2} \Rightarrow x \frac{d v}{d x} = \frac{v^{2} - 2 v + 1}{2} \\ x \frac{d v}{d x} = \frac{(v - 1)^{2}}{2} \Rightarrow \int \frac{2 d v}{(v - 1)^{2}} = \int \frac{d x}{x} \Rightarrow \int 2 (v - 1)^{- 2} d v = \int \frac{d x}{x} \\ \frac{2 (v - 1)^{- 1}}{- 1} = \ln | x | + c \Rightarrow \frac{- 2}{v - 1} = \ln | x | + c (v = \frac{y}{x} (وضعنا)) \\ \frac{- 2}{\frac{y}{x} - 1} = \ln | x | + c \Rightarrow \frac{- 2}{\frac{y - x}{x}} = \ln | x | + c \Rightarrow \frac{- 2 x}{y - x} = \ln | x | + c \\ y - x = \frac{- 2 x}{\ln | x | + c} \Rightarrow y = x - \frac{2 x}{\ln | x | + c} \end{aligned}

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل اسئلة رياضيات - علوم - عربي وجميع الكتب والمواد الأخرى

فايسبوك

واتساب

تيليجرام

طباعة

شرح فيديو

حلول أسئلة الصف السادس الإعدادي

حل المعادلات التفاضلية المتجانسة